Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
2.1.3. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
du
grad udr
2
2
1
r
d r v
div v
r dr
2
2
1 d du
div grad u r
r dr dr
1
2
3
3
2
2
1
rS
rS
rS
rS
g
d du
r u f r
r dr dr
u u r
du
r
dn
du
u r u
dn
В одномерной сферической системе координат формулы градиен-
та функции некоторой и дивергенции некоторого вектора
имеют следующий вид:
, (16)
. (17)
На основании данных формул лапласиан может быть записан следующим образом:
. (18)
Соответственно, эллиптическая краевая задача (1)-(4) для одномерной функции в области примет вид:
. (19)
11
2.2. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ СЛАУ
G M M q F F F
ij i j
g grad grad d
ij i j
md
3
ij i j
S
m dS
ii
f f d
2
ii
S
f dS
3
ii
S
uf dS
i
q
i
f
i
В результате применения МКЭ [1] к исходному уравнению (1)
можно получить конечноэлементную СЛАУ вида
, (20)
где:
– элементы матрицы жесткости ;
– элементы матрицы массы ;
– элементы матрицы для 3-х краевых условий;
– элементы вектора правой части ;
– элементы вектора для 2-х краевых условий;
– элементы вектора для 3-х краевых условий;
– значения функции в узлах сетки;
– значения функции в узлах сетки;
–базисные функции.
В качестве базисных функций
будем рассматривать лишь ли-
нейные, квадратичные и кубические одномерные лагранжевы финитные базисные функции.
Финитные функции – это функции, которые не равны нулю лишь в
некоторой области (конечном носителе).
Базисная функция – это финитная функция, которая равна нулю
во всех узлах, кроме "своего" узла
. Соответственно, конечным носи-
телем для базисной функции является набор конечных элементов ,
содержащих данный узел .
12
2.2.1. СТРУКТУРА МАТРИЦЫ
g
u
Хотя локальные матрицы и будут плотными, собираемая из них
глобальная матрица получится уже разреженной, при этом все ненулевые элементы матрицы будут сосредоточены у главной диагонали
(рис.2). В связи с этим для хранения такой матрицы эффективны будут
профильный строчно-столбцовый и ленточный строчно-столбцовый
форматы [2].
Поскольку рассматриваемые в учебном пособии задачи приводят к
генерации симметричных положительно-определенных разреженных
матриц, для решения СЛАУ лучше всего подойдет метод квадратного
корня (-разложение) для разреженных матриц. Но при наложении
1-х краевых условий матрица может стать несимметричной, в этом
случае эффективно будет использование LU-разложения для разреженных матриц либо запуск процедуры симметризации методом жордановых исключений (когда соответствующий столбец переносится в
правую часть с коэффициентом
).
В случае же хранения матрицы в плотном формате, можно исполь-
зовать и метод Гаусса.
Рис.2. Пример структуры матриц.
13
2.2.2. УЧЕТ ПЕРВЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В СЛАУ
1
n
j j g
j
a q u
k
1,
:
0,
:
kj
kg
jk
a
jk
fu
g
u
,
:
,
1,
:
0,
g
i
i ik g
ik
u i k
f
f a u i k
ik
a
ik
:
:
kk
kg
a
fu
Λ
Λ
Учет 1-го краевого условия проводится только после сборки гло-
бальной СЛАУ размерности n.
Если в k-м узле заданы первые краевые условия, то это означает
выполнение следующего требования для k-й строки СЛАУ:
. (21)
Соответственно, классический метод учета 1-го краевого условия
сводится к следующему изменению в k-й строке:
. (22)
Недостатком классического метода является то, что мастерица пе-
рестает быть симметричной. В этом случае можно использовать процедуру симметризации методом жордановых исключений (когда весь
k-й столбец переносится в правую часть с коэффициентом
. (23)
):
Альтернативой является метод «большого числа», не влияющий
на симметричность матрицы:
где – "большое" число, которое как минимум в раз (для типа
данных double) больше максимального в k-й строке элемента.
, (24)
14
2.2.3. УЧЕТ ВТОРЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В СЛАУ
2
,
,0
i i ikk
k
S
vv
v
vdv
fS
3
0,,
ij i j i k j k
k
k
S
m dS v v
vv
vv
3
,
,0
k
k
i i i k
S
f dS
u v v
uu
vv
v
Поскольку граница в одномерных задачах вырождается в от-
дельные узлы , то соответствующий интеграл равен своему подынтегральному значению в данных узлах:
. (25)
Таким образом, учет 2-го краевого условия в k-м узле сводится к
добавлению в k-ю компоненту локальной правой части значения .
2.2.4. УЧЕТ ТРЕТЬИХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В СЛАУ
Поскольку граница в одномерных задачах вырождается в от-
дельные узлы
, то соответствующие интегралы равны своим подын-
тегральным значениям в данных узлах:
, (26)
. (27)
Таким образом, учет 3-го краевого условия в k-м узле сводится к
добавлению в k-ю строку локальной матрицы и локальной правой части значений и соответственно.
15
2.3. ЗАДАНИЕ РАВНОМЕРНЫХ СЕТОК
, 0...
i
v a i h i n
ba
h
n
ba
n
h
При тестировании на сетках малой размерности узлы сетки можно
задать вручную, но и в этом случае лучше использовать алгоритмический метод задания.
Самые простой класс сеток – равномерные (сетки с постоянным
шагом). Такие сетки задаются двумя взаимозависимыми параметрами
– значением шага и количеством таких шагов.
Для заданных границ a и b области все узлы будут изменяться в интервале по закону
, (28)
где:
– количество шагов (на 1 меньше числа узлов);
– постоянный шаг сетки.
Если зафиксировать n, тогда шаг можно вычислить по следующей
формуле:
. (29)
Если же зафиксировать не n, а h, тогда количество шагов можно
вычислить по формуле
, (30)
но в этом случае нужно убедиться, что длина области нацело делится
на число шагов.
Обратим внимание, что при использовании квадратичных базисных функций внутри интервала
появится дополнительный
(внутренний) узел, в результате число шагов удвоится. При использовании же кубических базисных функций внутри интервала
появятся два дополнительных узла, в результате число шагов утроится.
16
2.4. ПРИМЕР ЗАДАНИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
2
1u x x x
00
0
3 1 2 3
xx
x
du du
x
dn dx
9
99
3 1 2 57
x
xx
du du
x
dn dx
При тестировании программы, решающей краевую задачу, необходимо правильно задавать краевые условия, для этого сначала зададим уравнение, а по нему уже рассчитаем необходимые параметры
краевых условий.
На примере функции
(31)
в области с параметром рассмотрим получение параметров краевых условий для левой и правой границы области.
Обратим внимание, что знак производной по нормали (нормаль
внешняя), зависит от того, на которой границе она рассчитывается.
Для левой границы области нормаль направлена против направления
оси (соответственно, имеет отрицательный знак), а для правой направление нормали совпадает с направлением оси (рис. 3). Соответственно,
для функции из (31) получаются 2 значения производной по нормали:
. (32)
. (33)
Рис.3. Направление нормали на границах области.
17
2.4.1. ПЕРВОГО РОДА
1
1
2
1, 0
1
91, 9
g
xS
xS
x
u x u x x x
x
2
2
,0
57,
3
9
36
xS
xS
x
du
x
x
dxx
3
3
2
00
99
36
205
11
1
0.5
5, 0
9
xx
x
S
S
x
du
u x u x x
dn
x
x
x
3
3
00
22
99
11
3, 0
5.7,69
3
1
xx
xx
S
S
x
x x x
du
dn u u
x
x
Для примера (31) параметр 1-х краевых условий примет вид:
. (34)
2.4.2. ВТОРОГО РОДА
Для примера (31) параметр 2-х краевых условий примет вид:
. (35)
2.4.3. ТРЕТЬЕГО РОДА
Поскольку параметры 3-х краевых условий и взаимозависимы, поэтому в примере (31) их можно задавать по-разному:
1) Пусть , тогда
; (36)
2) Пусть
, тогда
18
. (37)
3. ЛИНЕЙНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ ЭЛЕМЕНТЫ
0
1
1
1
k
k
k
k
v
v
1
01
11
11
11
1
1 0 1 2
2
,,
,,
0, ,
,,
,,
0, ,
k
kk
k
k k k
kk
k
kk
k
k k k
kk
v v v v
v v v v v
v v v
v v v v
v v v v v
v v v
На каждом линейном лагранжевом элементе
ной
функции
здесь
, задаются две локальные линейные базисные
и
:
, (38)
.
дли-
Соответственно, на данном элементе будут не равны нулю только
следующие 2 глобальные кусочно-линейные базисные функции :
. (39)
19
3.1. СТРУКТУРА ГЛОБАЛЬНОЙ СЛАУ
КЭ
1nn
11 12 0 1
21 22 11 12 1 2 1
21 22 11 12 2 2 1
21 22 11 12 3 2 1
21 22 4 2
q
q
q
q
q
I I I
I I II II I II
II II III III II III
III III IV IV III IV
IV IV IV
Поскольку базисные функции являются финитными и линейными,
то каждый граничный узел связан с одним левым и одним правым граничными узлами (пример связей показан на рис.4). Соответственно,
структура глобальной матрицы получается трехдиагональной, при
этом ее размерность n (количество узлов и базисных функций) зависит от количества конечных элементов по следующей формуле:
. (40)
На рис.5 представлены позиции для заполнения соответствующими элементами локальных СЛАУ глобальной СЛАУ при условии, что
расчетная область состоит из четырех конечных элементов:
.
Рис.4. Структура связей узлов линейного элемента.
Рис.5. Структура глобальной СЛАУ для четырех линейных элементов.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]