Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. Г. ЗАДОРОЖНЫЙ
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ
И ТЕСТИРОВАНИЯ
КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ СЛАУ
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2022
УДК 519.63 (075.8)
ISBN 978-5-7782-4816-8
Задорожный А. Г., 2022
Новосибирский государственный
технический университет, 2022
З-156
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор М. Э. Рояк
канд. техн. наук, ст. научн. сотрудник
АО «ЕМ-Разведка» М. В. Абрамов
Работа подготовлена на кафедре прикладной математики НГТУ
Задорожный А. Г.
З-156 Особенности построения и тестирования конечноэлементных
СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа: учебное пособие / А. Г. Задорожный. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2022. – 88 с.
ISBN 978-5-7782-4816-8
В данном учебном пособии рассмотрены некоторые особенности построе-
ния и тестирования СЛАУ, получаемых при решении одномерных эллиптических краевых задач методом конечных элементов. Пособие может быть рекомендовано для подготовки студентов 3-го и 4-го курсов к практическим и курсовым заданиям по дисциплинам «Уравнения математической физики»,
«Метод конечных элементов» и «Численные методы».
УДК 519.63 (075.8)
ВВЕДЕНИЕ
0div grad u
div grad u f
В природе встречается множество явлений, которые не изменяются (или почти не изменяются) с течением времени, к таким явлениям
относятся стационарные электрические, тепловые и магнитные поля.
Эти явления в большинстве случаев описываются эллиптическими
краевыми задачами, которые относятся к классу стационарных задач, в
них присутствуют краевые (граничные) условия и отсутствуют начальные условия (условия по времени).
Эллиптическое уравнение – это класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.
Если такое уравнение не содержит свободного члена (слагаемого, независящего от искомой функции), то оно является однородным.
Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение
Лапласа:
В том случае, когда в задаче появляется источник поля, уравнение
Лапласа преобразуется в уравнение Пуассона:
Поскольку такие задачи часто решаются методом конечных элементов, возникает необходимость в разработке набора тестов для проверки работоспособности разработанных конечноэлементных программ. Соответственно, целью данного пособия является описание базовых тестов для программ, решающих одномерные эллиптические
краевые задачи в различных системах координат методом конечных
элементов.
.
.
3
1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
1
0
g
S
div grad u
uu
2
0
S
div grad u
du
dn
3
3
S
S
div grad u f
du
uu
dn
Краевая задача (граничная задача) – это задача о нахождении ре-
шения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям на границе области.
В зависимости от типа краевых условий (они будут рассмотрены
далее подробно) можно выделить следующие эллиптические краевые
задачи:
1) Первая краевая задача (задача Дирихле):
2) Первая краевая задача (задача Неймана):
3) Третья краевая задача (задачи Ньютона и Робена):
;
;
.
4
1.1. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
div grad u u f
1
g
s
uu
2
S
du
dn
3
3
S
S
du
uu
dn
Эллиптическая краевая задача в общем случае описывается эллип-
тическим уравнением
, (1)
заданным в расчетной области с границей и краевыми условиями
, (2)
, (3)
, (4)
где:
– искомая (неизвестная) функция;
– значение функции правой части (источника);
– значение параметра среды (коэффициент диффузии),
– значение параметра среды ;
– значение на границе ;
– значение производной по нормали на границах и ;
– значение коэффициента пропорциональности обмена с окру-
жающей средой на границе ;
– значение функции обмена с окружающей средой на границе .
5
1.2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
1
g
S
uu
2
S
du
dn
При решении эллиптических краевых задач используются краевые
условия первого, второго и/или третьего рода.
1.2.1. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРВОГО РОДА
Краевые условия 1-го рода определяют значение искомой функции
на границе и называются граничными условиями Дирихле:
. (5)
Данные краевые условия позволяют однозначно определить тре-
буемую функцию.
1.2.2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ВТОРОГО РОДА
Краевые условия 2-го рода определяют значение производной ис-
комой функции на границе и называются граничными условиями
Неймана:
. (6)
Данные краевые условия позволяют определить требуемую функ-
цию с точностью до константы.
Для уравнения теплопроводности вторые краевые условия интер-
претируется как тепловой поток на границе области. Для уравнений же
электромагнетизма они рассматриваются как магнитное (электрическое) поле на границе – соответственно, называются магнитными
(электрическими) краевыми условиями.
6
1.2.3. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ТРЕТЬЕГО РОДА
3
3
S
S
du
uu
dn
Краевые условия 3-го рода задают связь на границе между
искомой функцией и ее нормальной производной (представляют собой
взвешенную комбинацию граничных условий Дирихле и Неймана) и
называются граничными условиями Ньютона (Робина):
. (7)
Данные краевые условия позволяют определить требуемую функ-
цию с точностью до константы.
Граничные условия 3-го рода в задачах теплопроводности также
называются конвективными граничными условиями, а в электромаг-
нитных задачах – граничными условиями импеданса.
1.2.4. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
В ряде краевых задач требуется, чтобы решение уравнения удовлетворяло различным краевым условиям на границе.
В том случае, когда границы с 1-ми и 2-ми краевыми условиями не
пересекаются ( ), краевые условия называются смешанными.
Смешанное граничное условие отличается от граничного условия
3-го рода тем, что последнее требует выполнения линейной комбинации граничных условий Дирихле и Неймана на всей границе.
1.2.5. ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
В тех случаях, когда правая часть в краевых условиях равна нулю,
такие условия называются однородными.
7
2. ОДНОМЕРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
В данной работе рассматриваются только одномерные эллиптические краевые задачи в различных системах координат. В большинстве
задач краевые условия задаются на левой и/или правой границах расчетной области. В качестве физического примера такой задачи можно
рассмотреть задачу расчета температуры длинного тонкого стержня,
который нагревается постоянным источником с одного своего конца
(рис.1).
Рис.1. Пример задачи на нагревания стержня.
2.1. ОДНОМЕРНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Эллиптическое уравнение является уравнением в частных производных, его вид зависит от используемой системы координат. В большинстве случаев задача решается в декартовой системе координат, но
в ряде случаев могут использоваться цилиндрические (которые в одномерном случае совпадают полярными) или сферические координаты.
8
2.1.1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
du
grad udx
x
dv
div vdx
2
2
du
div grad udx
1
2
3
3
xS
xS
xS
xS
g
d du
u f x
dx dx
u u x
du
x
dn
du
u x u
dn
В одномерной декартовой системе координат формулы градиента
некоторой функции и дивергенции некоторого вектора
имеют следующий вид:
, (8)
. (9)
На основании данных формул лапласиан может быть записан следующим образом:
. (10)
Соответственно, эллиптическая краевая задача (1)-(4) для одномерной функции в области примет вид:
. (11)
9
2.1.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ (ПОЛЯРНЫЕ) КООРДИНАТЫ
du
grad udr
1
r
d r v
div v
r dr
1 d du
div grad u r
r dr dr
1
2
3
3
1
rS
rS
rS
rS
g
d du
r u f r
r dr dr
u u r
du
r
dn
du
u r u
dn
В цилиндрической и полярной одномерных системах координат
формулы градиента некоторой функции и дивергенции некоторого вектора
имеют следующий вид:
, (12)
. (13)
На основании данных формул лапласиан может быть записан следующим образом:
. (14)
Соответственно, эллиптическая краевая задача (1)-(4) для одномерной функции в области примет вид:
. (15)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]