Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
4. КВАДРАТИЧНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ ЭЛЕМЕНТЫ
2
0
21
1
22
2
1
21
2
41
1
2
2
k
k
k
k
k
k
v
v
v
11
2
20
1
1
21
2
11
2 2 0
1
,
,
0,
,
0,
,
,
0,
kk
kk
k
kk
kk
k
k
kk
kk
k
kk
vv
v v v
v
vv
v
v
vv
v v v
v
На квадратичном лагранжевом элементе
внутренним узлом
зисные функции
, поделенном на 2 равные части дополнительным
, задаются три локальные квадратичные ба-
,
и
:
здесь
,
.
длиной
, (47)
Соответственно, на данном элементе будут не равны нулю только
следующие 3 глобальные кусочно-квадратичные базисные функции
:
. (48)
51
4.1. СТРУКТУРА ГЛОБАЛЬНОЙ СЛАУ
КЭ
12nn
11 12 13 0 1
21 22 23 1 2
31 32 33 11 12 13 2 3 1
21 22 23 3 2
31 32 33 11 12 13 4 3 1
21 22 23 5 2
31 32 33 6 3
q
q
q
q
q
q
q
I I I I
I I I I
I II I II II II I II
II II II II
II II II III III III II III
III III III III
III III III III
Поскольку базисные функции являются финитными и квадратич-
ными, то каждый граничный узел связан с двумя левыми (внутренним
и граничным) и двумя правыми (внутренним и граничным) узлами, а
внутренний – только с левым и правым граничными узлами (пример
связей показан на рис.6). Соответственно, структура глобальной матрицы получается пятидиагональной, при этом ее размерность n (количество узлов и базисных функций) зависит от количества конечных
элементов по следующей формуле:
. (49)
На рис.7 представлены позиции для заполнения соответствующими элементами локальных СЛАУ глобальной СЛАУ при условии,
что расчетная область состоит из трех конечных элементов:
Рис.6. Структура связей узлов квадратичного элемента.
Рис.7. Структура глобальной СЛАУ для трех квадратичных элементов.
.
52
4.2. ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
78
1
8118
1837
6
kk
k
h
G
42
2112
30
1 2 4
6
k
kk
h
M
2
21
22
1
2
30
1
42
2 16
24
k
k
k
k
k
f
h
F f
f
При использовании одномерных квадратичных базисных функций
локальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
длиной
, (50)
где:
,
,
,
.
В данном случае предполагается, что коэффициенты и являются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие,
тогда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
, а к
53
4.2.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
логично задавать такие значения , и
, чтобы матрицы и вектора
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 30.
2. Значения коэффициентов – натуральные числа.
3. Значения коэффициента – кратны .
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.22 приведены параметры и результаты теста на матрицу
жесткости для расчетной области, состоящей из трех одинаковых
конечных элементов длиной 1, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.23 приведены параметры и результаты теста на матрицу
массы для расчетной области, состоящей из трех одинаковых конечных элементов длиной 30, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.24 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из трех конечных
элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
54
Тест №4.1
Параметр
Значение
Область
Сетка
Параметр
Параметр
Функция
Функция
Глобальная
матрица СЛАУ
7 8 1 0 0 0 0
8 16 8 0 0 0 0
1 8 14 8 1 0 0
0 0 8 16 8 0 0
0 0 1 8 14 8 1
0 0 0 0 8 16 8
0 0 0 0 1 8 7
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
0000000
T
Т а б л и ц а 22
55
Тест №4.2
Параметр
Значение
Область
Сетка
Параметр
Параметр
Функция
Функция
Глобальная
матрица СЛАУ
4 2 1 0 0 0 0
2 16 2 0 0 0 0
1 2 8 2 1 0 0
0 0 2 16 2 0 0
0 0 1 2 8 2 1
0 0 0 0 2 16 2
0 0 0 0 1 2 4
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
15 60 30 60 30 60 15
T
Т а б л и ц а 23
56
Тест №4.3
Параметр
Значение
Область
Сетка
Параметр
Параметр
Функция
Функция
Глобальная
матрица СЛАУ
18 14 1 0 0 0 0
14 48 14 0 0 0 0
1 14 33 4 1 0 0
0 0 4 48 4 0 0
0 0 1 4 33 14 1
0 0 0 0 14 48 14
0 0 0 0 1 14 18
Глобальный
вектор правой
части СЛАУ
8 30 23 60 23 60 8
T
Т а б л и ц а 24
57
4.2.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
8
h
h
uu
uu
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
первого появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться со вторым порядком сходимости (поскольку базисные функции линейны), т.е. с коэффициентом, приближающимся к 4.
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
В табл.25-28 для линейной функции приведены примеры тестов в
различных условиях: без краевых условий (тест 4.4), с 1-ми краевыми
условиями (тест 4.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 4.6) и с 3-ми
краевыми условиями (тест 4.7). Как можно видеть, результаты получились точными (исключая тест 4.4). Это связано с тем, что функции
и точно расписываются по базисным функциям.
Когда коэффициенты
функциями, при тестировании на линейных и квадратичных функциях с
и являются кусочно-постоянными
1-ми краевыми условиями решение также всегда будет получаться
точным (по этой же причине). Также нет погрешности (но только в узлах) при тестах на кубической функциях при равномерном шаге
( ).
При учете 2-х краевых условий для квадратичной функции уже
появляется погрешность. Также она появляется и при тестировании на
полиномах порядка выше третьего, например, если в тесте 5.5 заменить функцию
уже во втором знаке (исключая компоненты, соответствующими 1-м краевым
условиям).
на
, то погрешность появится
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
третьего появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться с третьим порядком сходимости (поскольку базисные функции квадратичные), т.е. с коэффи-
циентом, приближающимся к :
58
. (51)
Тест №4.4
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
15 4 1 0 0 0 0
4 48 4 0 0 0 0
1 4 30 4 1 0 0
0 0 4 48 4 0 0
0 0 1 4 30 4 1
0 0 0 0 4 48 4
0 0 0 0 1 4 15
Вектор
20 680 640 1880 1240 3080 920
T
Вектор
8.162 17.53 32.28 47.02 62 76.98 91.72
T
Т а б л и ц а 25
59
Тест №4.5
Параметр
Значение
Область
Сетка
Матрица
1 0 0 0 0 0 0
4 48 4 0 0 0 0
1 4 30 4 1 0 0
0 0 4 48 4 0 0
0 0 1 4 30 4 1
0 0 0 0 4 48 4
0 0 0 0 0 0 1
Вектор
2 680 640 1880 1240 3080 92
T
Вектор
2 17 32 47 62 77 92
T
Т а б л и ц а 26
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]