Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
Тест №4.6
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
4 48 4 0 0 0 0
1 4 30 4 1 0 0
0 0 4 48 4 0 0
0 0 1 4 30 4 1
0 0 0 0 4 48 4
0 0 0 0 1 4 15
Вектор
2 680 640 1880 1240 3080 1010
T
Вектор
2 17 32 47 62 77 92
T
Т а б л и ц а 27
61
Тест №4.7
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
4 48 4 0 0 0 0
1 4 30 4 1 0 0
0 0 4 48 4 0 0
0 0 1 4 30 4 1
0 0 0 0 4 48 4
0 0 0 0 1 4 25
Вектор
2 680 640 1880 1240 3080 1930
T
Вектор
2 17 32 47 62 77 92
T
Т а б л и ц а 28
62
4.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
7 8 1 3 4 1
1
8 16 8 4 136 12
1 8 7 1 12 11
2
k
kk
k
k
h
G r
h
4 2 1 1 0 1
2 16 2 0 16 4
30 2
1 2 4 1 4 7
kk
kk
k
hh
M r
2
21
22
4 2 1 1 0 1
2 16 2 0 16 4
30 2
1 2 4 1 4 7
k
kk
k
kk
k
f
hh
rf
f
F
При использовании одномерных квадратичных базисных функций
локальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
длиной
, (52)
где:
,
,
.
В данном случае предполагается, что коэффициенты и яв-
ляются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие, то-
гда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
,
, а к
63
4.3.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
логично задавать такие значения , и
, чтобы матрицы и вектора
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 30.
2. Значения коэффициентов – натуральные числа.
3. Значения коэффициента – кратны .
4. Координаты узлов – натуральные числа.
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.29 приведены параметры и результаты теста на матрицу
жесткости для расчетной области, состоящей из трех одинаковых
конечных элементов длиной 1, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.30 приведены параметры и результаты теста на матрицу
массы для расчетной области, состоящей из трех одинаковых конечных элементов длиной 30, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.31 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из трех конечных
элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
64
Тест №5.1
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
17 20 3 0 0 0 0
20 48 28 0 0 0 0
3 28 56 36 5 0 0
0 0 36 80 44 0 0
0 0 5 44 84 52 7
0 0 0 0 52 112 60
0 0 0 0 7 60 53
Вектор
000000000
T
Т а б л и ц а 29
65
Тест №5.2
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
19 2 16 0 0 0 0
2 256 62 0 0 0 0
16 62 248 62 46 0 0
0 0 62 736 122 0 0
0 0 46 122 488 122 76
0 0 0 0 122 1216 182
0 0 0 0 76 182 349
Вектор
15 960 930 2760 1830 4560 1365
T
Т а б л и ц а 30
66
Тест №5.3
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
142 132 0 0 0 0 0
132 1024 252 0 0 0 0
0 252 1485 120 183 0 0
0 0 120 4880 120 0 0
0 0 183 120 4005 1212 0
0 0 0 0 1212 6784 1332
0 0 0 0 0 1332 2542
Вектор
30 1920 2790 14640 8190 12720 3630
T
Т а б л и ц а 31
67
4.3.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
8
h
h
uu
uu
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
Тестирование на линейной функции осложнено тем, что в функ-
ции правой части появляется обратная функция (например, для
получится ) и соответствующая СЛАУ
не будет целочисленной. Кроме того, получаемое решение будет с по-
грешностью, которую, правда, можно уменьшить путем сдвига далеко вправо по оси . В связи с этим построение тестов в табл. 32-35
будет проводиться для квадратичной функции.
В табл. 32-35 для квадратичной функции приведены примеры тестов в различных условиях: без краевых условий (тест 5.4), с 1-ми краевыми условиями (тест 5.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 5.6) и с
3-ми краевыми условиями (тест 5.7). Как можно видеть, результаты
получились точными только для теста 5.5, а для тестов 5.6 и 5.7 решение получилось с погрешностью из-за появления неконстантной функции во 2-х краевых условиях.
При учете 2-х краевых условий для квадратичной функции уже
появляется погрешность. Также она появляется и при тестировании на
полиномах порядка выше третьего, например, если в тесте 5.5 заменить функцию
уже во втором знаке (исключая компоненты, соответствующими 1-м краевым
условиям).
на
, то погрешность появится
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
третьего появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться с третьим порядком сходимости (поскольку базисные функции квадратичные), т.е. с коэффи-
циентом, приближающимся к :
. (53)
68
Тест №5.4
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
90 64 16 0 0 0 0
64 768 64 0 0 0 0
16 64 930 184 46 0 0
0 0 184 2208 184 0 0
0 0 46 184 1830 304 76
0 0 0 0 304 3648 304
0 0 0 0 76 304 1290
Вектор
-31480 135680 317440 3812480 3991840 17425280 7154120
T
Вектор
2.99 256.71 957.49 2111.02 3654.79 5672.73 7097.98
T
Т а б л и ц а 32
69
Тест №5.5
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
64 768 64 0 0 0 0
16 64 930 184 46 0 0
0 0 184 2208 184 0 0
0 0 46 184 1830 304 76
0 0 0 0 304 3648 304
0 0 0 0 0 0 1
Вектор
2 135680 317440 3812480 3991840 17425280 8282
T
Вектор
2 257 962 2117 3722 5777 8282
T
Т а б л и ц а 33
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]