Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
3.5. Равномерная и экспоненциальная плотности вероятности
111
пределение с математическим ожиданием
l´ =90 3
.Поэтомуверо
ятность получить три или более гола в течение матча будет равна
2
k
3
3
-
1
-=
e
å
0
=
k
k
!
05768
,.
По свойству отсутствия памяти у экспоненциального распре
деления, число голов, забитых в первой половине матча, и число
голов, забитых во второй половине матча, не зависят друг от друга
и каждое имеет пуассоновское распределение с математическим
ожиданием
l´ =45 15,
. Поэтому вероятность того, что в первой по
ловине матча будут забиты ровно два гола, а во второй — ровно
один гол, равна
2
15
,
--
15
,,
ee
2
!
15
,
15
´=
1
!
0 0840
,.
Задача 3.31. Спутник имеет экспоненциально распределенный
срок службы с математическим ожиданием 15 лет. Спутник используется уже 12 лет. Каковы математическое ожидание и стандартное отклонение остаточного срока службы спутника? (Ответ:
15 лет.) Какова вероятность того, что спутник прослужит еще
10 лет? (Ответ: 0,5134.)
Задача 3.32.СрокслужбыXнекоторого предмета имеет экс-
1
поненциальное распределение со средним
. Докажите, что для
l
любого
x
-
-
-
Px X x xX x x(|))<£+ >»DDl
дляDx,близкихк0.
Каков вероятностный смысл этого результата? (Ответ: посто
янная частота отказов.)
Задача 3.33.Каждыйденьвыездитенаработунаавтобусе.До
рога от дома до автобусной остановки занимает 5 минут. Чтобы
попасть на работу вовремя, вам нужно сесть в автобус не позднее
7:45 a.m. Временные интервалы между прибытиями автобусов на
остановку не зависят друг от друга, и время между их прибытиями
распределено экспоненциально с математическим ожиданием
в 10 минут. В какое самое позднее время вам нужно выйти из
дома, чтобы прибыть на работу вовремя с вероятностью, по край
ней мере, 0,95? (Ответ: 7:10 a.m.)
-
-
-
112 Глава 3. Полезные распределения вероятностей
Задача 3.34. В госпитале за 24 часа в среднем рождается пять
детей. Разумно моделировать временные промежутки между рож
дениями с помощью независимых случайных величин с экспонен
циальным распределением, каждая из которых имеет математиче
24
ское ожидание
часов. Чему равна вероятность того, что между
5
двенадцатью часами ночи и шестью утра родится больше двух де
тей? (Ответ: 0,1315.)
-
-
-
-
Задача 3.35. В видеоигре, каждый раунд которой длится фикси
рованное количество времениT, сигналы возникают согласно пуас
соновскому процессу с параметромl,причем
1
. Во время раун
T >
l
да вы можете один раз нажать на кнопку. При этом вы выиграете,
если во время раунда появится хотя бы один сигнал и вы нажмете
кнопку после того, как появится последний сигнал. Ваша стратегия
состоит в том, чтобы дать пройти фиксированному времениsот начала матча (
0 <<sT
) и нажать на кнопку, когда появится первый
сигнал после моментаs(если он появится). Какое значениеsмаксимизирует вашу вероятность выигрыша и чему равна эта макси-
1
1
.)
мальная вероятность выигрыша? (Ответ:
sT=-
и
e
l
3.6. Плотность двумерного нормального
распределения
Многомерные нормальные распределения являются наиболее важ
ными совместными распределениями двух или более случайных
величин. В этом разделе кратко рассматривается совместное рас
пределение двух случайных величин.
Случайный вектор
мальное распределение с параметромr,если
(,)XY
1
имеет стандартное двумерное нор
-
-
-
-
-
-
yx
PX x Y y vwdwdv
()(,)££=
и j
1
Этот раздел можно пропустить без потери непрерывности изложения.
òò
-¥-¥
для
-¥ < < ¥xy,
,
3.6. Плотность двумерного нормального распределения
113
где функция плотности стандартного нормального распределения
j(, )xy
задана выражением
1
22
r1-r
()/()
xxyy
--+
=
2
1
p1-r
j
(, )
xy e
2
2
2
Параметрrявляется константой с
сти
j(, )xy
того, что пара
допускает следующую интерпретацию: вероятность
(,)XY
примет значение в некотором малом пря
моугольнике, примыкающем к точке
ронDxиDy, приблизительно равна
2
для всех x и y.
-< <11r
и имеющем длины сто
(,)xy
j(, )xy x yDD
. Функция плотно
.
Функция плотности двумерного нормального распределения
имеет эллиптические контуры, то есть для каждого
во {
(,):(, )xy xy cj=
} есть эллипс. Функция плотности двумерного
c > 0
множест
нормального распределения показана на рис. 8.
Для пары случайных величин
(,)XY
со стандартным двумерным нормальным распределением и параметромrс помощью интегрального исчисления можно показать, что
•
обеXиYимеют распределение
•
коэффициент корреляции дляXиYравенr.
Более обобщенно, вектор
распределение с параметрами
æ
XY--
m
зованный вектор
ç
ç
s
1
è
(,)XY
(,, ,,)mmssr
XYXY
m
1
2
,)
s
2
1
N(,)01
имеет двумерное нормальное
22
ö
÷
имеет стандартное двумерное
÷
ø
, если стандарти-
нормальное распределение с параметромr. Тогда, взяв частные
yx
()/()/
--
msms
производные от
() (,)
££=
PX x Y y vwdwdv
и j
11
22
òò
00
-
-
-
-
1
Доказательство этого факта базируется на том, что
x
=
-¥
ç
òò
-¥
è
(, )v w dw dv
j
¥
æ
плотность
jp rp
(, ) ( / ) (/( ))
xw e e
=´-
12 1 1 2
1
x-
p e
2
(/ )12
ö
. Дифференцируя это соотношение, получим, что
÷
ø
равна
X
2
¥
(, )xwdw
j
ò
-¥
1
2
xwx
----
2
. Далее, с помощью разложения
1
2
rr
/( )
2
()
2
— маргинальная плотность распределенияX. Аналогичное
2
1
PX x()£
, вы получите, что
рассуждение можно провести для плотностиY. Разложение функции
также является ключевым для доказательства того, что
cov X Y(,)=r
, то есть коэффициент корреляции
rr(,)XY =
EXY()=r
. Это дает
.
=
j(,)xy
114 Глава 3. Полезные распределения вероятностей
Рис. 8. Плотность двумерного нормального распределения
поxиy, вы получите, что совместная плотность
fxy
XY,
(,)
случай
ных величинXиYравна
1
-
1
ps s r
21
2
1
Также можно показать, что
2
(,)ms
N
XX
и
N
(,)ms
YY
2
e
2
-
2
ичтоr—коэффициенткорреляциидля
2
é
æ
ö
æ
ö
m
xxy
-
1
ç
÷
ê
-
ç
÷
ê
s
è
ø
1
ë
æ
-
-
m
m
1
ç
2
r
ç
s
è
2
÷
ç
÷
ç
s
ø
è
1
2
XиY
ö
÷
+
÷
ø
2
ù
æ
ö
m
-
2
ç
ç
s
è
2
2
÷
ú
-y/( )
1
r
÷
ú
ø
û
.
имеют распределения
и Y. Важное свойство двумерного нормального распределения
состоит в том, что независимостьXиYи их некоррелируемость
(
) в данном случае эквивалентны.
r=0
В общем случае линейная комбинация нормально распреде
ленных случайных величин не является нормально распределен
ной. Однако если
ние с параметрами
aX bY c++
a,b
имеет нормальное распределение для любых констант
иc. Математическое ожиданиеmи дисперсия
имеет двумерное нормальное распределе
(,)XY
(,, ,,)mmssr
XYXY
22
, линейная комбинация
2
этого
s
распределения равны
m= m + m + = + +abc a b ab
Заметьте, что
XY X Y XY
var aX bY c a var X b var Y abcov X Y()()()(,)++= + +
22222
и s s s rs s
22
2
2
.
В приложениях важную роль играет функция плотности услов
ного распределения дляY,если
значается
fyx
Y
и единственным образом определяется соотно
(| )
. Эта функция плотности обо
Xx=
шением
fxy fxfyx
(, ) () (|)=
XY X Y,
,
-
X
-
-
-
-
-
-
3.6. Плотность двумерного нормального распределения
115
где
fxy
XY,
с параметрами
(,)XY
ятности случайной величины
Эта формула — непрерывный аналог формулы
=
PV v PW wV v()( | )===
— плотность совместного распределения вектора
(,)
(,, ,,)mmssr
XYXY
22
,а
fy
с распределением
Y
Y
— плотность веро
()
PV v W w()==и
для дискретных случайных величин
(,)ms
N
YY
2
V
иW. Можно показать, что функция плотности условного распре
деления
fyx
Y
пределения с математическим ожиданием
является функцией плотности нормального рас
(| )
и дисперсией
m
cY
2
s
cY
заданными соотношениями
s
mmr
cY Y
Y
s
X
x=+ - = -() ()и
mssr
222
XcYY
1
.
Задача 3.36. Курс статистики содержит два экзамена, и оценки
студентов на экзаменах 1 и 2 имеют двумерное нормальное распределение с параметрами
75=,m265=,s112=,s215=
m
1
и
r=07.
.Выберем случайным образом одного студента. Какова вероятность того,
что его оценка за экзамен 1 равна 80 или выше? (Ответ: 0,3385.) Какова вероятность того, что сумма его оценок за оба экзамена окажется больше 150? (Ответ: 0,3441.) Какова вероятность того, что студент
лучше ответит на экзамене 2, чем на экзамене 1? (Ответ: 0,1776.)
Каковавероятностьтого,чтооценканаэкзамене2будетбольше80,
если оценка на экзамене 1 равна 80? (Ответ: 0,1606.)
.
=
-
-
,
Применение модели случайных блужданий
Модель случайных блужданий является полезной вероятностной
моделью для физических наук. Представим эту модель в виде час
тицы, движущейся по плоскости. Частица начинает движение
в начале координат
ное расстояние в случайным образом выбранном направлении
между 0 и2p, независимо от предыдущих шагов. Какова функция
совместной плотности вероятности для вектора координат
описывающего положение частицы послеnшагов?
Пусть случайная величинаQобозначает направление, в кото
ром движется частица на каждом шаге. На каждом шаге коорди
натаxчастицы меняется на величину, распределенную как
аеекоординатаyна величину, распределенную как
рывная случайная величинаQимеет равномерное распределение
. За каждый шаг частица проходит единич
(,)00
sin( )Q
(,)xy
cos( )Q
.Непре
-
-
,
-
,
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
116
на
(, )02p
.Пусть
и
X
k
— изменения координатxиyположения
Y
k
частицы наk-м шаге. Тогда положение частицы послеnшагов
можно представить в виде случайного вектора
SX XSY Y
=++ =++LLи.
n
11
Вы не удивитесь, узнав, что к вектору
nn n
2
1
(, )SS
(, )SS
nn12
nn12
,где
можно приме
нить двумерную центральную предельную теорему. Положим
mmssssrr
=====EX EY X Y X Y( ), ( ), ( ), ( ), ( , ),
11211
22
22
2
1
111
тогда двумерная центральная предельная теорема говорит нам, что
функция плотности распределения для нормализованного вектора
æ
SnnSn
ç
ç
è
m
--
nn11122
s
,
s
ö
m
÷
аппроксимируется плотностью стандартно
÷
n
2
ø
го двумерного нормального распределения с параметромr.Вчастном случае случайного блуждания,
mm ss r
1
0
2
1
1
2
2
0== == =,.и
Вывод этого результата прост и поучителен. Случайная ве-
личинаQимеет функцию плотности равномерного распределения
f ()qp=
при
02<<qp
. Применив правило подстановки, получим
1
2
pp
mqqq
Efdd[cos( )] cos( ) ( ) cos( ) .Q
1
Тем же способом получаем
2
òò
0
0=
m
2
2
1
p
2
qq
0
0== = =
.Используемправилопод
становки еще раз:
pp
22 2
s qqq
Efdd[cos ( )] cos ( ) ( ) cos ( ) .Q
== =
1
Аналогичное рассуждение дает
2
òò
0
22
s
2
нив знаменитое тригонометрическое тождество
2
вы получите
1
2
= .
2
2
2
p
cos( ) sin( )ò=d
0
p
И наконец,
=
s
1
=
2
ss
122
qqq
Отсюда, из соображений симметрии,
1+=.
, поскольку
r=0
0
.
cov X Y E(,) [cos()sin()]
2
=
2
11
2
1
p
1
p
2
qq
0
2
p
qq
sin ( ) .d
ò
0
22
cos ( ) sin ( )
=QQ
Приме
2
s
1
1qq+=
-
-
-
-
,
=
=
3.7. Критерий хи-квадрат
117
Теперь мы можем сделать вывод, что
(, )SS
nn12
аппроксимиру
ется функцией плотности двумерного нормального распределения
22
1
xy n
()/
fxy
(, )
n
-+
e
=
n
p
В заключение определим случайную величину
для больших n.
2
DSS
=+
nnn
2
1
как расстояние между началом координат и положением частицы
послеnшагов. Тогда, по правилу двумерной подстановки,
¥-¥¥
ED
()
1
»+
n
n
p
22
xye dxdy
òò
-¥
22
xy n
()/
-+
для больших n.
Этот интеграл можно вычислить с помощью стандартной тех
ники преобразования декартовых координат
ординаты
, положив
(, )r q
xr= cos( )q
и
yr= sin( )qсdxdy rdrd=q
вполярныеко
(,)xy
Опуская детали, скажем, что после громоздких вычислений вы получите
1
ED n
()»
n
для больших n.
p
2
Все эти результаты можно распространить на случайное блуж-
n
8
дание в трехмерном пространстве. В нем
ED
()»
n
при боль-
3p
шихn.
-
2
-
.
3.7. Критерий хи-квадрат
Критерий хи-квадрат (критерий
лезных статистических критериев. Он используется, чтобы прове
рить, имеет ли набор данных заданное распределение вероятно
сти. Критерий также можно использовать, чтобы определить, не
были ли данные подвергнуты каким-либо манипуляциям, чтобы
сделать наблюдаемые частоты более близкими к ожидаемым.
Предположим, вы хотите выяснить, описывает ли данная
функция распределения вероятности
выборки наблюдений, полученных из повторяемого случайного
эксперимента с конечным числом возможных исходов
Чтобы применить критерий хи-квадрат, обозначим случайной ве
личиной
количество исходов
N
j
2
) является одним из самых по
c
pp
,,K
свойства случайной
r1
OO
,произошедшихзаnфизиче
O
j
,,K
-
-
-
.
r1
-
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
118
ски независимых повторений случайного эксперимента, в котором
исход
ально распределена с параметрамиnи
ское ожидание для
имеет вероятность
O
j
N
равно
j
. Случайная величина
p
j
. Используя метод наименьших
np
j
, поэтому математиче
p
j
N
биноми
j
квадратов, целесообразно рассмотреть статистику критерия в виде
r
wN np
å
j
=
1
сов
w
()
j
jj
. Оказывается, что выбор
j
2
-
для соответствующим образом выбранных ве
1
w
=
j
дает нам статистику
np
j
с прослеживаемым распределением. Таким образом, так называе
мая статистика (статистический показатель) хи-квадрат задает
ся формулой
-
-
-
-
-
r
Nnp
()
D
=
å
j
=
1
2
-
jj
np
.
j
Вероятностное распределение статистикиDвычислить сложно. Однако дискретное распределение вероятности дляDможно
очень точно аппроксимировать с помощью прослеживаемого непрерывного распределения в случае, когда
для всехj,например,
np
для всехj(для этого может потребо-
³ 5
j
достаточно велико
np
j
ваться объединить какие-то группы данных). Тогда
PD x P x x
()( )£» £ ³
где непрерывная случайная величина
квадратов
независимых
r -1
2
r
-c1
2
c
r -1
-распределенных случайных ве
N(,)01
личин. Распределение вероятности величины
хи-квадрат распределением с
тическое ожидание
2
Er
()c-=-
r
1
степенями свободы. Его матема
r -1
. Следует отметить, что приведен
1
,
0для
распределена как сумма
2
называется
c
r -1
ное выше приближение для хи-квадрат статистикиDпредполага
ет, что вероятности
не определяются из полученных данных, а
p
j
являются заранее известными; если вам нужно оценить один или
более параметров, чтобы получить вероятности
,тонеобходимо
p
j
уменьшить число степеней свободы распределения хи-квадрат на
единицу за каждый параметр, который оценивается по данным.
Как критерий хи-квадрат применяется на практике? Исполь
зуя данные, которые вы получили из случайного эксперимента, вы
вычисляете численное значениеdстатистикиDдля этих данных.
-
-
-
-
-
3.7. Критерий хи-квадрат
119
Суждение (субъективное) о том, соответствует ли данная функция
распределения вероятности
от значения вероятности
pp
,,K
PD d()£
полученным данным, зависит
r1
. Проиллюстрируем сказанное
следующими двумя примерами.
Пример 3.8. Некто утверждает, что бросил симметричную иг
ральнуюкость1200разиприэтомисходы1,2,3,4,5,и6случи
лись 196, 202, 199, 198, 202, и 203 раза. Вы верите ему?
Решение. Указанные частоты очень близки к ожидаемым
частотам. Но поскольку математическое ожидание и стандарт
ное отклонение числа бросков с исходомjравны
1200
1
200´=
6
и
1200 1 6 5 6 12 91´´ =(/ ) ( / ) ,
соответственно для всехj, вам следу
ет отнестись к заявленным результатам с подозрением. Вы можете
подтвердить свои подозрения с помощью критерия хи-квадрат.
Статистика хи-квадрат D в данном случае равна
1
[( )( )( )( )-+-+-+-+
196 200 202 200 199 200 198 200
200
+ ()()]..202 200 203 200 019
-+- =
2 222
22
Значение 0,19 оказалось значительно меньше математического
ожидания 5 для распределения хи-квадрат с
свободы. Вероятность
PD(,)£ 019
P(,),.c
приблизительно равна
2
019 0 00078£=
5
Компьютерно смоделированное значение
61 5-=
PD(,)£ 019
степенями
равно
0,00083 (за четыре миллиона прогонов программы). Эта очень ма
ленькая вероятность того, что статистика примет данное значение,
показывает, что данные скорее всего действительно сфабрикованы.
-
-
-
-
-
Пример 3.9. Во время Чемпионата мира по футболу в ЮАР
в 2010 году было сыграно 64 матча. Среди них 7 матчей без голов,
17 матчей с 1 забитым голом, 13 матчей с двумя голами, 14 матчей
с тремя, 7 матчей с четырьмя, 5 матчей с пятью, и один матч с се
мью забитыми голами. Соответствует ли этим данным распределе
ние Пуассона?
Решение. В этом примере вам сначала нужно определить пара
метрlпредполагаемого пуассоновского распределения. Оценка
дляlравна
1
17 1 13 2 14 3 7 4 5 5 0 6 1 7
()´+ ´+ ´+´+´+´+´ =
64
145
64
-
-
-
.
120
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
Чтобы удовлетворить требованию «каждая группа данных должна
иметь ожидаемый размер не меньше 5», объединим в одну группу
матчи с 5 и более голами, и будем рассматривать шесть групп дан
ных. Если распределение Пуассона с математическим ожиданием
145
l=
соответствует нашим данным, то ожидаемое число матчей
64
-
сровноjголами будет равно
64 ´
jl
l /!
для
ej
j = 01 4,, ,K
,аожида
емое число матчей с 5 и более голами будет равно
´-
64 1
4
(/!)ej
å
j
jl
-
l
0
=
. Эти ожидаемые количества равны 6,641,
15,046, 17,044, 12,872, 7,291, и 5,106 соответственно. Поэтому зна
чение статистики хи-квадратDравно
(,),(,),(,)
76641
14 12 872
+
222
-
6641
-
12 872
17 15 046
-
+
15 046
222
77291
-
+
7291
13 17 044
-
+
17
65106
+
,
044
-(,),(,),(,)
5106
+
1500,,.=
Поскольку параметрlвычислялся из полученных данных, статистический критерий
ние хи-квадрат с
2
P(,),c
1500 0827³=
4
611 4--=
. Поэтому распределение Пуассона отлично со-
имеет приблизительно распределе-
D
степенями свободы. Вероятность
ответствует нашим данным.
-
-
-
Задача 3.37. В классическом исследовании распределения вероятности для 196 солдат, зашибленных насмерть лошадьми, в соста
ве 14 прусских кавалерийских корпусов за 20 лет с 1875 по 1894 год,
данные выглядят следующим образом. За 144 корпусо-лет никаких
смертей не произошло, за 91 корпусо-год произошла одна смерть,
за 32 корпусо-года две смерти, за 11 корпусо-лет три, и за 2 корпу
со-года четыре смерти. Соответствует ли этим данным распределе
ние Пуассона? (Ответ: да,
P(,),c
2
1952 0377³=
2
1
.)
Задача 3.38. В знаменитом физическом эксперименте, кото
рый провели Резерфорд, Чедвик и Эллис в 1920 году, количество
1
Это исследование провел русский статистик Владислав Иосифович
Борткевич (1868—1931), который первым обнаружил и объяснил важность
распределения Пуассона в своей книге Das Gesetz der Kleinen Zahlen («За
кон малых чисел»). Сам французский математик Симеон Дени Пуассон
(1781—1840) не осознавал огромного практического значения распределе
ния, которое позднее было названо его именем.
-
-
-
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]