Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

1.1. Факториалы и биномиальные коэффициенты

— это количество способов выбратьkобъектов изnразличных

объектов, если не важно, в каком порядке они выбраны.

Другими словами,

различных объектов, выбранных изn. Эта величина называется

— это количество возможных сочетаний

биномиальным коэффициентом. Ключевое различие между пере становками и сочетаниями состоит в том, учитывается ли при их построении порядок следования элементов. Сочетания — это не упорядоченные выборки, перестановки — упорядоченные последова тельности.

Биномиальные коэффициенты играют ключевую роль в так называемой урновой модели. Эта модель имеет много приложений в теории вероятностей. Предположим, что в урне лежитRкрасных иWбелых шаров. Какова вероятность достать ровноrкрасных шаров, если мы не глядя берем из урныnшаров? Чтобы ответить на этот вопрос, полезно вообразить, что шары сделали различи-

мыми, нанеся на каждый отдельную метку

ных сочетанийnразличных шаров равно

четаний есть

rWnr

(и, следовательно,

ç è

комбинаций с ровноrкрасными шарами

белыми шарами). То есть если не глядя

nr-

. Общее число возмож-

æ ç

ç è

ö ÷

.Средиэтихсо-

вынуть из урныnшаров,

ö ÷

вероятностьвынутьровноr красных шаров

где, по принятому соглашению,

æ ç

=0при

÷ ø

rWnr

æ ç

ç è

.Этивероятности

ba>

представляют так называемое гипергеометрическое распределение. Задачи из теории вероятностей, которые можно свести к урновой

Нанести метки на объекты, чтобы сделать их различимыми, может ока заться очень полезно при решении комбинаторной задачи из теории веро ятностей.

Глава 1. Элементы комбинаторики и математического анализа, используемые в теории вероятностей

модели, появляются во многих обличьях. Хороший пример — ло терея 6/45. В каждом розыгрыше лотереи из набора

12 45,, ,K

выби раются шесть различных чисел. Предположим, что вы заполнили лотерейный билет, вычеркнув шесть разных чисел. Тогда вероят ность того, что ровноrиз выбранных вами чисел совпадут с чис лами, выпавшими при розыгрыше, равна

639

=для , , ,K

01 6

Это можно увидеть, представив шесть выпавших при розыг рыше чисел в виде 6 красных шаров, а остальные 39 чисел в виде 39 белых шаров. В частности, вероятность совпадения всех выпавших при розыгрыше чисел с вашими (джекпот) равна 1 к 8 145 060.

В математике есть много тождеств, в которых используются биномиальные коэффициенты. Следующее рекурсивное соотно-

ö ÷

÷ ø

££

1для .

шение известно как треугольник Паскаля

ö ÷

÷ ø

æ ç

Вы можете доказать это алгебраически. Однако можно полу чить более элегантное доказательство, если интерпретировать одну и ту же величину двумя разными способами. Будем называть это словесным доказательством. Представьте себе группу изnчеловек, из которых нужно выбратьkчленов комитета. Этихkчеловек

можно выбрать

способами. С другой стороны, можно провести

подсчет еще и таким образом. Возьмите одного человека, напри мер, Джона. Число возможных комитетов, в которые может вхо

Паскаль был далеко не первым из тех, кто изучал этот треугольник. Персидский математик Абу Бакр Аль-Караджи создал нечто очень похо жее еще в 10-м веке. В Китае этот треугольник называют треугольником Ян Хуэя, по имени жившего в 13-м веке китайского математика, а в Италии треугольником Тарталья, по имени итальянского математика Никколо Тар тальи, жившего в 16-м столетии.

1.1. Факториалы и биномиальные коэффициенты

nk-

дить Джон, равно

Джон не входит, равно

, а число возможных комитетов, в которые

nk-

, что и доказывает приведенное выше

тождество.

Попробуйте самостоятельно решить следующие проверочные

задачи:

Сколько существует различных автомобильных номеров, в кото

•

рых сначала идут три буквы (английского алфавита. — Прим. пе рев.), а затем три цифры? Сколько существует таких номе ров, в которых все буквы и цифры различны? (Ответ: 17 576 000 и 11 232 000.)

Сколько существует способов расставить в ряд 5 букв A и 3 бук-

•

вы B? (Ответ: 56.)

Пять игроков в футбол, A, B, C, D и E, должны бить пенальти

•

после окончания футбольного матча. Сколько возможно вариантов того, в каком порядке они будут бить по мячу, если A должен бить сразу после C? Сколько есть вариантов, если A должен бить после C? (Ответ: 24 и 60.)

•

Чему равно количество различных перестановок одиннадцати букв, входящих в слово Mississippi? (Ответ: 34 650.)

•

Джон и Пит входят в группу из 10 игроков, которых нужно раз делить на две командыAиBпо пять игроков каждая. Скольки ми способами можно разделить игроков на команды так, чтобы Джон и Пит оказались в одной команде? (Ответ: 120.)

•

Предположим, что из 10 детей нужно выбрать пять и выстроить их в шеренгу. Сколько различных шеренг может получиться? (Ответ: 30 240.)

•

Дайте словесные доказательства равенств

nkn

=å0

nknn

÷ ÷

ç ç

nknk-

ö ÷

÷ ø

14 Глава 1. Элементы комбинаторики и математического анализа,

используемые в теории вероятностей

Сколькими способами можно распределить восемь одинаковых

•

шоколадок между пятью детьми так, чтобы каждый ребенок по лучил хотя бы одну шоколадку? (Ответ: 35

1.2. Основные факты из математического анализа

История числаeначалась в 1614 году, когда Джон Непер изобрел логарифмы. Это случилось в период, когда расширялась и росла международная торговля, и из-за этого очень много внимания было направлено на понятие сложных процентов. В то время уже

было известно, что

æ ç

позволитьnрасти без ограничений:

lim ,

®¥

Знаменитая математическая константаeназывается числом Эйлера. Ее назвали в честь Леонарда Эйлера (1707—1783), которого считают самым продуктивным математиком в истории.

Экспонента,илиэкспоненциальная функция —этофункция где переменнаяxпринимает значения из области действительных чисел. Она является самой важной функцией в математике. Фун даментальное свойство падает с ней самой:

11+

æ ç

стремится к некоторому пределу, если

==1

состоит в том, что ее производная сов

2 7182818при K

Количество комбинаций неотрицательных целых чисел

летворяющих условию

водится без доказательства. (По-видимому, в формуле опечатка; данная за дача эквивалентна задаче о количестве способов разложить восемь неразли чимых шаров по пяти различимым ящикам так, чтобы в каждом ящике был хотя бы один шар, а эта задача сводится к тому, чтобы найти количество способов поставить (5-1) перегородку на (8-1) пустых местах между поло женными в ряд шарами, поэтому количество комбинаций здесь равно

rn-

. — Прим. перев.)

++ =K

xxr

, равно

ç è

ö ÷

÷ ø

. Этот результат при

,,K

, удов

1.2. Основные факты из математического анализа

= для всех

Интермедия: Давайте построим график производной. Рассмот

рим функцию Тогда для каждого

вида

ax()

()=

ax a

h > 0

ax h axhaa

()()

Будем считать доказанным, что

Таким образом,

. Чтобы это увидеть, обратите внимание на то, что усло-

ae=

вие

lim

®¥

lim( ) /

®-0

ax cax'( ) ( )=

= 1 — это то же самое, что и

.Такимобразом,

щий результат состоит в том, что

для некоторой постоянной

xh x h

ca h

. Когда константа

ax ax'( ) ( )=

()=

fx e

-+1

() .

lim( ) /01

c =1

при

— единственная функ-

a > 0

существует.

? Ответ: если

lim( )

. Более об-

ae=

/01

ция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

fx fx'( ) ( )=

Как вычислить значение

верное для общего случая, для нашей цели не годится. Для вычис ления

с граничным условием

lim

®¥

используется степенной ряд

? Соотношение

=1длявсех

f ()01=

=+ + + +1

L для всех

Чтобы доказать верность этого разложения в степенной ряд,

нужно использовать теорему Тейлора из математического анализа.

То, что

сама является своей производной, играет в этом доказа

тельстве важнейшую роль. Заметим, что почленное дифференци

рование ряда

++ +x

ся с тем фактом, что

дает тот же самый ряд, и это согласует

совпадает со своей производной.

16 Глава 1. Элементы комбинаторики и математического анализа,

используемые в теории вероятностей

Разложение

в ряд дает

»+1

дляx,близкихк0.Это одна из наиболее полезных аппроксимационных формул в мате матике! В теории вероятностей эта формула часто применяется ввиде

exx

»-1дляблизкихк0,

Хорошей иллюстрацией полезности этой формулы является парадокс дней рождения. Какова вероятность того, что в случай но выбранной группе изmлюдей (без близнецов) окажется два или больше человека, у которых дни рождения приходятся на один день? Чтобы упростить задачу, будем считать, что в году 365 дней (29 февраля исключаем) и что вероятность родиться в любой из этих дней одинакова. Занумеруем людей от 1 доm, и пусть последовательность их рождений. Количество возможных последовательностей будет равно

365 365 365 365´´´ =L

(, , , )vv v

, а число последовательно-

обозначает даты

m12

стей, в которых у всех людей дни рождения различны, равно

365 364 365 1´´´ -+L ()m

.Обозначив

вероятность того, что все

люди родились в разные дни, вы получите

´´´ -+365 364 365 1

L ()

365

Еслиmсильно меньше 365, можно применить очень полезную аппроксимацию:

1365()/

Чтобы увидеть, что это соотношение верно, запишите

ввиде

=´ -

ç è

365

ö ÷

´-

365

ö ÷

Далее используйте аппроксимацию

´´ -

L .

æ ç

»-1

ö ÷

365

дляx,близ

ких к нулю, и формулу суммы арифметической прогрессии

для

1++ += +L nnn()

,ивыполучите

n ³1

-- -- -+++-1 365 2 365 1 365 1 2 1 365// ()/( )/

Pe e e e

»´´´ =

1365()/

1.2. Основные факты из математического анализа

Искомая вероятность того, что у двух или больше людей дни рождения совпадают, равна единице минус вероятность того, что у всех людей дни рождения различны. Итак,

вероятность того, їто у двух или больше людей

mm()/

1365

ождения совпадают »-

дни р

Эта вероятность становится больше 50% при

m = 23

человека (ее точное значение 0,5073, а приблизительное 0,5000). Интуитив ное объяснение того, что вероятность совпадения становится больше 50% для такого маленького значения, как

в том, что для него существует

= 253 комбинации из двух че

m = 23

,состоит

ловек, и для каждой из них вероятность совпадения дат рождения

равна

365

Натуральный логарифм

Функция

lim

e®¥=¥

решениеyдля каждого вается натуральным логарифмом и обозначается

строго возрастает на

. Следовательно, уравнение

. Это решение как функция отcназы-

c > 0

(,)-¥ ¥

,причем

имеет единственное

ln( )c ким образом, натуральный логарифм — функция, обратная к экс поненциальной. Другими словами,

— логарифмическая

ln( )x функция по основаниюe. Натуральный логарифм также можно определить через интеграл

ln( ) .y

dv y

для

lim

®-¥

для

c > 0

= 0

.Та

Это интегральное представление

часто используется

ln( )y

в вероятностном анализе. Оно показывает, что производная от

—это

ln( )y

ln( )

dy y

.=>

0для

Глава 1. Элементы комбинаторики и математического анализа, используемые в теории вероятностей

Геометрическая прогрессия и гармонический ряд

В вероятностном анализе вам будут часто встречаться геометриче ские прогрессии. Основная формула для геометрической прогрес сии — это формула ее суммы

при

. Вы можете легко прове

||x < 1

<xx

xK при | |

()( )11

-++++xxx x

ипозволитеmстремить-

||x < 1

будет стремиться к 0. Это дает

, что и доказывает нужный

||x < 1

ипо

++ +=

или, коротко,

¥ k =

рить этот результат, перемножив

1-+xm

лучив

ся к бесконечности,

()( )11 1

-+++=xxxK

. Если вы возьмете

m+1

при

результат. Дифференцируя геометрическую прогрессию почленно и принимая во внимание, что

имеет производную

1 - x

()- x

,вы

получите

()

при

||x < 1

<xx

||при

. Аналогично, вы по

||x < 1

. Для геометрического

или, коротко,

лучите

12 3

++ +=

kk-

kk x

()

1()

()

распределения вероятностей, с которым вы встретитесь в следую щих главах, эти формулы сводятся к

åå

kpp

() () .1

-= -=

kpp

И наконец, частичная сумма

+++K

гармонического ряда

будет возникать во многих вероятностных задачах. Полезная ап проксимация:

1.2. Основные факты из математического анализа

где

g=0 57721566, K

+++» ++K

— постоянная Эйлера—Маскерони. Эта ап

проксимация очень точна. Частичная сумма

чайно медленно с ростомn.

nln( ) g для больших

растет чрезвы

1kkn=

Сумма гармонического ряда

много доказательств этого замечательного результата. Первое доказательст во датируется примерно 1350 годом, его дал философ Николай Орезмский. Это доказательство гениально. Николай Орезмский просто заметил, что

1314241

+>=

В общем случае

что величина

Разве это доказательство не прекрасно?

15161718481

++ + > =

1kkn=

перерастает все возможные границы, когдаnрастет.

++ >K

принимает значение¥. Существует

1kk=

191

121

+++>=K

для любогоr, и это показывает,

2rr r+

1168161

, и так далее.

ГЛАВА 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей — наука о неопределенностях, возникающих везде и всюду:

Каковы шансы выиграть максимальный приз в национальной

•

лотерее?

Каковы шансы того, что у вас действительно есть редкая бо-

•

лезнь, если анализ на нее оказался положительным?

Каковы шансы, что последний из тянущих билеты выиграет,

•

если один приз разыгрывается среди 10 человек?

•

Сколько карт, по вашим ожиданиям, нужно вытянуть из стандартной колоды до того, как попадется первый туз?

•

Каково математическое ожидание проигрыша, если вы собираетесь поставить в рулетку на красное 50 раз подряд?

•

Чему равно ожидаемое число различных значений, выпавших при одном броске шести симметричных игральных костей? Чему равно ожидаемое число бросков симметричной кости, тре буемое, чтобы увидеть все шесть ее граней?

Инструменты для ответов на подобные вопросы содержатся в этой главе, которая познакомит вас с самыми важными основ ными понятиями элементарной теории вероятностей. В данной главе даются стандартные аксиомы, выводятся важные свойства вероятностей, рассматриваются ключевые идеи условной вероят ности и байесовского мышления, и объясняются понятия случай ной величины, математического ожидания и стандартного откло нения. Все это проиллюстрировано полезными примерами и поучительными задачами.

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]