Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств. Монография.pdf
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 81
к следующим соотношениям:
f(∅) = 1;
f(x) = px= P(x), для x ∈ X;
f(X) = −
α
1
ln
1 +
Y
x∈X
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|X|−1
, X ⊆ X, |X| > 1, α 6= 0.
(3.28)
Использовав формулы (3.2) и (3.17), найдем значения функции f на
подмножествах X ⊆ X, рассматривая их по возрастанию мощности
|X| = 2, . . . N.
Пусть |X| = 2. Для произвольного дуплета событий X = {x, y}
значение функции множества будет
− 1)
.
f(xy) = F rank(px, py; α) = −
1
ln1 +
α
(e
−α·p
x
− 1)(e
(e−α− 1)
−α·p
y
Пусть |X| = 3. Для произвольного триплета событий X = {x, y, z}
найдем значение функции f, использовав значение функции множества f (x, y), полученное на предыдущем шаге:
f(xyz) = F rank(px, py, pz; α) = AFα(F rank(px, py; α), pz; α) =
= −
1
ln1 +
α
−α·F rank(px,py; α)
(e
− 1)(e
(e−α− 1)
−α·p
z
− 1)
.
(3.29)
Нетрудно показать, что
−α·F rank(px,py;α)
e
= 1 +
(e
−α·p
x
− 1)(e
−α·p
y
− 1)
. (3.30)
(e−α− 1)
Подставим (3.30) в (3.29) и получим
− 1)
.
f(xyz) = −
1
ln1 +
α
(e
−α·p
x
− 1)(e
−α·p
y
− 1)(e
(e−α− 1)
−α·p
z
2
Пусть |X| = 4. Для произвольного 4-плета событий X = {x, y, z, v}
значение функции f также выражается через значения функции множества, полученные на предыдущих шагах для дуплетов и триплетов
событий:
f(xyzv) = F rank(px, py, pz, pv; α) = AF
F rank(px, py, pz; α), p
α
=
v
82 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
− 1)
.
= −
1
ln1 +
α
−α·F rank(px,py,pz;α)
(e
(e−α− 1)
− 1)(e
−α·p
v
Аналогично (3.30) можно доказать, что
−α·F rank(px,py,pz;α)
e
= 1 +
(e
−α·p
x
− 1)(e
(e
−α·p
−α
y
− 1)(e
− 1)
−α·p
z
− 1)
2
.
Следовательно,
− 1)
.
f(xyzv) = −
1
ln1 +
α
(e
−α·p
x
− 1)(e
−α·p
y
− 1)(e
−α·p
(e−α− 1)
z
3
− 1)(e
−α·p
v
Пусть |X| = n, n ≤ N. Для произвольного n-плета событий X значения функции множества будем находить аналогичным образом, используя рекуррентную формулу (3.2) и значения функции множества,
найденные на предыдущих n − 1 шагах:
f(X) = F rank (px, x ∈ X; α) = −
α
1
ln
1 +
Y
x∈X
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
n−1
.
Рассмотрим условия, при которых построенная функция множества
f(X) для X ⊆ X будет являться распределением вероятностей.
Проверим для найденной функции множества {f(X), X ⊆ X} достаточные условия, определенные теоремой 2.1. Чтобы проверить выполнение условия (iv) теоремы 2.1, перейдем по формуле обращения
М¨ебиуса в виде (2.2) от функции множества (3.28) к новой функции
множества {p(X), X ⊆ X} и покажем, что последняя является распределением вероятностей I рода. Применение формул (2.2)и (3.28)
приводит к следующим соотношениям для любого X ⊆ X:
X
=
Y ∈2X: X⊆Y
p(X) =
(−1)
X
Y ∈2X: X⊆Y
|Y |−|X |
· ln
(−1)
|Y |−|X |
1 +
· f(Y ) =
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
1
α
.
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 83
Воспользовавшись свойствами логарифма, получим окончательный вид
формулы
(−1)
α
, X ⊆ X. (3.31)
p(X) = ln
Y
Y ∈2X: X⊆Y
1 +
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
|Y |−|X|+1
Проверим неотрицательность значений функции множества (3.31).
Будем рассматривать значения функции по убыванию мощности подмножеств, т.е. |X| = N, N − 1, . . . , 0.
Пусть |X| = N, т.е. X = X. Из (3.28) и (3.31) имеем
|Y |−N +1
(−1)
α
=
p(X) = ln
Y
Y ∈2X: X⊆Y
1 +
Q
−αp
(e
x∈Y
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
= −
1
α
ln
1 +
Y
x∈X
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
N−1
= f(X).
Из леммы 3.1 следует, что 0 ≤ p(X) ≤ 1.
Пусть |X| = N − 1, т.е. X = X \ {t}. Из (3.28) и (3.31) имеем
|Y |−(N −1)+1
−αp
(−1)
x
− 1)
N−1
α
p(X \ {t}) = ln
= ln
x∈X\{t}
1 +
Y
Y ∈2X: X\{t}⊇Y
Y
(e−α− 1)
(e
−αp
x
N−2
− 1)
1 +
−1
α
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
1 +
x
− 1)
|Y |−1
Y
(e
x∈X
(e−α− 1)
=
1
α
=
= ln
1 +
Y
x∈X\{t}
(e−α− 1)
−1
(e
−αp
x
− 1)
α
N−2
= f(X \ {t}) − f(X).
− ln
1 +
Y
x∈X
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
N−1
−1
α
=
84 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Из леммы 3.1 и следствия 3.1 очевидно выполнение неравенства
0 ≤ f (X \ {t}) − f (X) ≤ 1, отсюда 0 ≤ p(X \ {t}) ≤ 1.
Получим оценку (3.31) для оставшихся 2N−N −1 множеств X ⊆ X:
|Y |−|X|+1
(−1)
α
≤ 1. (3.32)
0 ≤ ln
Y
Y ∈2X: X⊆Y
1 +
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
Используя свойства логарифма, переходим к следующей оценке:
|Y |−|X|+1
(−1)
α
≤ e, α 6= 0. (3.33)
1 ≤
Y
Y ∈2X: X⊆Y
1 +
Y
x∈Y
(e
−αp
(e−α− 1)
x
− 1)
|Y |−1
Таким образом, мы установили, что функция множества (3.31) удовлетворяет условиям неотрицательности при выполнении системы из
2N− N − 1неравенств (3.33). И в этом случае по лемме 2.1 о до-
статочных условиях существования распределения I рода функция
множества {p(X), X ⊆ X} является распределением I рода некоторого конечного случайного множества KX. Значит функция множества {f(X), X ⊆ X}, согласно теореме 2.1, удовлетворяет достаточным условиям существования и является распределением вероятностей II рода конечного случайного множества KXпри выполнении системы из2N− N − 1неравенств (3.33).
Теорема 3.5 дает инструмент для построения конечных случайных
множеств KXс заранее заданной структурой зависимостей. Из теоремы 3.5 следует, что выполнение системы неравенств (3.33) зависит
от выбора значения параметра α. Рассмотрим предельные случаи при
α → 0±и α → ±∞.
Tеорема 3.6 (Предельные случаи для функции Франка). Для
конечного случайного множества KXс распределением вероятностей II рода {pX, X ⊆ X}, построенным рекуррентным методом
(3.2)–(3.3) на основе ассоциативной функции Франка (3.26) с пара-
метром α, справедливы утверждения:
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 85
(i) Если α → 0±, то {pX, X ⊆ X} стремится к распределению ве-
роятностей II рода независимо точечного случайного множества, т.е. для всех X ⊆ X, |X| > 1:
Y
lim
α→0
F rank(px, x ∈ X; α) =
±
px.
x∈X
(ii) Если α → +∞, то {pX, X ⊆ X} стремится к распределению
вероятностей II рода случайного множества вложенных событий, т.е. для всех X ⊆ X, |X| > 1:
lim
α→+∞
F rank(px, x ∈ X; α) = min
px.
x∈X
(iii) Если α → −∞, то {pX, X ⊆ X} стремится к распределению
вероятностей II рода конечного случайного множества, которое определяется ассоциативной функцией (3.11), т.е. для всех
X ⊆ X, |X| > 1:
(
X
lim
α→−∞
F rank(px, x ∈ X; α) = max
px− |X| + 1, 0).
x∈X
Доказательство. Докажем утверждение (i). Пусть α → 0±. Для
произвольного X ⊆ X, |X| > 1 найдем предел lim
1 +
−
1
α
Y
x∈X
(e
−αp
(e−α− 1)
= ln lim
α→0
x
− 1)
|X|−1
±
= ln lim
α→0
lim
pX= lim
±
α→0
1 +
Y
x∈X
(e−α− 1)
±
(e
α→0
−αp
±
x
− 1)
|X|−1
ln
α→0
1 +
±
pX:
−
Y
x∈X
(−α)
1
α
=
(−αpx)
|X|−1
1
−
α
.
Учитывая при α → 0±эквивалентность бесконечно малых величин:
−αp
(e−α− 1) ∼ (−α) и (e
x
− 1) ∼ (−αpx), подвергаем функцию преоб-
разованиям с тем, чтобы использовать II замечательный предел:
1
−
α
x
= ln lim
α→0
1 + (−α)
±
Y
px)
x∈X
!
1
−
α
=
ln lim
α→0
(−α)
1 +
±
(−α)
|X|
Y
p
x∈X
|X|−1
86 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
= ln e
lim
α→0
Q
p
x∈X
x
= ln e
±
Q
x∈X
p
Y
x
=
px.
x∈X
Следовательно, при α → 0±распределение вероятностей, построенное
ассоциативной функцией Франка (3.26), стремится к распределению
вероятностей независимо-точечного случайного множества, определяемому ассоциативной функцией (3.7).
Докажем утверждение (ii). Пусть α → +∞. Для произвольного
X ⊆ X, |X| > 1 будем искать предел lim
α→+∞
pX. Обозначим pt= min
x∈X
pX.
Использовав свойство монотонности [А2.] и условие px≤ p∅= 1 для
всех x ∈ X, сначала получим оценку сверху для pX:
Q
x∈X
1 +
(e−α− 1)
− 1) ·
(e−α− 1)
−αp
(e
Q
x∈X\{t}
|X|−1
x
− 1)
|X|−1
(e
−αp
x
− 1)
=
≤
= −
pX= −
1
ln
α
1 +
α
1
ln
−αp
(e
t
x∈X\{t}
|X|−1
x
− 1)
|X|−1
Q
(e
|X|−1
|X|−1
−
−αp
∅
− 1)
= pt= min
1
α
≤ min
x∈X
pX.
=
pX.
x∈X
Тогда
= −
≤ −
1
ln1 +
α
lim
α→+∞
1
α
ln
ln
1 +
(e
−αp
t
− 1) ·
− 1) · (e−α− 1)
−αp
(e
t
(e−α− 1)
Q
(e
x∈X
1 +
(e−α− 1)
(e−α− 1)
−αp
Итак, при α → +∞ распределение вероятностей, построенное ассоциативной функцией Франка (3.26), стремится к распределению, построенному ассоциативной функцией (3.9), которое определяет случайное множество вложенных событий.
Докажем утверждение (iii). Пусть α → −∞. Будем искать пределы
lim
α→−∞
pX, рассматривая множества X ⊆ X по возрастанию мощности
|X| = 2, . . . , N.
Пусть |X| = 2. Для произвольного дуплета X = {x, y}, X ⊆ X имеем pxy= P(x ∩ y) = F rank(px, py; α). Разделив под знаком логарифма
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 87
числитель и знаменатель аргумента на e
x ∈ X lim
α→−∞
−α(px−1)
e
= 0, получим
1
lim
α→−∞
F rank(px, py; α) = lim
α→−∞
= lim
α→−∞
1
−
α
e−α+ e
ln
ln1 + e
−
ln1 +
α
−α·(px+py)
e−α− 1
−α·(px+py−1)
= lim
α→−∞
= lim
α→−∞
−α·(px+py−1)
e
1 + e
−α·(px+py−1)
−α
· (−(px+ py− 1))
−1
= (px+ py− 1) lim
α→−∞
−α·(px+py−1)
e
1 + e
−α·(px+py−1)
=
−α
и учитывая, что для всех
− 1)
(e
−α·p
x
− 1)(e
−α·p
y
=
e−α− 1
− e
−α·p
x
− e
−α·p
y
=
n
o
∞
=
=
∞
=
px+ py− 1, если px+ py> 1;
0, иначе .
Пусть |X| = 3. Для произвольного триплета X = {x, y, z}, X ⊆ X
имеем p
ком логарифма числитель и знаменатель аргумента на e
зуясь тем, что lim
lim
α→−∞
−α·(px−2)
e
= P(x ∩ y ∩ z) = Frank(px, py, pz; α). Разделив под зна-
xyz
−2α
α→−∞
eα= 0, lim
= 0, lim
α→−∞
α→−∞
−α·(px+pz−2)
e
2α
e
= 0, lim
= 0, lim
α→−∞
α→−∞
−α·(px+py−2)
e
−α·(pz+py−2)
e
и поль-
= 0, по-
лучим
=
−α·p
z
=
− 1)
α→−∞
= lim
α→−∞
lim
−
α
ln1 +
−
α
1
ln
= lim
α→−∞
−α·p
x
(e−α− 1)2+ (e
ln1 + e
−α·(px+py+pz−2)
−α
(e−α− 1)
−α·p
x
(e−α− 1)
−α·p
y
− 1)(e
−α·p
2
2
=
−α·p
y
− 1)(e
n
∞
∞
z
o
=
X
t∈X
pt− 2
!
lim
α→−∞
−α·(px+py+pz−2)
e
1 + e
−α·(px+py+pz−2)
=
P
pt− 2, если
t∈X
0, иначе .
P
t∈X
= 0,
.
pt> 2;
88 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
Аналогично, для n-плетов n < N , |X| = n разделив под знаком
логарифма числитель и знаменатель аргумента на e
−(n−1)α
, получим
= lim
α→−∞
= lim
lim
α→−∞
1
−
α
= lim
α→−∞
α→−∞
1
−
ln
α
ln
ln 1 + e
ln
1 +
(e−α− 1)
−α
1 + e
Q
−αp
(e
t∈X
(e−α− 1)
n−1
Q
+
t∈X
(e−α− 1)
P
−α
pt−n+1
t∈X
−α
P
pt−n+1
t∈X
0
−α
α
t
− 1)
n−1
(e
n−1
−αp
!
!!
=
t
− 1)
=
0
α
=
=
=
X
pt− n + 1!· lim
t∈X
α→−∞
−α·
e
1 + e
−α·
P
t∈X
pt−n+1
P
t∈X
pt−n+1
=
=
P
pt− |X| + 1, если
t∈X
0, иначе
P
pt> |X| − 1;
t∈X
=
(
X
= max
px− |X| + 1, 0).
x∈X
Следовательно, при α → −∞ распределение вероятностей II рода,
построенное ассоциативной функцией Франка (3.26), стремится к распределению II рода, построенному ассоциативной функцией (3.11).
Теорема 3.3 утверждает, что такое распределение существует только при выполнении определенных ограничений на вероятности самих
событий. При этом, согласно следствию 3.5, возникает только три вида
результирующих конечных случайных множеств с соответствующими
распределениями II рода.
3.3. Построение распределений вероятностей II рода 89
Следствие 3.8. Все арные ковариации конечного случайного мно-
жества KX, построенного рекуррентным методом (3.2)–(3.3) на
основе ассоциативной функции Франка, имеют вид
KovX(α) = −
1
α
ln
1 +
Q
x∈X
(e
−α·p
(e−α− 1)
x
− 1)
|X|−1
· e
α
Q
x∈X
p
x
, X ⊆ X, (3.34)
где X ⊆ X, |X| > 1; α ∈ (−∞; +∞) \ {0}.
Знак ковариации определяется знаком параметра ассоциативной функции Франка α.
Доказательство. Обозначим EX= 1 +
KovX= pX−
Y
x∈X
px= −
1
ln(EX) −
α
Y
x∈X
Q
x∈X
(e−α− 1)
px= −
−α·p
(e
x
− 1)
|X|−1
1
ln(EX) − ln e
α
.
Q
p
x
x∈X
=
1
α
1
ln
α
= −
1
ln(EX) −
α
x∈X
1 +
Q
−α·p
(e
(e−α−1)
α
x
−1)
|X|−1
1
ln e
!
Q
α·
p
x
x∈X
Q
α·
p
x
x∈X
e
= −
= −
1
ln(EX) − ln
α
1
lnEX· e
α
α·
Q
x∈X
p
e
x∈X
x
Q
α
p
x
= −
Приведем теперь два примера, иллюстрирующих доказанные выше
утверждения.
Пример 3.3. Пусть X = {x, y, z} — базовое множество случайных
3
событий. И пусть известны вероятности событий px=
, py=
8
5
pz=
. Продемонстрируем рекуррентный метод (3.2)–(3.3) на основе
8
ассоциативной функции Франка.
По формулам (3.28) вычислим значения функции множества f(X)
как функций от параметра α:
=
!
.
1
,
8
f(∅) = 1; f ({x}) = px; f ({y}) = py; f ({z}) = pz;
− 1)
;
− 1)
;
fα({x, y}) = −
fα({x, z}) = −
1
ln1 +
α
1
ln1 +
α
(e
(e
−α·p
−α·p
x
− 1)(e
(e−α− 1)
x
− 1)(e
(e−α− 1)
−α·p
−α·p
y
z
90 Глава 3. Метод рекуррентного построения распределений
fα({y, z}) = −
fα({x, y, z}) = −
1
ln1 +
α
1
ln1 +
α
(e
−α·p
−α·p
(e
x
− 1)(e
y
− 1)(e
(e−α− 1)
−α·p
y
(e−α− 1)
−α·p
z
− 1)(e
2
− 1)
−α·p
;
z
− 1)
.
Далее, по формуле (3.31) найдем значения функции множества p(X)
как функций от параметра α (рис. 3.3).:
pα(∅) = −
pα(x) =
pα(y) =
pα(z) =
1
α
(E∅+ ExEy)(E∅+ ExEz)(E∅+ EyEz)
ln
α(1−px−py−pz)
e
E∅(E
2
+ ExEyEz)
∅
αp
1
ln
α
x
e
(E∅+ ExEy)(E∅+ ExEz)
2
E
+ ExEyE
∅
z
αp
1
ln
α
y
e
(E∅+ ExEy)(E∅+ EyEz)
2
E
+ ExEyE
∅
z
αp
1
ln
α
z
e
(E∅+ ExEz)(E∅+ EyEz)
2
E
+ ExEyE
∅
z
!
!
!
!
;
;
;
;
pα(xy) = −
pα(yz) = −
где Ex= e
1
α
1
α
−α·p
2
E
+ E∅ExE
ln
ln
x
∅
2
E
+ ExEyE
∅
2
E
+ E∅EyE
∅
2
E
+ ExEyE
∅
− 1 для x ∈ X; E∅= e−α− 1.
y
; pα(xz) = −
z
z
; pα(xyz) =
z
α
2
E
1
ln
α
1
ln
+ E∅ExE
∅
2
E
+ ExEyE
∅
2
E
+ ExEyE
∅
E
2
∅
z
z
z
Выявим значения α, при которых функция множества {pα(X), X ⊆
X} будет распределением вероятностей I рода. Найдем пределы pα(X)
при α → ±∞, X ⊆ X:
lim
α→−∞
lim
α→−∞
lim
α→−∞
pα(∅) = −
; lim
8
α→∞
1
1
pα(y) =
; lim
8
α→∞
pα(xy) = 0; lim
α→∞
pα(∅) =
pα(y) = 0; lim
pα(xy) = 0; lim
3
; lim
8
α→−∞
α→−∞
α→−∞
pα(x) =
; lim
8
5
3
pα(z) =
; lim
8
pα(xz) = 0;
α→∞
α→∞
pα(x) = 0;
1
pα(z) =
4
1
lim
pα(xz) =
α→∞
; lim
4
α→−∞
pα(yz) = 0; lim
α→∞
pα(yz) = 0;
1
lim
α→−∞
pα(xyz) = 0; lim
α→∞
pα(xyz) =
.
8
;
,
;