Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности построения и тестирования конечноэлементных СЛАУ для одномерного уравнения эллиптического типа. Учебное пособие
.pdf
3.2. ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
k k k
A q F
k k k
A G M
1 –1
1
–1 1
kk
k
h
G
261
12
k
kk
M
h
1
21
12
6
k
k
k
k
f
h
F
f
При использовании одномерных линейных базисных функций ло-
кальная СЛАУ на конечном элементе
имеет вид
длиной
, (41)
где:
,
,
,
.
В данном случае предполагается, что коэффициенты и являются константами на , краевые условия не заданы.
Если же у элемента в узле задано второе краевое условие,
тогда к i-й компоненте вектора нужно добавить значение .
Если у элемента в узле задано третье краевое условие, тогда
к i-й компоненте вектора нужно добавить значение
i-й компоненте диагонали матрицы – константу .
, а к
3.2.1. ТЕСТЫ БЕЗ УЧЕТА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
логично задавать такие значения , и
При тестировании, исходя из значения матричных коэффициентов,
, чтобы матрицы и вектора
21
получались целочисленными. Это легко обеспечить, если установить,
например, следующие требования к значениям параметров:
1. Значения шагов – кратны 6.
2. Значения коэффициентов – натуральные числа.
3. Значения коэффициента – кратны .
Тесты без учета краевых условий предназначены для проверки
корректности сборки глобальной СЛАУ при различных условиях.
Функция правой части при этом рассчитывается путем подставления тестовой функции в уравнение (1), соответственно, коэффициенты разложения
получаются путем подставления в функцию
координат узлов сетки.
В табл.1 приведены параметры и результаты теста на матрицу жесткости для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых
конечных элементов длиной 1, и тестовой функции нулевого порядка.
Обратим внимание, что матрица СЛАУ получается вырожденной, а
правая часть – нулевой.
В табл.2 приведены параметры и результаты теста на матрицу массы для расчетной области, состоящей из четырех одинаковых ко-
нечных элементов длиной 6, и тестовой функции нулевого порядка.
В табл.3 приведены параметры и результаты теста на суммарную
матрицу для расчетной области, состоящей из четырех конечных элементов разной длины, и тестовой функции также нулевого порядка.
22
Тест №1.1
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 1
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
0
0
0
0
0
Т а б л и ц а 1
23
Тест №1.2
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
2 1 0 0 0
1 4 1 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 4 1
0 0 0 1 2
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
9
18
18
18
9
Т а б л и ц а 2
24
Тест №1.3
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
7 1 0 0 0
1 15 1 0 0
0 1 16 1 0
0 0 1 15 1
0 0 0 1 7
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
18
45
54
45
18
Т а б л и ц а 3
25
3.2.2. ТЕСТЫ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
/2
4
h
h
uu
uu
В рассматриваемых ниже тестах зафиксируем на левой границе
1-е краевые условия, а на правой краевые условия будем по очереди
менять.
В табл.4-7 для линейной функции приведены примеры тестов в
различных условиях: без краевых условий (тест 1.4), с 1-ми краевыми
условиями (тест 1.5), со 2-ми краевыми условиями (тест 1.6) и с 3-ми
краевыми условиями (тест 1.7). Как можно видеть, результаты получились точными (исключая тест 1.4). Это связано с тем, что функции
и точно расписываются по базисным функциям.
Когда коэффициенты
функциями, при тестировании на линейных функциях с 1-ми краевыми
и являются кусочно-постоянными
условиями решение также будет получаться точным (по этой же причине). Также нет погрешности (но только в узлах) при тестах на квад-
ратичной и кубической функциях при равномерном шаге ( ).
При учете 2-х краевых условий для квадратичной функции уже
появляется погрешность. Также она появляется и при тестировании на
полиномах порядка выше третьего, например, если в тесте 1.5 заменить функцию
уже во втором знаке (исключая компоненты, соответствующими 1-м краевым
условиям).
на
, то погрешность появится
В общем же случае, при тестировании на полиномах порядка выше
первого появляется погрешность, которая при последующих дроблениях (удвоениях) сетки начнет уменьшаться со вторым порядком сходимости (поскольку базисные функции линейны), т.е. с коэффициентом, приближающимся к :
. (42)
26
Тест №1.4
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
5 1 0 0 0
1 10 1 0 0
0 1 10 1 0
0 0 1 10 1
0 0 0 1 5
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
24
96
168
240
144
Вектор решения СЛАУ
3.22 7.88 14 20.1 24.8
T
Т а б л и ц а 4
27
Тест №1.5
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
1 10 1 0 0
0 1 10 1 0
0 0 1 10 1
0 0 0 0 1
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
2
96
168
240
26
Вектор решения СЛАУ
2 8 14 20 26
T
Т а б л и ц а 5
28
Тест №1.6
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
1 10 1 0 0
0 1 10 1 0
0 0 1 10 1
0 0 0 1 5
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
24
96
168
240
150
Вектор решения СЛАУ
2 8 14 20 26
T
Т а б л и ц а 6
29
Тест №1.7
Параметр
Значение
Область
Параметр
Параметр
Параметр
Параметр
Исходная функция
Правая часть
Глобальная
матрица СЛАУ
1 0 0 0 0
1 10 1 0 0
0 1 10 1 0
0 0 1 10 1
0 0 0 1 7
Глобальный
вектор правой части СЛАУ
24
96
168
240
202
Вектор решения СЛАУ
2 8 14 20 26
T
Т а б л и ц а 7
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]