Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
Тест №5.6
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
64 768 64 0 0 0 0
16 64 930 184 46 0 0
0 0 184 2208 184 0 0
0 0 46 184 1830 304 76
0 0 0 0 304 3648 304
0 0 0 0 76 304 1290
Вектор
2 135680 317440 3812480 3991840 17425280 7154130
T
Вектор
2 256.63 957.55 2111.13 3656.05 5674.69 7120.22
T
Т а б л и ц а 34
71
Тест №5.7
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
64 768 64 0 0 0 0
16 64 930 184 46 0 0
0 0 184 2208 184 0 0
0 0 46 184 1830 304 76
0 0 0 0 304 3648 304
0 0 0 0 76 304 1300
Вектор
2 135680 317440 3812480 3991840 17425280 7253320
T
Вектор
2 256.63 957.55 2111.13 3656.05 5674.69 7120.22
T
Т а б л и ц а 35
72
5. КУБИЧЕСКИЕ ЛАГРАНЖЕВЫ ЭЛЕМЕНТЫ
3
0
31
1
32
2
33
3
9
12
1
2 3 3
27
2
1
23
27
1
1
23
9
12
2 3 3
k
k
k
k
k
k
k
k
v
v
v
v
11
3
30
1
1
31
2
32
3
11
3 3 0
1
,
,
0,
,
0,
,
0,
,
,
0,
kk
kk
k
kk
kk
k
k
kk
k
k
kk
kk
k
kk
vv
v v v
v
vv
v
v
vv
v
v
vv
v v v
v
На кубическом лагранжевом элементе
внутренними узлами
ческие базисные функции
, поделенном на 3 равные части дополнительными
и
,
здесь
,
Соответственно, на данном элементе будут не равны нулю только
следующие 4 глобальные кусочно-кубические базисные функции
:
длиной
, задаются четыре локальные куби-
,
и
:
, (54)
,
.
. (55)
73
5.1. СТРУКТУРА ГЛОБАЛЬНОЙ СЛАУ
КЭ
13nn
11 12 13 14 0
21 22 23 24 1
31 32 33 34
41 42 43 44 11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44 11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
q
q
I I I I
I I I I
I II I I
I I I I II II II II
II II II II
II II II II
II II II II III III III III
III III III III
III III III III
III III III III
1
2
23
3 4 1
42
53
6 4 1
72
83
94
q
q
q
q
q
q
q
q
I
I
I
I II
II
II
II III
III
III
III
Поскольку базисные функции являются финитными и кубическими, то каждый граничный узел связан с тремя левыми (одним граничным и двумя внутренними) и тремя правыми узлами (одним граничным и двумя внутренними), а внутренний – только с левым и правым
граничными узлами (пример связей показан на рис.6). Соответственно,
структура глобальной матрицы получается семидиагональной, при
этом ее размерность n (количество узлов и базисных функций) зави-
сит от количества конечных элементов по следующей формуле:
. (56)
На рис.9 представлены позиции для заполнения соответствующими элементами локальных СЛАУ глобальной СЛАУ при условии,
что расчетная область состоит из трех конечных элементов:
Рис.9. Структура глобальной СЛАУ для трех кубических элементов.
.
Рис.8. Структура связей узлов кубического элемента.
74
5.2. ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
54 13
297 54
54 29
148 –189
–189 432
1
47
13
32 –189
40
–18954 148
kk
k
G
h
36 19
99 81 36
36 8
128 99
648
61 99
1680
19 36 99 128
48
k
kk
M
h
2
21
22
23
36 19
99 81 36
36 81 99
1680
19 36 99 1
128 99
648
62848
k
k
k
k
k
k
f
f
h
f
f
F
При использовании одномерных кубических базисных функций
локальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
, (57)
длиной
где:
,
,
,
.
В данном случае предполагается, что коэффициенты и являются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие,
тогда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
, а к
75
5.2.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
логично задавать такие значения , и
, чтобы матрицы и вектора
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 1680.
2. Значения коэффициентов – натуральные.
3. Значения коэффициента – кратны .
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.36 приведены параметры и результаты теста на матрицу
жесткости для расчетной области, состоящей из трех одинаковых
конечных элементов длиной 1, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.36 приведены параметры и результаты теста на матрицу
массы для расчетной области, состоящей из трех одинаковых конечных элементов длиной 1680, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.37 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из трех конечных
элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
76
Тест №6.1
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
148 189 54 13 0 0 0 0 0 0
189 432 297 54 0 0 0 0 0 0
54 297 432 189 0 0 0 0 0 0
13 54 189 296 189 54 13 0 0 0
0 0 0 189 432 297 54 0 0 0
0 0 0 54 297 432 189 0 0 0
0 0 0 13 54 189 296 189 54 13
0 0 0 0 0 0 189 432 297 54
0 0 0 0 0 0 54 297 432 189
0 0 0 0 0 0 13 54 189 148
Вектор
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T
Т а б л и ц а 36
77
Тест №6.2
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
128 99 36 19 0 0 0 0 0 0
99 648 81 36 0 0 0 0 0 0
36 81 648 99 0 0 0 0 0 0
19 36 99 256 99 36 19 0 0 0
0 0 0 99 648 81 36 0 0 0
0 0 0 36 81 648 99 0 0 0
0 0 0 19 36 99 256 99 36 19
0 0 0 0 0 0 99 648 81 36
0 0 0 0 0 0 36 81 648 99
0 0 0 0 0 0 19 36 99 128
Вектор
630 1890 1890 1260 1890 1890 1260 1890 1890 630
T
Т а б л и ц а 3 7
78
Тест №6.3
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
404 9 18 25 0 0 0 0 0 0
9 1728 459 18 0 0 0 0 0 0
18 459 1728 9 0 0 0 0 0 0
25 18 9 828 279 72 7 0 0 0
0 0 0 279 1512 675 72 0 0 0
0 0 0 72 675 1512 279 0 0 0
0 0 0 7 72 279 828 9 18 25
0 0 0 0 0 0 9 1728 459 18
0 0 0 0 0 0 18 459 1728 9
0 0 0 0 0 0 25 18 9 404
Вектор
1260 3780 3780 2520 3780 3780 2520 3780 3780 1260
T
Т а б л и ц а 38
79
5.2.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
16
h
h
uu
uu
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
В табл.39-40 для линейной функции приведены примеры тестов в
различных условиях: без краевых условий (тест 6.4), с 1-ми краевыми
условиями (тест 6.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 6.6) и с 3-ми
краевыми условиями (тест 6.7). Как можно видеть, результаты получились точными (исключая тест 6.4). Это связано с тем, что функции
и точно расписываются по базисным функциям.
Когда коэффициенты
функциями, при тестировании на линейных, квадратичных и кубиче-
и являются кусочно-постоянными
ских функциях с 1-ми краевыми условиями решение также всегда будет получаться точным (по этой же причине).
При учете 2-х краевых условий для квадратичной функции уже
появляется погрешность. Также она появляется и при тестировании на
полиномах порядка выше третьего, например, если в тесте 6.5 заменить функцию
уже во втором знаке (исключая компоненты, соответствующими 1-м краевым
условиям).
на
, то погрешность появится
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
третьего появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться с четвертым порядком
сходимости (поскольку базисные функции кубические), т.е. с коэффи-
циентом, приближающимся к :
. (58)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]