Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
3.4. СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
2
2
33
1 –1
–1 1
3
kk
kk
kk
k
h r h r
G
h
2
2
20 10 10 10 2 3
10 20 10 3 3 12
60
0
k
k k k k
kk
h
r h rM h
2
2
1
20 10 10 10 2 3
10 20 10 30 3 12
60
k
k
k k k
kk
k
f
h
r h r h
f
F
При использовании одномерных линейных базисных функций ло-
кальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
длиной
. (45)
где:
,
,
В данном случае предполагается, что коэффициенты и яв-
ляются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие, то-
гда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
,
.
, а к
41
3.4.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
логично задавать такие значения , и
, чтобы матрицы и вектора
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 60.
2. Значения коэффициентов – натуральные числа.
3. Значения коэффициента – кратны .
4. Координаты узлов – натуральные числа.
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.15 приведены параметры и результаты теста на матрицу
жесткости для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых
конечных элементов длиной 1, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.16 приведены параметры и результаты теста на матрицу
массы для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых
конечных элементов длиной 60, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.17 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из четырех конеч-
ных элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
42
Тест №3.1
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
7 7 0 0 0
7 26 19 0 0
0 19 56 37 0
0 0 37 98 61
0 0 0 61 61
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
0
0
0
0
0
Т а б л и ц а 15
43
Тест №3.2
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
7820 11410
11410 163240 84610
84610 600040 229810
2
000
00
00
00
000
29810 1324840 447010
447010 1024220
Глобальный
вектор правой части
СЛАУ
57690
777780
2743380
6004980
4413690
Т а б л и ц а 16
44
Тест №3.3
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1722 843
843 55563 34989
34989 364602 133269
1
000
00
00
00
000
33269 694383 82743
82743 356622
Глобальный
вектор правой части
СЛАУ
7695
274185
1598580
2731185
1318095
Т а б л и ц а 17
45
3.4.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
4
h
h
uu
uu
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
Тестирование на линейной функции осложнено тем, что в функ-
ции правой части появляется обратная функция (например, для
получится ) и соответствующая СЛАУ
не будет целочисленной. Кроме того, получаемое решение будет с по-
грешностью, которую, правда, можно уменьшить путем сдвига далеко вправо по оси . В связи с этим построение тестов в табл. 18-21
будет проводиться для квадратичной функции.
В табл. 18-21 для квадратичной функции приведены примеры тестов в различных условиях: без краевых условий (тест 3.4), с 1-ми краевыми условиями (тест 3.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 3.6) и с
3-ми краевыми условиями (тест 3.7). Как можно видеть, результаты
получились точными только для теста 3.5, а для тестов 3.6 и 3.7 решение получилось с погрешностью из-за появления неконстантной функции во 2-х краевых условиях. Но если в тесте 3.5 посмотреть решение
не в узловой точке области, то можно увидеть погрешность.
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
первого появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться со вторым порядком сходимости (поскольку базисные функции линейны), т.е. с коэффициен-
том, приближающимся к :
46
. (46)
Тест №3.4
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
95 70 0 0 0
70 1174 406 0 0
0 406 3814 1030 0
0 0 1030 8038 1942
0 0 0 1942 6023
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
3414
127428
1041108
4300116
4287486
Вектор решения СЛАУ
1.41 50.68 167.6 370.4 592.4
T
Т а б л и ц а 18
47
Тест №3.5
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
70 1174 406 0 0
0 406 3814 1030 0
0 0 1030 8038 1942
0 0 0 0 1
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
127428
1041108
4300116
626
Вектор решения СЛАУ
2 49.65 169.9 362 626
T
Т а б л и ц а 19
48
Тест №3.6
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
70 1174 406 0 0
0 406 3814 1030 0
0 0 1030 8038 1942
0 0 0 1942 6023
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
127428
1041108
4300116
4287786
Вектор решения СЛАУ
2 50.47 167.6 370.4 592.5
T
Т а б л и ц а 20
49
Тест №3.7
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
70 1174 406 0 0
0 406 3814 1030 0
0 0 1030 8038 1942
0 0 0 1942 6033
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
429
2
12
434
7428
1041108
4300116
6
Вектор решения СЛАУ
2 50.47 167.6 370.3 592.6
T
Т а б л и ц а 21
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]