Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
3.2. Пуассоновское распределение
91
стоят менее чем на три стандартных отклонения от ее математиче
ского ожидания, если
«достаточно» составляет
np p()1 -
np p()120-³
достаточно велико. На практике
. Этим свойством однажды
блестяще воспользовалась некая пивоваренная компания. В теле
везионном рекламном ролике, показанном во время финала аме
риканского Суперкубка, 100 любителям пива было предложено
провести слепое вкусовое тестирование, в котором участвовали
пиво, произведенное заказчиками рекламы, и пиво, произведен
ное компанией-конкурентом. Гениальность трюка заключалась
в том, что 100 человек, приглашенных для участия, регулярно упо
требляли пиво марки конкурента. В те дни все марки американ
ского пива на вкус были более или менее одинаковы, и большин
ство потребителей были не способны отличить один бренд от
другого. Поэтому маркетологи компании были уверены, что больше 35% участников тестирования предпочтут их пиво напитку
своей обычной марки (целевое значение 35 находится на
()/50 35 5 3-=
стандарных отклонения ниже математического ожидания 50, и поэтому биномиальная вероятность того, что это число окажется меньше 35, очень мала). Это действительно произошло, и произвело большое впечатление на телезрителей. Вот еще
пример: в задаче 3.8z-значение для 82 или более правильных ответов равно
()/ .82 50 40 506-»
, из чего вы без каких-либо дальнейших вычислений можете сделать вывод, что вероятность выплаты выигрыша чрезвычайно мала.
-
-
-
-
-
-
-
Задача 3.13. Чему равна пуассоновская аппроксимация для ис
комой вероятности в задаче 3.5? (Ответ: 0,01019.)
Задача 3.14. Чему равна вероятность выиграть джекпот в лоте
рее 6/42, если заполнить 5 миллионов лотерейных билетов случай
ным образом? (Ответ: 0,6145.)
Задача 3.15. В некотором прибрежном районе происходит
в среднем 3.1 серьезных ураганов в год. С помощью подходящей
вероятностной модели вычислите вероятность того, что в будущем
году случится 5 или больше серьезных ураганов. (Ответ: 0,0943.)
Задача 3.16. На низкой околоземной орбите находится множе
ство фрагментов космического мусора. По имеющимся оценкам,
орбитальная космическая станция столкнется с космическим му
сором, имеющим размер и скорость больше критических, в сред
-
-
-
-
-
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
92
нем один раз за 400 лет. Оцените вероятность того, что только что
запущенная космическая станция не будет повреждена космиче
ским мусором в течение первых 20 лет. (Ответ: 0,951.)
Задача 3.17. Пусть одновременно бросаютrкостей. Бросок,
в котором на каждой изrкостей выпадает шестерка, называется
королевским броском (это обобщение задачи де Мере). Для доста
точно больших значенийr, чему равна вероятность невыпаде
ния королевского броска за
-=23
/
e
05134
,
.)
46
1´-r
бросковrкостей? (Ответ:
Задача 3.18. В некоторой сельской местности собаки нападают
на почтальонов в среднем 324 раза в год. В прошлом году прои
зошло 379 нападений. Является ли этот случай исключительным?
(Ответ: да,z-значение для него равно 3,1.)
3.3. Нормальная плотность вероятности
Многие вероятностные ситуации лучше описывать с помощью непрерывных случайных величин, а не дискретных. Например, годовое количество осадков в некоторой местности, или время распада
радиоактивной частицы. Вычисления в теории вероятностей
и статистике часто сильно упрощаются, если аппроксимировать
функцию распеределения вероятности дискретной случайной ве
личины непрерывной кривой. Как показано на рис. 3, функцию
распределения вероятности для биномиального распределения
с параметрамиnиpможно очень хорошо аппроксимировать гра
фиком непрерывной функции
1
22
x
()/
--
=
sp
1
2
fX e
()
2
ms
-
-
-
-
-
-
с
m=np
np p()120-³
и
s=-np p()1
.Этафункция
,еслиnдостаточно велико, например,
называется плотностью вероятно
fx()
сти нормального распределения (или плотностью вероятности гаус
совского распределения). Аналогично, функцию распределения ве
роятности для пуассоновского распределения с параметром
можно аппроксимировать графиком функции плотности вероят
ности нормального распределения
fx()сml=
и
sl=
,еслиlдо
-
-
-
l
-
-
3.3. Нормальная плотность вероятности
93
Рис. 3. Нормальная аппроксимация биномиального (слева) и пу
ассоновского (справа) распределений
статочно велико, например, для
. На рис. 3 параметры бино-
l³25
миального и пуассоновского распределений равны
и
l=25
.
æ
np==
125
ç
è
-
1
ö
,
÷
5
ø
Вы познакомились с нормальным распределением вероятности, которое по праву можно назвать самым важным непрерывным распределением. Непрерывная случайная величинаXимеет
нормальное распределение с параметрамиmи
x
1
22
y
()/
--
PX x e dy
()
£=
1
sp
2
-¥
ms
2
ò
при
Для нормально распределенной случайной величиныXспа
раметрамиmиsчасто используется обозначение
s>0
-¥ < < ¥x
,если
N(, )ms
.
2
.
-
Функция плотности вероятности нормального распределения
1
22
x()()/
--
fx e
1
=
sp
2
ления вероятности
ms
2
является производной функции распреде
Fx PX x() ( )=£
-
. Параметрыmиsфункции
плотности нормального распределения — это математическое
ожидание и стандартное отклонение случайной величиныX,то
есть
¥
m=
xf x dx()иsm
ò
-¥
¥
22
=-
()()xfxdx
ò
-¥
94
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
Рис. 4. Свойство функции плотности нормального распределения
Вывод этих формул выходит за рамки данной книги. Сделаем
несколько замечаний. Функция плотности нормального распределения
метричен относительно вертикальной прямой
достигает максимума в точке
fx()
, и ее график сим-
x =m
.Точка
x =m
x =m
также является медианой нормального распределения вероятно-
1
стей
. Для нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданиемmи стандартным отклонениемsпримерно 68,3% всех ее значений лежат между точками
примерно 95,4% всех ее значений лежат в интервале от
, и примерно 99,7% в интервале от
ms+ 2
ms-3
до
ms+ 3
ms-
ms-2
.Этопо
и
ms+
до
казано на рис. 4 и будет объяснено ниже, после того, как мы по
знакомимся со стандартным нормальным распределением.
Важное свойство нормального распределения состоит в том,
что величина
aX bY+
оказывается нормально распределенной для
любых константaиb, если случайные величиныXиYнормально
распределены и независимы. Математическое ожиданиеmи стан
дартное отклонениеsдля
aX bY+
равны
,
-
-
-
1
Медиана непрерывной случайной величины — это такая точка, что 50%
значений функции распределения вероятности этой случайной величины
расположены слева от этой точки, и 50% значений функции распределения
вероятности лежат справа от этой точки. Заметим, что для непрерывной
случайной величины вероятность принять любое заданное значение равна
нулю.
3.3. Нормальная плотность вероятности
95
msss=+ = +aE X bE Y a X b Y() () () ().и
В частности, случайная величина
Na ba(,)ms+
N(, )ms
22
2
распределена.
распределенной, если случайная величина
22 22
aX b+
является
Стандартное нормальное распределение — это нормальное рас
пределение с математическим ожиданием 0 и стандартным откло
нением 1. Это распределение обычно обозначается как
пределение. Для случайной величины
со стандартным
Z
N(,)01
-рас
нормальным распределением ее функция распределения вероят
ности обозначается как
.
2
для любого z.
121
F() ( / )zerfz=+
2
Функция
F()z
В статистике
F() ( )zPZz=£
задается знаменитым интегралом
z
1
x
-
F()zedx
F()z
1
=
2
часто вычисляется как
2
ò
p
-¥
2
()=
2
X
где
erf x e dy
Если
EaX b aE X b()()+= +иss
y
-
ò
0
p
имеет распределение
— функция ошибок Гаусса.
222
() ()aX b a X+=
N(, )ms
2
,топосвойствам
нормализованная слу-
2
x
чайная величина
-m
ZX=
s
X
-
-
-
-
,
имеет стандартное нормальное распределение. Этот результат
чрезвычайно полезен в случае, когда нужно вычислить вероят
ность
PX x()£
и вы увидите, что
В частности, вы получите
Pa X b P X b P X a()()()<£= £- £
. Запишите
PX x P
()£=
PX x()£
PX x
Xx
-
æ
ç
s
è
можно вычислить как
()£=
-
m
m
£
F
ö
÷
s
ø
x
-
m
æ
ö
ç
è
.
÷
s
ø
PX()(),£= =mF005
, вероятность
.Таккак
Pa X b()<£
можно
вычислить как
-
96
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
ba
-
m
æ
Pa X b
()<£=
FF
ö
ç
è
-
÷
s
ø
-
m
æ
ö
ç
è
для любого a < b.
÷
s
ø
Этот результат объясняет проценты на рис. 4. Например, у случай
ной величины с распределением
ний лежит между
ms-2иms+ 2
, поскольку
N(, )ms
2
примерно 95,4% всех значе
FF() ( ) ,2 2 0 9545--=
.
Вот пример нормального распределения: в Северной Европе
рост при рождении у мальчиков, родившихся после периода вына
шивания от 38 до 42 недель, имеет нормальное распределение
с математическим ожиданием 50,9 см и стандартным отклонением
2,4 см. Насколько исключительным является событие: рост маль
чика при рождении составил 48 см? Быстрый ответ на этот вопрос
50 9 48
можно получить с помощьюz-оценки: рост 48 см на
-
24,,
= 1,2083 стандартного отклонения меньше математического ожидания, и поэтому не является чем-то необычным. Вероятность такого недобора в росте равна
-оценке
z
-12083,
.
F(, ) ,-=1 2083 0 1135
и соответствует
Как уже было сказано выше, нормальное распределение — это
самое важное непрерывное распределение. Многие стохастические
ситуации, возникающие в реальной жизни, можно моделировать
с помощью нормального распределения. Например, ежегодное
количество осадков в данной местности, уровень холестерина
у взрослого мужчины определенной расовой группы, ошибки
в физических измерениях, рост мужчин или женщин некоторой
возрастной группы, и т. д. На рис. 5 показана гистограмма изме
рений роста большого числа мужчин в некоторой возрастной
группе. Гистограмма делит диапазон значений, полученных в ре
зультате измерений, на интервалы одинаковой ширины, и показы
вает долю измерений в каждом интервале. Как вы видите, гисто
грамма имеет характерную колоколообразную форму — форму
графика функции плотности нормального распределения. Если
делать ширину интервалов все меньше и меньше, а число измере
ний все больше и больше, график гистограммы будет стремиться
к графику функции нормального распределения. Гораздо проще
работать с функцией плотности нормального распределения, чем
с функцией распределения вероятности, определяемой построен
ной гистограммой.
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
3.3. Нормальная плотность вероятности
Рис. 5. Гистограмма измерений роста
97
Задача 3.19. Ежегодное количество осадков в Амстердаме имеет
нормальное распределение с математическим ожиданием 799,5 мм
и стандартным отклонением 121,4 мм. Чему равна вероятность
того, что в будущем году в Амстердаме выпадет больше 1 000 мм
осадков? (Ответ: 0,0493.)
Задача 3.20. Период вынашивания беременности у людей имеет
нормальное распределение с математическим ожиданием 280 дней
и стандартным отклонением в 10 дней. Каков процент родов с за
держкой более чем на 15 дней? (Ответ: 0,0668.)
Задача 3.21. Диаметр монеты в 1 евро имеет нормальное рас
пределение с математическим ожиданием 23,25 мм и стандартным
отклонением 0,10 мм. Торговый автомат принимает только одно
евровые монеты диаметром от 22,90 мм до 23,60 мм. Чему равна
вероятность того, что монета в 1 евро не будет принята автома
том? (Ответ:
465 10
, ´
4
-
.)
Задача 3.22. Ежегодный урожай зерновых в некотором районе
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
15 000 тонн и стандартным отклонением 2 000 тонны. В прошлом
году урожай зерновых составил 21 500 тонн. Является ли это явле
ние исключительным? (Ответ: да,z-оценка равна 3,075.)
-
-
-
-
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
98
Задача 3.23. Чему равно стандартное отклонение для спроса на
определенный товар, если спрос имеет нормальное распределение
с математическим ожиданием 100, и вероятность того, что спрос
превзойдет 125, равна 0,05? (Ответ: 15,2.)
Задача 3.24. Доходность акций можно смоделировать как слу
чайную величину с распределением
N(, )ms
2
. Инвестор считает,
что существует 10% вероятность того, что доходность будет ниже
$80, и 10% вероятность того, что доходность будет выше $120.
Чему, по оценке инвестора, равныmиs?(Ответ:
Задача 3.25.Докажите,что
го
,еслиXимеет распределение
k > 0
PX k k(| | ) [ ( )]-> = -ms21 F
N(, )ms
m=100иs=15 6,
2
.
для любо
3.4. Центральная предельная теорема
и нормальное распределение
В этом разделе рассматривается самая известная теорема из
области теории вероятностей и статистики. Эта теорема объясняет, почему многие стохастические явления из реальной жизни
можно моделировать с помощью нормального распределения. Эмпирический факт состоит в том, что случайная величина, которую
можно представить как результат суммы большого числа малых
независимых случайных воздействий, распределена приблизитель
но нормальным образом. Математически этот результат выражает
центральная предельная теорема, самая знаменитая теорема во
всей теории вероятностей и статистике. Ее можно нестрого сфор
мулировать так:
-
.)
-
-
-
если случайные переменные
XX X
,,,K
не зависят друг от
n12
друга и имеют одинаковое вероятностное распределение с мате
матическим ожиданиемmи стандартным отклонениемs,тосум
ма
XX X
+++K
деление с математическим ожиданием
отклонением
s n
Другая формулировка: выборочное среднее
имеет приблизительно нормальное распре
n12
и стандартным
nm
, при условии, чтоnдостаточно велико.
1
XX X
()+++K
12
n
n
имеет приблизительно нормальное распределение с математическим
3.4. Центральная предельная теорема и нормальное распределение
s
ожиданиемmи стандартным отклонением
,еслиnдостаточно ве
n
лико (используйте тот факт, что
любой константы
го значения
x
PX X X x
() ,
+++£®
1
XX X
æ
1
P
ç
è
+++
). С математической точки зрения, для любо
a > 0
K
2
2
n
K
n
n
£
EaX aEX() ()=
æ
F
ç
è
ö
®
÷
ø
xn
-
s
æ
x
ç
ç
s /
è
и
m
ö
при
÷
n
ø
ö
-
m
÷
÷
n
ø
ss() ()aX a X=
n
®¥
®¥x
nF
99
-
для
-
.при
Насколько большим должно бытьn, зависит от формы распре
деления вероятности
: чем симметричнее распределение, тем
X
i
раньше можно применять нормальную аппроксимацию. Центральная предельная теорема чрезвычайно полезна как для практических, так и для теоретических целей. Для иллюстрации рассмотрим
опять пример 2.15. Используем тот факт, что у случайной величины с распределением
лежат между
ab-2иab+ 2
2
N(, )ab
приблизительно 95,4% всех значений
. Тогда с вероятностью примерно 95%
доход школы после 500 партий будет находиться в интервале от
250 2 25 200-´ =
долларов до
250 2 25 300+´ =
долларов.
Центральная предельная теорема объясняет, почему гистограмма функции распределения вероятности для случайной величины с биномиальным распределением и параметрамиnиpмо
жет так хорошо быть аппроксимирована графиком плотности
нормального распределения с математическим ожиданием
и стандартным отклонением
np p()1 -
,еслиnдостаточно велико:
np
биномиальную случайную величину можно записать в виде
суммы
с
XX
PX p
()==1
i
++L
и
дляnнезависимых случайных величин
n1
PX p
()==-01
i
.
X
Центральная предельная теорема имеет интересную историю.
Первую версию этой теоремы сформулировал в 1738 году англий
ский математик французского происхождения Абрахам де Муавр.
Он использовал нормальное распределение, чтобы аппроксимиро
вать распределение числа орлов, полученных при многократном
подбрасывании симметричной монеты. Находка де Муавра опере
дила свое время и была почти забыта до тех пор, пока знаменитый
французский математик Пьер Симон Лаплас не спас ее от безвест
ности в своем монументальном труде Thйorie Analytique des Probabi
-
-
i
-
-
-
-
-
100 Глава 3. Полезные распределения вероятностей
litйs («Аналитическая теория вероятностей»), опубликованном
в 1812 году. Лаплас расширил вывод де Муавра, аппроксимировав
биномиальное распределение нормальным распределением. Но как
ивслучаесдеМуавром,выводЛапласанеполучилвсвоевремя
должного внимания. Важность центральной предельной теоремы
была осознана лишь в конце 19-го века, когда в 1901 году русский
математик Александр Ляпунов сформулировал ее в наиболее общем
виде и представил ее строгое математическое доказательство.
Центральная предельная теорема и закон больших чисел — это
два столпа теории вероятностей. Закон больших чисел утверждает,
1
что
å
kn=
n
стремится к бесконечности, а центральная предельная теорема по
стремится к
X
k
1
с вероятностью единица, когда
EX()
n
-
зволяет задать вероятностные границы погрешности для отклонений величины
1
å
kn=
n
от
X
k
1
при конечных, но большихn.
EX()
Мы вернемся к этим вопросам в главе 5, посвященной компьютерному моделированию случайных экспериментов, где обсуждается статистическое понятие доверительного интервала.
Пример 3.6. В экспедицию продолжительностью полтора года
нужно взять несколько запасных экземпляров определенного
фильтра. Фильтр будет использоваться ежедневно. Срок службы
фильтра имеет непрерывное распределение вероятности с матема
тическим ожиданием в одну неделю и стандартным отклонением
в полнедели. При выходе из строя фильтр немедленно заменяется
новым. Сколько фильтров нужно взять с собой в экспедицию,
чтобы гарантировать отсутствие недостатка в таких фильтрах с ве
роятностью не меньше 99%?
Решение. Предположим, что в экспедицию длительностью
78 недель было взятоnфильтров. Вероятность того, что дефицита
фильтров не будет, равна
PX X
()
1
службыi-го фильтра (в неделях). Предполагается, что сроки служ
бы фильтров не зависят друг от друга. Тогда, согласно централь
,где
78++ >L
n
X
i
—срок
-
-
ной предельной теореме,
PX X PX X
()()
++ > =- ++ £ =
LL
11
XXn
æ
1
ç
P
1
=-
ç
è
78 1 78
nn
++ -
L
05
ö
n
-
n
n
,
78
÷
1
n
»-
÷
ø
£
ö
æ
n
78
÷
ç
ç
è
.F
÷
n05
05,,
ø
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]