Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
2.1. Основы теории вероятностей
2.1. Основы теории вероятностей
21
Через примерно четыреста лет после того, как замечательный ита
льянский математик и врач Джероламо Кардано (1501—1576) на
писал книгу Liber de Ludo Aleae («Книга об игре в кости»)изало
жил краеугольный камень в основание теории вероятностей, введя
понятие пространства элементарных событий, знаменитый рус
ский математик Андрей Колмогоров (1903—1987) скрепил этот
фундамент аксиомами, на которых стало возможно построить
строгую научную теорию.
Пространство элементарных исходов случайного эксперимен
та — это множество элементов, взаимно-однозначно соответству
ющее всем возможным исходам этого эксперимента. Вот несколь
ко примеров:
Эксперимент — бросить игральную кость один раз. В качестве
•
пространства элементарных исходов можно взять множество
12 6,, ,K
,гдеисходiозначает, что на верхней грани кости оказа-
лосьiточек.
•
Эксперимент — бросать кость, пока в первый раз не выпадет
шестерка. Пространство элементарных исходов — множество
положительных целых чисел. Исходkозначает, что шес-
12,,K
терка выпала в первый раз наk-м броске.
•
Эксперимент — измерить временной промежуток до момента
испускания радиоактивным источником первой частицы. В ка
честве пространства элементарных исходов можно взять множе
ство
положительных вещественных чисел, где исходtозна
(, )0 ¥
чает, что до момента вылета первой частицы из радиоактивного
источника прошло времяt.
В первом примере пространство элементарных исходов — ко
нечное множество. Во втором примере пространство элементар
ных исходов — это так называемое счетно-бесконечное множест
во, а в третьем примере пространство элементарных исходов —
это так называемое несчетное множество. В общем случае не ко
нечное множество называется счетно-бесконечным, если элементам
этого множества можно взаимно-однозначно поставить в соответ
ствие элементы множества целых чисел. Не все множества с бес
конечным числом элементов являются счетно-бесконечными.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Глава 2. Основы теории вероятностей
22
Множество всех точек на прямой и множество всех вещественных
чисел между 0 и 1 — примеры бесконечных множеств, не являю
щихся счетно-бесконечными. Множества, которые не являются
конечными или счетно-бесконечными, называются несчетными,
а множества, которые являются конечными или счетно-бесконеч
ными, называются счетными. (В русской терминологии множест
ва, элементам которых можно взаимно-однозначно поставить
в соответствие элементы множества целых чисел, называются
счетными, множества с конечным числом элементов — конечны
ми, а термин «счетно-бесконечные» не используется. Несчетными
называются множества, не являющиеся конечными или счетными.
В дальнейшем термин «счетно-бесконечные» будет заменяться на
«счетные». — Прим. перев.)
Идея Колмогорова состояла в том, чтобы рассмотреть достаточно богатый класс подмножеств пространства элементарных исходов и сопоставить величину
со значениями между 0 и 1
PA()
каждому подмножествуA, принадлежащему к этому классу. Этот
класс подмножеств состоит из всех возможных подмножеств, если
пространство элементарных исходов конечно или счетно, но если
пространство элементарных исходов несчетно, в нем существуют
«странные» подпространства, которые нужно исключать из рассмотрения. Для вероятностной мерыPвыполняются три естественных постулата. Если обозначить
PA B()или
число, сопоставляемое множеству всех элементарных исходов, принадлежащих либо
подмножествуA, либо подмножествуB, либо обоим подмножест
вам, то для конечного пространства элементарных исходов эти по
стулаты имеют вид:
-
-
-
-
-
-
Аксиома 1.
Аксиома 2.
Аксиома 3.
P()W=1
01££PA()
PA B PA PB()()()или =+
для всего пространства элементарных исходовW.
для каждого подмножестваAизW.
если подмножестваAиBне
имеют общих элементов (так называемые непересекающиеся, или
дизъюнктные, множества).
Аксиома 3 требует модификации в случае, если пространство
элементарных исходов не является конечным. Тогда эта аксиома
принимает вид
PA A PA
()()или или
12
непересекающихся подмножеств
K =
AA
,,K
12
å
¥
k
=
1
для попарно
k
. Пространство элемен
-
2.1. Основы теории вероятностей
23
тарных исходов с определенной на нем вероятностной меройPна
указанном классе подмножеств называется вероятностным про
странством.
Если пространство элементарных исходов содержит счетное
или конечное число элементов, достаточно сопоставить вероят
ность
ность
каждому элементуwэтого пространства. Тогда вероят
p()w
, сопоставляемая подмножествуAпространства элемен
PA()
тарных исходов, определяется как сумма вероятностей отдельных
элементов множестваA. То есть в математических обозначениях
-
-
-
-
PA p
() ()=
å
w
.
w
A
Î
Особый случай составляет случай конечного пространства эле
ментарных исходов, в котором все исходы равновероятны. Тогда
можно вычислить как
PA()
PAA()=
колиїество исходов, принадлежащих множеству
колиїество исходов всего пространства элементарных
событий
.
Эта вероятностная модель известна как модель Лапласа,по
имени знаменитого французского ученого Пьера Симона Лапласа
(1749—1827), которого иногда называют «французским Ньютоном». Модель, называемая моделью Лапласа, впервые появляется
в книге Джероламо Кардано, написанной в 16-м веке. Модель использовалась для решения основной задачи из ранней теории ве
роятностей: нахождения вероятности ни разу не получить 1 за два
броска симметричной игральной кости (эта вероятность равна
25
36
Галилео Галилей (1564—1642), один из величайших ученых эпохи
Возрождения, с помощью этой модели объяснил своему покрови
телю, великому герцогу Тосканскому, что при одном броске трех
симметричных игральных костей вероятность получить в сумме
10 очков выше, чем вероятность получить 9 (эти вероятности рав
27
ны
216
25
и
соответственно).
216
На языке теории вероятностей любое подмножествоAпро
странства элементарных исходов называется событием. Говорят,
что произошло событиеA, если результат эксперимента принадле
жит множествуA.Число
— это вероятность того, что событие
PA()
-
-
).
-
-
-
-
24
Глава 2. Основы теории вероятностей
произойдет. Любой элементарный исход также является событи
A
ем, но обычно событие соответствует более чем одному элемен
тарному исходу. Например, пространство элементарных исходов
эксперимента «одно бросание одной игральной кости» — множе
ство{1,2,3,4,5,6},гдеисходiозначает, что на верхней грани иг
ральной кости выпалоiточек. Тогда подмножество A = {1, 3, 5}
соответствует событию «при одном броске игральной кости выпа
ло нечетное число». СобытияAиBназываются взаимоисключаю
щими (или несовместными), если они не могут оба случиться одно
временно. В эксперименте с бросанием монетки четыре раза
событие «выпало три или больше орла» и событие «выпало две
или больше решек» несовместны.
Вероятностная мераPне появляется сама на пустом месте, вы
должны выбирать ее сознательно. Естественно, это нужно делать
так, чтобы выполнялись аксиомы, а модель отражала сущность
рассматриваемой проблемы наилучшим способом из всех возможных. Аксиомы должны выполняться не только для вероятностей,
понимаемых как относительные частоты исходов в повторяющемся случайном эксперименте, например, при броске игральной кости. Они также должны оставаться истинными для байесовской
интерпретации вероятности как меры личной уверенности в результате не повторяющегося эксперимента, такого, как, например,
скачки. Субъективная вероятность зависит от знаний или информации о рассматриваемом событии.
-
-
-
-
-
-
-
Пример 2.1. Какова вероятность того, что наибольшее число,
выпавшее при одном броске двух симметричных игральных кос
тей, будет равно 4?
Решение. Рассуждать будет проще, если представить себе, что
одна кость синяя, а другая красная. Пространство элементарных
исходов здесь — множество, состоящее из 36 исходов
ij,,,,=12 6K
,числоiпредставляет число очков, выпавших на синей
(, )ij
,где
кости, аj— число очков, выпавших на красной. Кости симметрич
ны, поэтому подходящая вероятностная модель — назначить одну
и ту же вероятность
1
каждомуэлементупространстваисходов.
36
Это пример модели Лапласа: чтобы найти вероятность события, вы
должны сосчитать количество благоприятных исходов и разделить
его на количество всех возможных исходов. ПустьA—событие«са
-
-
-
2.1. Основы теории вероятностей
25
мое большое число, выпавшее при броске, равно 4». Событие
происходит только если в результате эксперимента получен один из
семи исходов
(,)14,(,)24,(,)34,(,)44,(,)43,(,)42и(,)41
.Поэтомувероят
ность получить 4 как наибольшее число при одном броске двух
симметричных игральных костей такова:
7
PA()=
36
.
Количество нужных исходов очень легко подсчитать неверно.
В своей книге Opera Omnia немецкий математик Готфрид Виль
гельм Лейбниц (1646—1716), изобретатель дифференциального
и интегрального исчисления совместно с Исааком Ньютоном, сде
лал знаменитую ошибку, написав «при броске двух костей так же
вероятно выбросить двенадцать очков, как и выбросить одиннадцать очков, потому что и то и другое можно сделать только одним
способом». Вот его аргумент: две шестерки должны выпасть, чтобы получилось 12, и пятерка и шестерка должны выпасть, чтобы
получилось 11. Однако существует два способа получить в сумме 11. Это становится очевидным, если представить себе, что одна
кость синяя, а вторая красная. Или вы можете представить себе
два броска одной кости вместо одного броска двух костей.
Еще одна психологически обусловленная ошибка состоит
в том, чтобы считать исходы равновероятными, когда в действительности это не так. В качестве иллюстрации этой ошибки можно привести знаменитое заблуждение Жана Лерона Д’Аламбера
(1717—1783), одного из самых выдающихся интеллектуалов своего
времени. Д’Аламбер ошибочно утверждал, что вероятность выпа
дения орла за не более чем два броска монеты равна
2
(на самом
3
3
). Он рассуждал следующим образом: «Если орел выпадает
деле
4
во время первого броска, нет необходимости бросать монету вто
рой раз. Таким образом, возможные исходы бросков — это О, РО
и РР, и искомая вероятность составляет
2
». Однако эти три исхода
3
1
1
1
,
и
не равновероятны, им следует приписать вероятности
ответственно. Правильный ответ —
3
, это становится очевидно,
2
со
4
4
4
A
-
-
-
-
-
-
26
Глава 2. Основы теории вероятностей
если мы рассмотрим пространство элементарных исходов для экс
перимента с двумя бросками монеты {ОО, ОР, РО, РР}.
Пример 2.2. Два отчаянных игрока, A и B, играют в русскую
рулетку, используя револьвер. В одном из шести гнезд револьвер
ного барабана находится пуля. Отчаянные игроки по очереди при
ставляют револьвер к своему виску и нажимают на курок. Начина
ет А. Если смертельный выстрел не прозвучал, они вращают
барабан так, чтобы он остановился на случайном гнезде, игру про
должает В, и так далее. Какова вероятность того, что смертельный
выстрел сделает А?
Решение. Пространство элементарных исходов данного экспе
римента — множество
12,,K
положительных чисел. Результат
означает, что смертельный выстрел прозвучал наi-м шаге эксперимента. Подходящая вероятностная модель строится так: задайте
вероятность
ятность
p
i
1
для исхода 1, вероятность
6
для исходаi,где
5
pi
=´´´=
i
6
56165
LKпри , , .
æ
ç
è
561
для исхода 2, и веро-
´
6
-
1
i
1
ö
´=
÷
6
6
ø
12
ПустьA— событие «смертельный выстрел сделал A». Это событие
состоит из исходов
метрической прогрессии
PA p
()/==
. Тогда, используя формулу суммы гео-
135,,,K
¥
x
å
0
k =
¥
åå
k
=
00
k
+
21
1625
1
k
=
¥
æ
ç
è
k
=
36
1
x
-
k
ö
=´
÷
ø
при
,выполучите
||x < 1
1
6112536
.
-
Таким образом, вероятность того, что смертельный выстрел
6
сделает А, равна
.
11
-
-
-
-
-
-
i
Правило произведения для составного
случайного эксперимента
Случайный эксперимент из примера 2.2 — это так называе
мый составной случайный эксперимент. Такой эксперимент состо
ит из последовательности элементарных подэкспериментов.
В составном эксперименте из примера 2.2 все подэксперимен
ты физически не зависят друг от друга, то есть результат одного
-
-
-
2.1. Основы теории вероятностей
27
подэкспериментаневлияетнарезультатлюбогодругогопод
эксперимента. Вероятность исхода в составном эксперименте
равна произведению вероятностей исходов отдельных подэкспе
риментов. Это единственное распределение вероятностей, отра
жающее физическую независимость подэкспериментов друг
от друга.
Как назначать вероятности исходам составного случайного эк
сперимента, если его подэксперименты не являются физически
независимыми друг от друга? Для этого используется правило про
изведения. Чтобы объяснить это правило, рассмотрим экспери
мент, в котором последовательно случайным образом вынимают
ся два шара из коробки, в которой находятся четыре красных
и два синих шара, причем первый вынутый шар не возвращается
обратно в коробку перед тем, как вынуть второй шар. Какова вероятность вынуть хотя бы один синий шар? Это — составной эксперимент с двумя физически зависящими друг от друга подэкспериментами. Пространство элементарных исходов этого составного
эксперимента состоит из четырех упорядоченных пар
(,)brи(,)bb
, где первый компонент каждой пары обозначает цвет
(,)rr,(,)rb
первого вынутого шара, а второй компонент — цвет второго вынутого шара. Исходу
назначается вероятность
(,)rr
prr(,)=´=
46352
5
Причина задать именно такую вероятность состоит в том, что первый вынутый шар окажется красным с вероятностью
4
.Еслипер
6
вый вынутый шар окажется красным, в коробке останутся три
красных и два синих шара. В этом случае второй вынутый шар
3
окажется красным с вероятностью
. Аналогично рассуждая, исхо
5
ду
(,)rb
следует приписать вероятность
prb(, )=´ =
46254
15
pb r(, )=´=
26454
15
и
pbb(, )=´=
26151
15
. Эта вероятностная модель
дает адекватное представление нашего вероятностного экспери
мента и позволяет нам ответить на вопрос о вероятности вынуть
хотя бы один синий шар. Эта вероятность равна
-
-
-
-
-
-
-
,
.
-
-
,
-
pr b pbr pbb(,) (, ) (, ) .+ + =++=
4154151153
5
28 Глава 2. Основы теории вероятностей
В основе вероятностной модели, использованной для получе
ния этого ответа, лежит правило произведения. Это правило
встретится нам снова в разделе 2.3 при изучении условных вероят
ностей.
Забавно будет привести здесь вероятностную задачу с несчет
ным пространством элементарных исходов.
Пример 2.3.Игра«Franc-carreau»былаоченьпопулярнаво
Франции в восемнадцатом веке. Игра состоит в том, что на шах
матную доску бросают монетку. Игрок выигрывает, если монетка
не задевает ни одной из линий на доске. Предположим, что
монетка диаметромdне глядя брошена на шахматную доску. По
верхность доски разделена на квадраты с длиной стороныa,при
чем
. Какова вероятность того, что монетка лежит целиком
ad>
внутри одного из квадратов?
Решение. Фокус в том,
чтобы проследить, куда попадает точка, являющаяся
центром монетки. Возьмите
в качестве пространства элементарных исходов квадрат,
в который попадает эта точка. Значение точки этого
пространства исходов состоитвтом,чтовэтойточ
ке после броска окажется
центр монетки. Поскольку
монетка брошена на стол
случайным образом, веро
ятность, которую нужно
Рис. 1. Игра «Franc-carreau»
назначить каждому измери
мому подмножествуAпро
странства элементарных исходов, равна площади областиA,де
ленной на площадь всего квадрата. Монета окажется целиком
внутри квадрата, если и только если центр монетки окажется в ка
кой-либо точке заштрихованного квадрата с рис. 1. Площадь за
штрихованного квадрата равна
P
()
монетка целиком попала внутрь квадрата =
()ad-
2
.Поэтому
2
ad
()
-
.
2
a
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2.1. Основы теории вероятностей
29
Правило дополнения
Правило дополнения является одним из самых полезных правил
теории вероятностей. Оно утверждает, что вероятность наступле
ния данного события можно найти, вычислив вероятность того,
что это событие не наступит. Эти две вероятности всегда дают
в сумме 1. Правило дополнения часто используется для нахожде
ния вероятности того, что некоторое событие наступит по край
ней мере один раз. Например, это правило очень помогает найти
вероятность по крайней мере одного выпадения шестерки за че
тыре броска кости и вероятность выпадения по крайней мере од
ного дубля шестерок за 24 броска двух костей (см. далее зада
чу 2.2). Эта задача теории вероятностей имеет очень интересную
историю. В 17-м веке во Франции жил широко известный дворянин шевалье де Мере, который был страстным игроком в кости.
Он часто предлагал пари на то, что сможет хотя бы раз выбросить
шестерку на одной кости за 4 броска или меньше, и пари на то,
что сможет хотя бы раз выбросить одновременно две шестерки на
двух костях за 24 броска или меньше. Шевалье считал, что шансы
выграть первое и второе пари равны (можете ли вы объяснить, по-
4
24
и
чему соответствующие шансы не равны
6
в реальности он чаще выигрывал первое пари, чем проигрывал.
Шевалье обратился к математику Блезу Паскалю за разъяснениями. Это привело к переписке между двумя знаменитыми француз
скими математиками, одним из которых был Блез Паскаль (1623—
1662), а вторым — Пьер Ферма (1601—1665)
просто вычислив вероятность не выпадения шестерки или дубля
шестерок, см. далее задачу 2.2.
Правило дополнения утверждает, что для любого события
?). Тем не менее
36
1
. Они решили задачу,
A
-
-
-
-
-
-
-
,
где дополняющее событие
PA PA() ()=-1
определяется как событие, состоящее
A
втом,чтоAне произошло. Формальное доказательство этого
1
Переписка Паскаля и Ферма в 1654 году положила начало современной теории
вероятностей. В этой переписке было найдено решение еще одной знаменитой зада
чи теории вероятностей, к которой шевалье де Мере также привлек внимание Паска
ля: как при игре в кости разделить выигранные очки между игроками, если игра за
кончилась преждевременно. Эта задача будет рассмотрена в разделе 3.1.
-
-
-
Глава 2. Основы теории вероятностей
30
очевидного результата состоит в следующем. СобытияAи
A
явля
ются взаимно исключающими и вместе составляют все простран
ство элементарных исходов. Тогда из аксиом 1 и 3 следует, что
PA A()или =1иPA A PA PA()()()или =+
.
Пример 2.4. В азартной игре в рулетку колесо рулетки имеет
37 секторов, занумерованных числами
01 36,, ,K
.Вкаждомраунде
игры для каждого сектора вероятность того, что шарик остановит
ся именно в нем, одинакова. Какова вероятность того, что за 7 ра
ундов шарик остановится в одном и том же секторе два или бо
лее раз?
Решение. Возьмите множество всех возможных последователь
ностей вида
(, , , )ii i
12 7
ходов, при этом
остановился шарик вk-том раунде. Это пространство содержит
´´´ =L
37 37 37 37
в качестве пространства элементарных ис
K
будет обозначать номер сектора, в котором
i
k
7
равновероятных исходов. ПустьA—событие
«шарик остановился в одном и том же секторе два или более раз».
Вместо того чтобы вычислять вероятность
дополнительную вероятность
,гдеA— событие «ни в каком
PA()
,прощевычислить
PA()
секторе шарик не останавливался два или более раза». Число исходов
K
(, , , )ii i
12 7
,укоторыхвсе
различны, равно
i
k
37 36 31´´´L
Разделив количество благоприятных исходов на количество всех
возможных исходов, вы получите
L
´´´
PA() ,=
37 36 31
37
7
=
0 5466
.
-
-
-
-
-
-
-
.
и, таким образом,
PA() ,= 0 4534
. Могли ли вы себе представить,
что эта вероятность окажется настолько большой?
Задача 2.1. Собака родила четырех щенков. Используя подхо
дящее пространство элементарных исходов, докажите, что рожде
ние трех щенков одного пола и одного щенка другого пола более
вероятно, чем рождение двух щенков каждого пола. (Ответ:
16
против
6
.)
16
Задача 2.2. Используя подходящее пространство элементар
ных исходов, докажите, что вероятность выбросить, по крайней
мере, одну шестерку заrбросков одной игральной кости равна
-
-
8
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]