Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

2.8. Производящие функции

пусты, а на шестую нанесены точки в количестве от 1 до 6, при чем число точек на всех костях различно. Чему равны математиче ское ожидание и стандартное отклонение суммы очков, выпавших на шести таких костях за один бросок? (Ответ: 3,5 и 3,555.)

Задача 2.52. Вернитесь к задаче 2.46. Используя результаты за дачи 2.45, вычислите стандартное отклонение для количества ко робок, которые нужно купить, чтобы собрать полный набор кар точек. (Ответ: 61,951.)

Задача 2.53. Вернитесь к задаче 2.47. Чему равно стандартное отклонение для числа бросков, которые нужно сделать, чтобы по лучить все шесть возможных исходов? (Ответ: 6,244.)

2.8. Производящие функции

В примере 2.10 мы использовали подсчет, чтобы найти функцию распределения вероятности для суммы очков на верхних гранях при броске двух костей. Такой подход ведет к громоздким вычислениям, когда нужно решить задачу для трех, не говоря уже о пяти или десяти костях. Почти магический подход к решению подобных задач состоит в том, чтобы использовать производящие функции. Производящие функции изобрел швейцарский гений Леонард Эйлер (1707—1783) для облегчения вычислений в сложных задачах. Суть их очень проста и является примером того, что часто простыеидеи—самыелучшие.

Производящая функция

неотрицательной случайной ве

()

личиныX, принимающей только целые значения, — это степен ной ряд вида

Gz PX kz

() ( )==

для

||z £ 1

Производящая функция

единственным образом опреде

()

ляет функцию распределения вероятностиX:r-я производная

вточке

()

() ( )1 =

GEX

.ЕслиXиY— независимые случайные величины

z = 0

равна

rPX r!( )=

(проверьте это). Также

с неотрицательными целыми значениями, то

При первом чтении этот раздел можно пропустить.

72 Глава 2. Основы теории вероятностей

GzGzGz

XY X Y+

=() () ()

для

то есть производящая функция для суммы

||z £ 1

XY+

— это произведе ние производящих функцийXиY. Это очень важный результат. Чтобы его доказать, заметим сначала, что по правилу подстановки из раздела 2.6

поэтому

Ez zPX k

() ( )==

() ( )=

Gz Ez

для любого

. Далее, еслиXиY—неза

||z £1

||z £ 1

висимые случайные величины, то для любых функцийfиgслу чайные величины доказанное, тогда из сказанного следует, что случайные величины

независимы для любого

будет доказано, что

fX()иgY()

EVW EV EW() ()()=

величинVиW. Поэтому для любого

XY XY X Y

GzEz Ezz EzEz GzGz

=== =() ( ) ( ) ( ) ( ) () ().

также независимы. Примем это как

. В приложении к этой главе

||z £1

для независимых случайных

||z £1

XY+

Теперь применим метод производящих функций для нахождения функции распределения вероятности суммы очков на верхних гранях при одном броске трех костей. Пусть ков на верхней граниi-й игральной кости для щая функция

Gzzzzzzz i

задается выражением

161

() ,,.=+++++ =

23456

— количество оч-

i = 12 3,,

для

.Производя-

123

Поскольку

независимы, производящая функция

для суммы очков на верхних гранях равна

161

G z zzzzzz

XX X

123

=+++++

() для| | .z £ 1

ç è

23456

ö ÷

Вычислив произведение многочленов с помощью стандартных компьютерных программ, получим

G z zzz zzz

XX X

123

10 11 12 13 14

+++ + + +

zz z z z z

=+++++() ++

216

345 678

365108

15 16 17 18

108

+++zz z.

216

2.8. Производящие функции

Функцию распределения вероятности суммы можно считать прямо с этого выражения, поскольку в нем коэффициент при это вероятность того, что сумма для

k = 318,,K

XX X

12 3

примет значение

Задача 2.54. Есть 8 симметричных шестисторонних игральных костей. Пять из них имеют по шесть очков на двух из шести гра ней, а оставшиеся три кости — по шесть очков на трех из шести граней. Какова функция распределения вероятности для числа шестерок, выпадающих при броске таких 8 костей? (Ответ:

,,,,,, , ,

24322243522432381251087764873194413194411

944

÷ ø

Задача 2.55. Случайная величинаX, имеющая пуассоновское распределение с параметромl, обладает функцией распределения вероятности

Gz e

() /!==-ll

PX k e k

z()()

--l 1

— производящая функция дляX.Каковафункция

для

k = 01,,K

. Докажите, что

распределения вероятности для суммы двух независимых пуассоновских случайных величинXиYс параметрамиaиb? (Ответ: это функция распределения вероятности для пуассоновского распределения с параметром

Задача 2.56.Пусть

нулли с

()==

функция распределения вероятности для суммы

16137

вет:

,,,,,)

360516171441481720

ab+

,,K

ö ÷

— независимые величины Бер-

()==-

для

i = 15,,K

++L

.Какова

?(От

—

Приложение: доказательства для математического ожидания и дисперсии

В этом приложении представлены доказательства свойств, данных в разделах 2.6 и 2.7 для математического ожидания и дисперсии, а также некоторые дополнительные результаты. Доказательства даются для случая, когдаXиY— дискретные случайные величи ны, которые могут принимать только конечное число значений. ПустьI— множество всех возможных значенийX,аJ—множе ство всех возможных значенийY. На данный момент примите без доказательства следующий основной результат, который дальше

Глава 2. Основы теории вероятностей

будет доказан: для любой функции ние случайной величины

EgXY gxyPX x Y y

(( , )) (,)( )===

Двойную сумму

n i

()aa

iim

. Можно переставлять порядки суммирования,

gXY(,)

åå

yJxI

ÎÎ

n i

gxy(, )

задается выражением

åå

если количество членов каждой суммы конечно:

åå

математическое ожида

следует читать как

n i

åå

Теперь легко можно доказать следующие свойства:

Свойство 1. Свойство 2. Свойство 3.

,еслиXиYнезависятдруготдруга.

aиb

EaX bY aEX bEY()()()+= +

EXY EXEY() ()()=

var( ) var( ) var( )aX bY a X b Y+= +

,еслиXиYнезависятдруготдруга.

для константaиb.

для любых констант

Доказательство свойства 1. Применив основной результат для EgXY(( , ))

кфункции

gxy ax by(,)=+

, вы получите, что

EaX bY()+

равно

()( )

ax by P X x Y y

+===

åå

yJxI

ÎÎ

(

===

===+

axP X x Y y

åå

yJxI

ÎÎ

ax PX xY y b

åå

ÎÎ

xI yJ

()

и) ( )

и PX x Y y

+===

byP X x Y y

åå

ÎÎ

yJxI

(),==

åå

xIyJ

ÎÎ

где во втором члене последнего выражения порядки суммирова ния перставлены местами. Далее используйте формулу

PX x PX x Y y

() ( ).== = =

Эта формула срезу следует из аксиомы 3 раздела 2.1. Анало

гичное соотношение имеет место для

EaX bY a xPX x b yPY y aEX bEY

() () ()()().+= =+ == +

Доказательство свойства 2. По определению независимых слу чайных переменныхXиY,

åå

xI yJ

ÎÎ

PX x Y y PX xPY y()()()=====и

PY y()=

. Это дает

для всех возможных значенийxandy. Далее, применив основной резу льтат для

EgXY(( , ))

при

gxy xy(,)=

, вы получите, что

EXY()

равно

2.8. Производящие функции

xyP X x Y y xyP X x P Y y

()()()

=== = =

åååå

yJxI yJxI

ÎÎÎÎ

xP X

(

åå

ÎÎ

xI yJ

xyPYyEXEY

) ( ) ()().

===

Доказательство свойства 3. Для простоты обозначений запи шем деление

как

EX()

var V E V() ( )=-

,а

EY()

как

. Применив альтернативное опре

для дисперсии случайной величины с математическим ожиданиемm, и воспользовавшись свойством 1, вы получите

varaXbY EaXbY EaXbY

()(())(())

+= + - + =

aEX abEX

() (

2 YbEY a b

Дальше используйте независимость

EXY EXEY() ()()=

22 2222 22

aEX ab bEY a ab b

[(

Важный частный случай свойства 3 состоит в том, что

var aX b a var X() ()+=

по свойству 2, поэтому

22() ()

++---=

mm m mm m

XY X XY Y

222222 2

XbEYavarXbvarY

)][()] () ().-+ -= +mm

для любых константaиb.Этоможноуви-

22 2

)()( ).+-+

иY.Этодаствам

var aX bY()+

равна

деть, если взять в качествеYвырожденную случайную величину с

PY()==11

,длякоторой

var Y()= 0

(доказательство этого частно-

го случая дайте сами).

Остается доказать формулу

EgXY(( , ))

. Прием, который мы для этого применим, состоит

gxyPX x Y y

(,)( )

(,)

в том, чтобы ввести случайную величину

(,)( )

gxyPX x Y y

(,)

EZ EgXY

é ê ê

() ((,)

gxyPX x Y y

åå

xy g xy zz

(, ): (, )

åå

xy g xy z z

(, ): (, )

можно записать как

(, ) ( )

(

XxYy zPZz

=== ==

и) ()

ú ú

ZgXY= (,)

для

.Тогда

Если положить

YX=

gxy gx(, ) ()=

, этот результат служит до казательством формулы подстановки из раздела 2.6 как частного случая.

На бис приведем здесь два знаменитых неравенства, в которых используются понятия математического ожидания и дисперсии. Для неотрицательной случайной величиныYс конечным матема тическим ожиданием неравенство Маркова утверждает, что

76 Глава 2. Основы теории вероятностей

()

PY a

()

³£

для любой константы

a > 0

Доказательство этого факта удивительно простое. Для фикси рованной

, и 0 в противном случае. Тогда

Ya³

цательностиYполучается

, пусть индикаторная величинаIравна 1, если

a > 0

EI PY a() ( )=³

,поэтому

YaI³

EY aEI aPY a() () ( ),³=³

. Из-за неотри

что дает нам искомое неравенство. Красота в простоте! Русский математик Андрей Андреевич Марков доказал это неравенство в 1889 году. Оно легло в основу многих других полезных нера венств из теории вероятностей. Для любой случайной величины с конечным математическим ожиданиемmи конечной дисперсией

, неравенство Чебышёва утверждает, что

PX c

(| | )-³ £m

для любой константы

c > 0

Оно названо в честь русского математика Пафнутия Львовича Чебышёва (1821—1894), доказавшего это неравенство в 1867 году. Позднее его знаменитый ученик Андрей Марков дал более простое доказательство: положив в неравенстве Маркова и

,выполучите

ac=

PX c PX c

(| | ) (( ) )

[( ) ]

=mm

YX=-()m

.-³ = - ³ £

Ковариация и коэффициент корреляции

Как вычислить

var X Y()+

,еслиXиYне являются независи мыми случайными величинами? Чтобы это сделать, вам понадо бится понятие ковариации. Ковариация двух случайных величин иYзадается формулой

cov( , ) [( ( ))( ( ))]XY E X EX Y EY=- -

Обратите внимание на то, что cov X Y(,)

можно записать в эквивалентном виде

cov(,) ( ) ()()XY EXY EXEY=-

cov( , ) var( )XX X=

.Формулудля

2.8. Производящие функции

если записать +

EXEY()()

и использовать свойство линейности оператора матема

( ( ))( ( ))XEXYEY--

ввиде

XY XE Y YE X--() ( )

тического ожидания. Из определения ковариации немедленно сле дует, что

cov( , ) cov( , )aX bY ab X Y=

для любых константaиb. Также, используя тот факт, что EXY EXEY() ()()=

для независимыхXиY(см. свойство 2), можно

получить

cov( , )XY = 0

,еслиX и Y — независимые случайные величины.

Однако обратное к этому результату не всегда верно. В качест

ве контрпримера возьмемX, которая принимает значения-1и1 с одинаковыми вероятностями

,иположим

YX=

.Тогда,по-

скольку

cov X Y E X E X E X(,) ( ) ()( )=- =

EX()= 0

EX()

при том, чтоXиYне являются

,выполучите

независимыми.

Теперь мы можем написать формулу для дисперсии двух лю-

бых случайных величинXиY:

var( ) var( ) cov( , ) var( )XY X XY Y+= + +2

Для доказательства вам потребуется провести некоторое коли

чество алгебраических вычислений. Обозначим для краткости

EX= ()иm

. Применив определение дисперсии и ли

EY= ()

нейность математического ожидания, вы получите

var( ) [( ( )) ]

XY EXY

+= +- + =

[( ) ] [( )(

EX EX Y

=-+ =+ +

XXYY

var( ) cov( , ) var( ),

2 -+ - =

)] [( ) ]

чтоинужнобылодоказать.Формулудля

var X Y()+

можно обоб

щить на случай любого конечного числа случайных величин:

2++ = +

var( ) var( ) cov( , )XX X XX

åå

111

==+=

В качестве иллюстрации, чему равна дисперсия количества це

лых чисел, которые останутся на своих местах при случайной пе

Глава 2. Основы теории вероятностей

рестановке чисел от 1 доn? Эту величину можно записать в виде

in=

,где

ло свое исходное положение, и Поскольку

PX X

()

var X

()=-

. Это приводит к ответу (сюрприз!)

ij¹

EX EX PX

===

, если при перестановке целое числоiсохрани

в противном случае.

= 0

() () ( )

====

iii

для всехi,и

()

для всех

cov X X

для всехiи

(, )

var X

,выполучите

ij¹

()

æ ç

in=

EX X

()

для всех

ö ÷

(докажи

= ÷ ø

те это!).

Еще одно очень важное понятие в статистике — это понятие коэффициента корреляции. Единицы измерения cov падают с единицами измерения величин

EX()иEY()

.Поэтомуча-

(,)XY

не сов-

сто более удобно использовать коэффициент корреляции величин иY. Этот статистический показатель определяется как

cov( , )

(,)

()()

если

s()X > 0иs()Y > 0

. Коэффициент корреляции — это безраз-

мерная величина, для которой выполняется свойство

-£ £11r(,)XY

Алгебраическое доказательство этого мы здесь опускаем. Слу чайные величиныXandYназываются не коррелирующими,если

r(,)XY = 0

. Независимые случайные величиныXиYвсегда явля ются не коррелирующими, так как их ковариация равна нулю. Од нако обратное не всегда верно. Тем не менее

r(,)XY

часто

используется как мера зависимостиXиY.

Задача 2.57. Прямая линейной регрессии методом наименьших

квадратов для

yEY bxEX=+-() ( ( ))

мизирует выражение

минимизирующее значениеb? (Ответ:

по отношению к

задается соотношением

, где коэффициент наклона прямойbмини

EY EY bX EX[( ( ) ( ( ))) ]---

bXY

. Чему равно это

(,)

()

)

ГЛАВА 3

ПОЛЕЗНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эта глава познакомит вас с тремя важными дискретными рас пределениями вероятностей и с тремя важными непрерывными распределениями вероятностей. Дискретные распределения — би номиальное, гипергеометрическое и пуассоновское, а непрерыв ные — нормальное, равномерное и экспоненциальное. Дается представление о практической значимости этих распределений.

3.1. Биномиальное и гипергеометрическое распределения

Случайная величинаX,принимающая значения

01,, ,K n

биномиальное распределение с параметрамиnиp,если

где

PX k

() ()==

— биномиальный коэффициент. Это распределение возни

knk

pp k,,,n

101для K

кает в вероятностных задачах, которые можно представить в виде последовательности физически независимых испытаний, где каж дое испытание имеет два возможных исхода — «успех» (S)и«не удача» (F). Успешный исход случается с вероятностьюp,анеудач ный — с вероятностью

. Случайная величинаX, определенная

1 - p

как общее количество успехов вnиспытаниях, имеет биномиаль ное распределение. Этот результат легко вывести. Вероятность того, что заданная последовательность изkуспехов и будет иметь место, равна

knk

()1 -

;например,при

вероятность того, что получится последовательность

, имеет

неудач

nkn = 5иk = 3

,равна

SSFSF

Глава 3. Полезные распределения вероятностей

pp p p p p p´´- ´´- = -() () ()111

можных последовательностей сkуспехами и

но

, так как биномиальный коэффициент

. Общее количество всех воз

неудачами рав

nk-

—эточислоспо

собов выбратьkразличных элементов изnдоступных элементов, см. раздел 1.1.

Математическое ожидание и стандартное отклонение для

задаются формулами

EX np()=

s() ( )Xnpp=-1

Проще всего вывести эти формулы, используя индикаторные

случайные величины. ЗапишитеXввиде

XI I

=++

,где

равно 1, еслиk-е испытание было успешным, в противном случае

равно 0. Случайная величина с распределением Бернулли

имеет

()=

EI p

s() ( )Ipp

=-1

, см. задачу 2.44. Все

не зависят друг от друга. Применив свойство линейности математического ожидания и

EI EInp I p

-закон для квадратного отклонения, вы получите

æ ç

åå å

== =

11 1

ö ÷

÷ ø

() иs () .1 -´pn

Биномиальное распределение широко распространено и имеет

множество приложений.

Пример 3.1. Военное устройство раннего обнаружения постро ено в пустыне. Устройство состоит из семи детекторов, включая два резервных. Если работает меньше пяти детекторов, устройство перестает функционировать. Каждые шесть месяцев устройство проверяется, и все детекторы заменяются на новые. С вероятно стью 0,05 любой заданный детектор откажет между проверками. Все детекторы задействованы, и их работа не зависит друг от дру га. Какова вероятность того, что в какой-то момент между провер ками система перестанет функционировать?

Решение. Пусть случайная величинаXобозначает число детек торов, которые прекратят работать между двумя проверками. Тог да случайная величина с параметрами

n = 7иp = 005.

имеет биномиальное распределение

. Вероятность того, что система пре

кратит функционировать между проверками, равна

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]