Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
3.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
1 –1
2
–1 1
2
kk
kk
k
rh
h
G
2 1 1 1
1 2 1 3
62
kk
kk
k
M
hh
r
1
2 1 1 1
1 2 1
62
3
kk
k
k
k
k
f
hh
r
f
F
При использовании одномерных линейных базисных функций ло-
кальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
длиной
, (43)
где:
,
,
,
.
В данном случае предполагается, что коэффициенты и яв-
ляются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие, то-
гда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
, а к
31
3.3.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
логично задавать такие значения , и
, чтобы матрицы и вектора
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 6.
2. Значения коэффициентов – натуральные числа.
3. Значения коэффициента – кратны .
4. Координаты узлов – натуральные числа.
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.8 приведены параметры и результаты теста на матрицу же-
сткости для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых
конечных элементов длиной 2, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.9 приведены параметры и результаты теста на матрицу мас-
сы для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых ко-
нечных элементов длиной 6, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.10 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из четырех конеч-
ных элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
32
Тест №2.1
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 1 0 0 0
1 3 2 0 0
0 2 5 3 0
0 0 3 7 4
0 0 0 4 4
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
0
0
0
0
0
Т а б л и ц а 8
33
Тест №2.2
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
5 4 0 0 0
4 28 10 0 0
0 10 52 16 0
0 0 16 76 22
0 0 0 22 47
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
234
27
126
342
207
Т а б л и ц а 9
34
Тест №2.3
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
14 6 0 0 0
6 70 24 0 0
0 24 152 40 0
0 0 40 190 30
0 0 0 30 94
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
60
300
648
780
372
Т а б л и ц а 10
35
3.3.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
4
h
h
uu
uu
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
Тестирование на линейной функции осложнено тем, что в функ-
ции правой части появляется обратная функция (например, для
получится ) и соответствующая СЛАУ не
будет целочисленной. Кроме того, получаемое решение будет с по-
грешностью, которую, правда, можно уменьшить путем сдвига далеко вправо по оси . В связи с этим построение тестов в табл. 11-14
будет проводиться для квадратичной функции.
В табл. 11-14 для квадратичной функции приведены примеры тестов в различных условиях: без краевых условий (тест 2.4), с 1-ми краевыми условиями (тест 2.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 2.6) и с
3-ми краевыми условиями (тест 2.7). Как можно видеть, результаты
получились точными только для теста 2.5, а для тестов 2.6 и 2.7 решение получилось с погрешностью из-за появления неконстантной функции во 2-х краевых условиях. Но если в тесте 2.5 посмотреть решение
не в узловой точке области, то можно увидеть погрешность.
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
первого появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться со вторым порядком сходимости (поскольку базисные функции линейны), т.е. с коэффициен-
том, приближающимся к :
. (44)
36
Тест №2.4
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
12 6 0 0 0
6 63 15 0 0
0 15 117 24 0
0 0 24 171 33
0 0 0 33 105
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
312
5712
29328
86640
73944
Вектор решения СЛАУ
0.75 50.5 168 370 588
T
Т а б л и ц а 11
37
Тест №2.5
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
6 63 15 0 0
0 15 117 24 0
0 0 24 171 33
0 0 0 0 1
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
5628
29172
86412
626
Вектор решения СЛАУ
2 50 170 362 626
T
Т а б л и ц а 12
38
Тест №2.6
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
6 63 15 0 0
0 15 117 24 0
0 0 24 171 33
0 0 0 33 105
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
5712
29328
7409
86640
4
Вектор решения СЛАУ
2 50.36 168.5 369.2 589.6
T
Т а б л и ц а 13
39
Тест №2.7
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
6 63 15 0 0
0 15 117 24 0
0 0 24 171 33
0 0 0 33 115
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
5712
29328
8035
86640
4
Вектор решения СЛАУ
2 50.33 168.6 368.6 593
T
Т а б л и ц а 14
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]