Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
1.3. Функции множества 21
= P (x ∩ y) + P (x ∩ yc) = P(x).
Конструирование распределений конечных случайных множеств
и исчисление вероятностей событий, связанных с этими распределениями, опирается на теорию сет-суммирования [16]. Основными
объектами изучения теории сет-суммирования являются классы сумм
вида
X
f(X), где P — конечная совокупность конечных множеств,
X∈P
а f — ограниченная числовая функция на P, чаще всего аддитивная или мультипликативная [16,17]. Далее рассмотрим определение и
некоторые свойства функции множества.
1.3. Функции множества
Распределения вероятностей конечных случайных множеств являются функциями множества, которые заданы на различных системах
случайных событий, порожденных множеством X.
Определение 1.3. Функция множества f(X), X ∈ 2X, есть функ-
ция f : 2X→ R, сопоставляющая каждому множеству из системы 2
некоторое вещественное число.
X
Определение 1.4. Функция множества f , определенная на 2X, на-
зывается:
аддитивной, если
f(X ∪ Y ) + f (X ∩ Y ) = f (X) + f(Y ), ∀ X, Y ⊆ X; (1.10)
субаддитивной, если
f(X ∪ Y ) + f (X ∩ Y ) ≤ f(X) + f(Y ), ∀ X, Y ⊆ X; (1.11)
супераддитивной, если
f(X ∪ Y ) + f (X ∩ Y ) ≥ f(X) + f(Y ), ∀ X, Y ⊆ X. (1.12)
Лемма 1.1. Если функция f(X) супераддитивна, то функция
g(X) = f(Xc) также супераддитивна.
22 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
Доказательство. Доказательство следует из супераддитивности
функции f и соотношений Де Моргана:
g(X∪Y )+g(X∩Y ) = f(X∪Y )
+f
c
(X∩Y )
c
= f(Xc∩Yc)+f(Xc∪Yc) ≥
≥ f (Xc) + f(Yc) = g(X) + g(Y ).
Поскольку свойство (1.12) справедливо для функции g, то она является супераддитивной.
Аналогично можно доказать [17], что если функция f(X) субаддитивна, то, следовательно, субаддитивна и функция g(X) = f (Xc).
1.4. Распределения вероятностей конечного случайного
множества
Пусть KX— конечное случайное множество, заданное на базовом
множестве |X| = N < ∞, где X ⊂ F.
Определение 1.5. Распределением вероятностей конечного случайного множества KXназывается набор из 2Nзначений вероятностной
меры P, определенной на системе событий 2X.
Для полного определения распределения вероятностей конечного
случайного множества KXдостаточно любого одного из шести типов
распределений I — VI рода [11, 18]. В работе рассматриваются три
следующих типа.
PI. Распределение вероятностей I рода конечного случайного мно-
жества K
— функция множества, определенная на системе
X
несовместных событий вида
{KX= X} =
x∈X
\
!
x
\ \
v∈X
!!
c
v
c
, (1.13)
где Xc= X \ X, xc= Ω \ x. Это набор из 2Nвероятностей:
p(X) = P{KX= X}. (1.14)
Распределение вероятностей I рода конечного случайного множества KXудовлетворяет условию
X
p(X) = 1.
X⊆X
1.4. Распределения вероятностей конечного случайного множества 23
PII. Распределение вероятностей II рода конечного случайного мно-
жества KX— функция множества, определенная на системе совместных событий вида
\
{KX⊇ X} =
x!. (1.15)
x∈X
Это набор из 2Nвероятностей:
pX= P(KX⊇ X). (1.16)
Распределение вероятностей II рода удовлетворяет системе неравенcтв Фреше для вероятностей пересечений событий [18]:
max(0,
X
P(x) − |X| + 1)≤ P
x∈X
\
x!≤ min
x∈X
P(x), (1.17)
x∈X
где P(x) = P({x ∈ KX}), x ∈ X, X ⊆ X, — вероятности самих
событий.
PV. Распределение вероятностей V рода конечного случайного мно-
жества KX— функция множества, определенная на системе совместных событий вида
[
{KX* Xc} =
x!. (1.18)
x∈X
Это набор из 2Nвероятностей:
uX= P{KX* Xc}= 1 − P{KX⊆ Xc}. (1.19)
Распределение вероятностей V рода конечного случайного множества KXудовлетворяет системе неравенств Фреше для вероятностей объединения событий [18, с. 133]:
max
x∈X
P (x) ≤ P
[
x!≤ min(1,
x∈X
X
P (x)). (1.20)
x∈X
Для сокращения записи далее будем использовать следующие обозначения: p
= px, p({x}) = p(x), u
{x}
{x}
= ux, u
{x,y}
= uxy, p
{x,y}
p({x, y}) = p(xy) и т.д.
= pxy,
24 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
Во избежание терминологической путаницы обозначение ∅ будем
применять для Xc= Ω \ X, а обозначение пустого множества ∅ —
для трактовки невозможного события. Предполагаем, что
\
x =
x∈∅
Тогда {KX= ∅} =
\
x∈X
x = Ω,
c
T
x∈∅
\
x∈∅
x
xc=
T
\
x∈X
T
x∈X
xc= Ω,
c
c
x
=
[
x =
x∈∅
T
xcозначает, что не
x∈X
наступило ни одного события из X.
В распределении вероятностей II рода всегда справедливо:
p∅= P({KX⊇ ∅}) = P
\
x∈X
x!∩
c
\
x∈X
Ω
!!
\
= P
x∈X
а в распределении вероятностей V рода всегда верно:
[
u∅= P({KX* X}) = 1 − P({KX⊆ X}) = P
x!= P(∅) = 0.
c
x∈X
[
x = ∅.
c
x∈X
Ω!= P(Ω) = 1,
В работах [11,18] получены формулы обращения распределений вероятностей конечного случайного множества KX, вытекающие из классических формул обращения М¨ебиуса для функций множества. Для
рассматриваемых распределений вероятностей конечного случайного
множества KXвзаимно обратные формулы обращения М¨ебиуса для
всех X ∈ 2Xпринимают следующий вид:
для распределений вероятностей I и II рода
X
pX=
Y ∈2X: X⊆Y
X
p(X) =
Y ∈2X: X⊆Y
p(Y ), (1.21)
|Y |−|X |
(−1)
pY; (1.22)
для распределений вероятностей I и V рода
uX= 1 −
p(X) =
X
Y ∈2X: X⊆Y
Y ∈2X: Y ⊆X
X
(−1)
p(Yc), (1.23)
|X|−|Y |
(1 − u
c
); (1.24)
Y
1.4. Распределения вероятностей конечного случайного множества 25
для распределений вероятностей II и V рода
uX= 1 −
pX=
Y ∈2X: Y ⊆X
X
Y ∈2X: Y ⊆X
X
(−1)
|Y |
|Y |
(−1)
pY, (1.25)
(1 − uY). (1.26)
Пример 1.2. Пусть (Ω, F, P) вероятностное пространство. Рассмотрим произвольный триплет событий X = {x, y, z} ⊆ F , выбранных из
алгебры событий F этого пространства. В прикладных задачах базовое множество X можно интерпретировать как множество рассматриваемых бинарных признаков, например, отсутствие/наличие симптомов заболеваний у пациента. В данном контексте конечное случайное
множество KXявляется моделью случайного пациента с некоторым
набором симптомов заболеваний.
В таблице 1.2 на диаграммах Эйлера—Венна представлены теоретико-множественные отношения в Ω исходного вероятностного пространства для систем событий (1.13), (1.15) и (1.18), порожденных
множеством X. На всех диаграммах табл. 1.2 синим цветом обозначено событие x, красным — y, зеленым — z. Заштрихованные фрагменты
в каждой из диаграмм отражают событие в Ω соответствующее X ∈ 2
в каждой из трех рассматриваемых систем событий. Первый столбец
таблицы содержит «имя», соответствующее подмножеству X множества X. Во втором столбце представлены все события системы первого
рода (1.13), в третьем столбце — все события системы второго рода
(1.15), а в четвертом — все события системы пятого рода (1.18).
Из табл. 1.2 нетрудно увидеть, что между событиями x ∈ X в Ω и
различными формами систем событий (1.13), (1.15) и (1.18), порожденных множеством X, существуют теоретико-множественные соотношения следующего вида [18]:
X
{KX= X} =
X
x =
x∈X
x∈X
T
T
x
T
x∈X
c
x
c
, X ⊆ X,
{KX= X}, x ∈ X,
26 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
Таблица 1.2
Диаграммы Эйлера—Венна для систем событий (1.13), (1.15) и (1.18),
порожденных множеством X = {x, y, z} и определяющих одно и то же конечное
X ∈ 2
∅
{x}
{y}
случайное множество K
X
{KX= X} {KX⊇ X} {KX* Xc}
X
{z}
{x, y}
{x, z}
{y, z}
{x, y, z}
1.4. Распределения вероятностей конечного случайного множества 27
{KX⊇ X} =
x =KX⊇ {x}, x ∈ X,
T
x, X ⊆ X,
x∈X
{KX* Xc} =
x =KX* {x}
S
x, X ⊆ X,
x∈X
c
, x ∈ X.
Также табл. 1.2 наглядно иллюстрирует тот факт, что в исходном вероятностном пространстве система событий I рода (1.13) является системой из 2Nнесовместных событий (рис. 1.3), а системы (1.15) и
(1.18) представляют собой наборы из 2Nсовместных событий.
x
K = {x}
K = {y}
K = {x, y}
K = {x, y, z}
K = {x, z}
y
K = {y, z}
Ω
z
K = {z}
{K = ∅}
Рис. 1.3. Разбиение пространства Ω событиями системы (1.13) для X = {x, y, z}
В контексте модели случайного пациента события из рассматриваемых систем интерпретируется следующим образом:
{KX= X} — у случайного пациента присутствуют только симп-
томы из множества X (других симптомов нет);
{KX⊇ X} — у случайного пациента присутствуют симптомы из
множества X (помимо симптомов X могут присутствовать и другие из X \ X);
{KX* Xc} — у случайного пациента присутствует хотя бы один
симптом из множества X.
Для полного определения распределения вероятностей конечного
случайного множества KXдостаточно одного любого из следующих
28 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
типов распределений, каждое из которых задано на своей системе событий, порожденных конечным множеством событий X:
p (∅) , p (x) , p (y) , p (z) , p (xy) , p (xz) , p (yz) , p (xyz)
(1.27)
— распределение вероятностей I рода (1.14);
p∅, px, py, pz, pxy, pxz, pyz, p
xyz
(1.28)
— распределение вероятностей II рода (1.16);
{u∅, ux, uy, uz, uxy, uxz, uyz, u
}, (1.29)
xyz
— распределение вероятностей V рода (1.19).
Узнав одно из распределений (1.27)—(1.29), два других можно получить по формулам обращения М¨ебиуса (1.21)—(1.26). Продемонстрируем этот факт ниже (рис.1.4). Использовав формулу (1.21), выпишем выражения для вероятностей (1.28) через вероятности (1.27):
p∅= p (∅) + p (x) + p (y) + p (z) + p (xy) + p (xz) + p (yz) + p (xyz) = 1;
px= p (x) + p (xy) + p (xz) + p (xyz) = P (x) ;
py= p (y) + p (xy) + p (yz) + p (xyz) = P (y) ;
pz= p (z) + p (xz) + p (yz) + p (xyz) = P (y) ;
pxy= p (xy) + p (xyz) = P (x ∩ y) ;
pxz= p (xz) + p (xyz) = P (x ∩ z) ;
pyz= p (yz) + p (xyz) = P (y ∩ z) ;
p
= p (xyz) = P (x ∩ y ∩ z) .
xyz
Согласно формуле (1.22) выражения для вероятностей (1.27) через
вероятности (1.28) примут вид:
p (∅) = 1 − px− py− pz+ pxy+ pxz+ pyz− p
p (x) = px− pxy− pxz+ p
p (y) = py− pxy− pyz+ p
p (z) = pz− pxz− pyz+ p
xyz
xyz
xyz
;
;
;
xyz
;
p (xy) = pxy− p
p (xz) = pxz− p
p (yz) = pyz− p
p (xyz) = p
xyz
xyz
xyz
xyz
.
;
;
;
1.4. Распределения вероятностей конечного случайного множества 29
y
x
K = {x, y}
K = {x}
px= p(x) + p(xy) + p(xz) + p(xyz)
Рис. 1.4. Визуальное представление формул (1.21) для вероятностей pxи p
ного случайного множества KX, X = {x, y, z}
K = {x, y, z}
K = {x, z}
Ω
z
x
K = {x, y, z}
p
= p(xyz) = P(x ∩ y ∩ z)
xyz
y
xyz
Ω
z
конеч-
По формуле (1.25) выразим вероятности (1.29) через вероятности (1.28):
u∅= 1 − p∅= 0;
ux= 1 − p∅+ px= px= P (x) ;
uy= py= P (y) ;
uz= pz= P (z) ;
uxy= 1 − p∅+ px+ py− pxy= px+ py− pxy= P (x ∪ y) ;
uxz= px+ pz− pxz= P (x ∪ z) ;
uyz= py+ pz− pyz= P (y ∪ z) ;
u
= 1 − p∅+ px+ py+ pz− pxy− pxz− pyz+ p
xyz
= P (x ∪ y ∪ z) .
xyz
По формулам обращения М¨ебиуса (1.26) выпишем выражения для вероятностей (1.28) через вероятности (1.29):
p∅= 1 − u∅= 1; px= ux; py= uy; pz= uz;
pxy= ux+ uy− uxy;
pxz= ux+ uz− uxz;
pyz= uy+ uz− uyz;
p
= ux+ uy+ uz− uxy− uxz− uyz+ u
xyz
xyz
.
Использовав формулы обращения М¨ебиуса (1.21) и (1.23), запишем
30 Глава 1. Конечные случайные множества и способы их представления
выражения для вероятностей (1.29) через вероятности (1.27) и (1.28):
u∅= 1 − p(xyz) − p(yz) − p(xz) − p(xy) − p(z) − p(y) − p(x) − p(∅) = 0;
ux= 1 − p(y) − p(z) − p(yz) − p(∅) = p(x) + p(xy) + p(xz) + p(xyz) = px;
uy= 1 − p(x) − p(z) − p(xz) − p(∅) = p(y) + p(xy) + p(yz) + p(xyz) = py;
uz= 1 − p(x) − p(y) − p(xy) − p(∅) = p(z) + p(xz) + p(yz) + p(xyz) = pz;
uxy= 1 − p(z) − p(∅) = px+ py− pxy;
uxz= 1 − p(y) − p(∅) = px+ pz− pxz;
uyz= 1 − p(x) − p(∅) = py+ pz− pyz;
u
= 1 − p(∅) = px+ py+ pz− pxy− pxz− pyz+ p
xyz
xyz
.
Использовав формулы обращения М¨ебиуса (1.26) и (1.24), запишем
выражения для вероятностей (1.27) через вероятности (1.28) и (1.29):
p (∅) = 1 − u
p (x) = −uyz+ u
p (y) = −uxz+ u
p (z) = −uxy+ u
p (xy) = −uz+ uxz+ uyz− u
p (xz) = −uy+ uxy+ uyz− u
p (yz) = −ux+ uxy+ uxz− u
p (xyz) = ux+ uy+ uz− uxy− uxz− uyz+ u
= 1 − px− py− pz+ pxy+ pxz+ pyz− p
xyz
= px− pxy− pxz+ p
xyz
= py− pxy− pyz+ p
xyz
= pz− pxz− pyz+ p
xyz
= pxy− p
xyz
= pxz− p
xyz
= pyz− p
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
;
;
;
;
;
;
= p
xyz
xyz
.
;
Таким образом, для описания распределения конечного случайного
множества используется одно из эквивалентных представлений вероятностной меры на соответствующей системе событий.
1.5. Аддитивные свойства распределений вероятностей
конечного случайного множества
Докажем свойства функций множества (1.10)–(1.12) для соответствующих распределений вероятностей конечного случайного множества.
Лемма 1.2. Распределение вероятностей I рода конечного слу-
чайного множества KXудовлетворяет свойству (1.10), т.е. явля-
ется аддитивной функцией множества на 2X.