Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение
61
Математическое ожидание — информативный статистический по
казатель в ситуации, когда случайный эксперимент можно повто
рить бесконечно много раз. В других ситуациях полагаться только
на математическое ожидание может оказаться опасным. Пред
ставьте себе человека, не умеющего плавать, который пошел ку
паться в озере глубиной в среднем 30 сантиметров. Мера изменчи
вости случайной величиныXи ее отклонения от математического
ожидания
m=EX()
называется дисперсией и задается формулой
2
var( ) [( ) ]XEX=-m
.
В качестве примера рассмотрим опять случайную величинуX,
1
для которой
PX()==3
и
PX(.)=- =06
6
ние дляXравно
EX[( ) ] ( ) ( . ) . .- =-´+--´=m
, а дисперсия
m=0
22 2
30
Вы можете спросить, почему не
1
6
5
. Математическое ожида-
6
06 0
EX(| | )-m
5
18
6
используется для
оценки разброса значенийX. Один из ответов состоит в том, что
эта мера не имеет таких хороших математических свойств, как
среднее квадратов отклонений; к тому же использование дисперсии вместо среднего значения абсолютной ошибки оправдано
свойствами нормального распределения и центральной предель
ной теоремой, о которых говорится в разделе 3.3.
Обозначение
собом
var X()
2
часто используется для
()X
s
можно вычислять как
.Другимспо
var X()
-
-
-
-
-
-
-
22
var( ) ( )XEX=-
Это можно увидеть, записав
()X -m
m
2
ввиде
.
22
2-+mm
XX
ипри
менив свойство линейности математического ожидания. Также
с помощью линейности и определения дисперсии вы можете лег
ко доказать, что
var( ) var( )aX b a X+=
2
для любых констант a и b.
По формуле подстановки дисперсию дискретной случайной
величиныXсо значениями
aa a
,,,K
можно вычислить так:
r12
-
-
62 Глава 2. Основы теории вероятностей
r
var( ) ( ) ( ) var( ) ( )XaPXa XaPXa
====-
å
j
1
=
2
-m m
jj
или
2
å
jj
1jr=
2
Дисперсия случайной величиныXизмеряется не в тех же еди
ницах (например, долларах или сантиметрах), что
мер, еслиXвыражается в долларах, величина
2
мерность (доллар)
. Поэтому часто используется стандартное
var X()
.Напри
EX()
имеет раз
отклонение, которое определено как квадратный корень из дис
персии. Стандартное отклонение случайной величиныXобозна
чается
Для иллюстрации, пусть
игральной кости за один бросок. Поскольку
и стандартное отклонениеXравны
s()X
:
s() var()XX=
X
.
— число очков, выпавших на
1635
2
, дисперсия
35
и
12
12
со-
EX() ,= 35
6
(,)jj-=
å
35
=
1
ответственно.
Пример 2.14. Джо и его друг каждый понедельник держали
пари, поднимется ли индекс Доу Джонса в конце недели или нет.
Оба ставили на кон по $10. Как-то Джо увидел, что его друг просто угадывает результат: чтобы сделать выбор, подбрасывает симметричную монетку. Тогда Джо предложил, что будет ставить на
кон $20 и держать пари вместе с братом (братом Джо). Друг согласился. Теперь они держат пари втроем, причем брат Джо каждую
неделю дает прогноз, противоположный прогнозу Джо. Если
в конце недели оказывается, что только один игрок предсказал
ситуацию правильно, этот игрок забирает все, что стояло на кону.
Если будет больше одного правильного прогноза, стоящее на кону
делится поровну между сделавшими правильный прогноз. Выгод
на ли эта игра для Джо и его брата?
Решение. Пусть случайная величинаX—совместныйвыиг
рыш Джо и его брата в конце недели. Либо Джо, либо его брат
дают правильный прогноз. Они выигрывают $30, если друг Джо не
угадал, в противном случае делят стоящее на кону с этим другом
пополам. Возможные значенияXсоставляют 30 и 15 долларов.
Эти значения имеют одинаковые вероятности, так как друг угады
вает, бросая монетку. Поэтому
EX() ,=´+´=30
1
2
15
1
2
22 5
доллара.
-
-
-
-
-
-
-
-
2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение
63
Ожидаемый доход Джо и брата составляет
дую неделю. Чтобы получить
1
900
2
s() , ,X ==56 25 7 5
Это дает
var( ) , , ,X =-=562 5 22 5 56 25
Так как
ного дохода
2
EX() ,
ss()()XX-=20
X -20
для Джо и брата также равно 7,5 доллара.
, сперва нужно вычислить
s()X
1
225
2
562 5=´+´=
2
(доллара)2.Поэтому
доллара.
, стандартное отклонение еженедель
EX(),-=20 2 5
(доллара)2.
за каж
Задача 2.31. Вы бросаете игральную кость. Если выпадает шес
терка, вы выигрываете $10. Если нет, вы бросаете кость еще раз.
Если во второй раз выпадает шестерка, вы выигрываете $5. Если
нет, вы не выигрываете ничего. Чему равны математическое ожидание и стандартное отклонение вашего выигрыша? (Ответ: $2,36
и $3,82.)
Задача 2.32. Вернитесь к задаче 2.28. Чему равны математическое ожидание и стандартное отклонение дляX? (Ответ: 4,472
и1,404.)
Задача 2.33. Вернитесь к задаче 2.30. Чему равны математическое ожидание и стандартное отклонение для суммы очков, выпавших на брошенных костях? (Ответ: 3,5 и 3,001.)
-
-
-
Задача 2.34. Инвестиция A либо приносит доход $2 000 с веро
ятностью 0,8, либо приводит к потере $3 000 с вероятностью 0,2.
Инвестиция B либо приносит доход $5 000 с вероятностью 0,2,
либо дает нулевой доход с вероятностью 0,8. Покажите, что чистая
прибыль от обеих инвестиций имеет одно и то же математическое
ожидание и одно и то же стандартное отклонение. (Ответ: матема
тическое ожидание равно $1 000, а стандартное отклонение равно
$2 000.)
Задача 2.35. На четыре университетских курса записались 15,
20, 75 и 125 студентов. Никакой студент не записался на более чем
один курс. Пусть случайная величинаX— количество студентов
в случайно выбранном классе, аY— количество студентов в клас
се случайно выбранного студента. Можете ли вы, не производя
подсчетов, объяснить, почему
EY()
больше
? Чему равны
EX()
EX()
-
-
-
64
Глава 2. Основы теории вероятностей
и
? (Ответ: 58,750 и 93,085.) Чему равны коэффициенты дис
EY()
персии дляXиY?
1
(Ответ: 0,764 и 0,415.)
-
Задача 2.36. Вы бросаете дротики в круглую мишень, на ко
торой нарисованы два концентрических круга с радиусами 1 см
и 3 см. Сама мишень имеет радиус 5 см. Вы получите 15 очков,
если попадете в мишень внутри меньшего круга, 8 очков, если
попадете внутрь кольца, и 5 очков, если попадете в мишень вне
кольца. Вероятность вообще попасть в мишень равна 0,75. Если
дротик попадает в мишень, то точка попадания — это случайная
точка на мишени. Пусть случайная величинаX— число очков,
полученных за один бросок. Чему равно математическое ожида
ниеX? (Ответ: 4,77.)
Задача 2.37. Перетасуйте стандартную колоду из 52 карт, среди
которых есть четыре туза. Затем переворачивайте карту за картой
сверху колоды до появления первого туза. Каково математическое
ожидание числа карт, которые нужно перевернуть? (Ответ: 10,6.)
Задача 2.38. В урне лежат 10 белых шаров и 2 красных. Вы
случайным образом берете из урныmшаров, где числоmвы можете выбрать сами. Если каждый взятый шар окажется белым, вы
выиграете $m, в противном случае вы не выигрываете ничего. При
каком значенииmматематическое ожидание вашего выигрыша
максимально? (Ответ:
m = 4
.)
Задача 2.39. В ящике лежат пять различных пар носков. Носки
не сложены парами. Вы случайным образом берете носки из ящи
ка по одному. Чему равны математическое ожидание и стандарт
ное отклонение для количества носков, которые нужно взять из
ящика, чтобы из них можно было составить пару? (Ответ: 4,06
и1,19.)
-
-
-
-
Задача 2.40. В курятнике мирно сидят кружком 100 куриц.
Внезапно каждая курица случайным образом клюет свою соседку
либо слева, либо справа. Каково математическое ожидание коли
чества неклюнутых куриц? (Ответ: 25.)
1
Коэффициент дисперсии положительной случайной величиныVпо
определению равен
s()()V
EV
.
-
2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение
65
Задача 2.41. Чему равно математическое ожидание числа раз
личных значений очков, выпавших при броске шести симметрич
ных игральных костей? (Ответ: 3,991.)
Задача 2.42. В лотерее 6/42 игрок должен угадать шесть раз
личных чисел из набора
. Предположим, что игроки запол
142,,K
нили 5 миллионов лотерейных билетов случайным образом. Чему
равно математическое ожидание количества различных шести
значных комбинаций на этих билетах? (Ответ: 3 223 398.)
Задача 2.43. Чему равно математическое ожидание самого
большого числа, выпавшего при розыгрыше лотереи 6/49? (Ответ:
42,857.)
Задача 2.44. Пусть случайная величинаXимеет так называе-
мое распределение Бернулли (названное в честь швейцарского математика Якоба Бернулли (1654—1705), который первым придумал
и доказал частный случай закона больших чисел):
PX p PX p() () .== ==-101и
Докажите, что
EX p()=
и
s() ( )Xpp=-1
.
Задача 2.45. Случайная величинаXс функцией распределения
вероятности
k
-
PX k p p k
()() ,,==- =
1
112
для K
.
-
-
-
-
-
имеет так называемое геометрическое распределение вероятностей1.
Используя свойства геометрической прогрессии из раздела 1.2,
докажите, что
EXp()=
1
и
s()X
1
.
p=-
1
p
Задача 2.46. Чему равно математическое ожидание количества
коробок, которые нужно купить, чтобы собрать полный набор кар
точек в задаче собирателя купонов из примера 2.13? (Ответ: 224,96.)
Задача 2.47. Чему равно математическое ожидание числа брос
ков симметричной игральной кости, нужного для того, чтобы все
очки на ее гранях выпали хотя бы по одному разу? (Ответ: 14,7.)
1
Это распределение вероятности числа испытаний до первого успеха в по
следовательности независимых испытаний, каждое из которых имеет одну и ту
же вероятносьть успехаp. Это очень полезная вероятностная модель!
-
-
-
66 Глава 2. Основы теории вероятностей
Задача 2.48. Вы играете в игру, в которой вы можете выбирать
случайное число от 1 до 25 так часто, как пожелаете. Каждый вы
бор стоит вам один доллар. Если вы решите остановиться, вы по
лучите сумму в долларах, равную последнему выбранному вами
числу. Какую стратегию вам нужно использовать, чтобы матема
тическое ожидание вашего выигрыша было максимальным? (От
вет: остановитесь, если выбранное вами число
³19
.)
Задача 2.49. Вы — участник игрового шоу, в котором вы може
те сделать ставку на любое число от 1 до 100. Затем случайным об
разом выбирается число от 1 до 100. Если число, на которое вы
поставили, меньше этого случайно выбранного числа, вы выиграе
те сумму в долларах, равную квадрату вашего числа. В противном
случае вы не выиграете ничего. На какое число вам нужно поста
вить, чтобы математическое ожидание вашего выигрыша было
максимальным? (Ответ: 67.)
2.7. Независимые случайные величины
и закон квадратного корня
-
-
-
-
-
-
-
-
Как вы уже видели в разделе 2.6, соотношение
EX Y EX EY()()()+= +
выполняется для любых двух случайных величинXиY. Аналогичное соотношение для дисперсий в общем
случае не выполняется. Вы можете это увидеть на примере случая,
когда
PX PX()( )== =-=11
и
YX=-
. В этом примере
1
2
var X Y()+=0иvar X var Y() ()==1
что
var X Y()+
не равен
var( ) var( )XY+
(проверьте это!). Причина того,
, состоит в том, чтоXиYне
независимы друг от друга. Две случайные величиныXиYназыва
ются независимыми друг от друга, если
PX x Y y PX xPY y()()()££=£ £и
для всех x и y.
Для дискретных случайных величинXиYсуществует аль
тернативное определение независимости:
=
PX xPY y()()==
для всех значенийxиy. Тогда выполняется
PX x Y y()==и
следующее:
var( ) var( ) var( )aX bY a X b Y+= +
22
для независимых X и Y.
-
-
=
2.7. Независимые случайные величины и закон квадратного корня
67
гдеaиb— константы. Это верно для случайных величин любого
типа. Для частного случая дискретных случайных величинXиYдо
казательство этого факта приводится в приложении в конце главы.
Более обобщенно, для независимых
var( ) var( ) var( )cX cXcX cX
++ = ++LL
11 121
nn n n
XX
,,K
и констант
n1
2
cc
,,K
.
,
n1
В качестве иллюстрации, чему равно стандартное отклонение
для суммы очков, выпавших на двух костях? ПустьX—числооч
ков, выпавших на первой кости, аY— число очков, выпавших на
второй кости. Тогда сумма очков, выпавших на двух костях, это
. Как мы вычислили раньше,
XY+
var( ) var( )XY==
35
. Случайные
12
величины
var( ) var( ) var( )XY X Y+= + =
и
X
независятдруготдруга,поэтому
Y
35
. Стандартное отклонение для сум-
6
мы очков на двух костях равно
s() ,XY+= »
35
2415
очка.
6
Закон квадратного корня для стандартного
отклонения
-
1
-
Пусть
XX
,,K
вым стандартным отклонениемs. Тогда, поскольку
=
var( )Xn
å
1
kn=
— независимые случайные величины с одинако-
n1
n
æ
2
и
=
s
k
11
ç
var var( )
ç
n
è
ö
÷
X
åå
k
÷
1
k
==
ø
n
==
2
n
k
X
1
k
æ
ç
var X
å
ç
1
kn=
è
2
s
,выполу
n
ö
÷
k
÷
ø
чите
n
æ
ö
ç
sss
÷
XnnX
åå
k
ç
÷
==
k
11
è
ø
и
=
n
æ
1
ç
ç
è
ö
s
÷
.
=
k
÷
k
n
ø
Это явление носит название «закон квадратного корня»(или
-закон) для стандартного отклонения. Это чрезвычайно важный
n
результат в теории вероятностей и статистике. На рис. 2 показан
1
В общем случае говорят, что случайные величины
симы, если
,,,K
xx x
2
1
PX x X x PX x PX x
(,, )(),,( )
££=£ £KK
11 11
.
n
nn nn
,,K
XX
1
незави
n
для всех
=
-
-
68
Глава 2. Основы теории вероятностей
Рис. 2. Иллюстрация к закону квадратного корня
результат эксперимента, иллюстрирующий действие
Для каждого из значений
ются случайные величины
, 4, 16 и 64 компьютерно генериру-
n =1
, имеющие одинаковое вероятност-
X
k
-закона.
n
ное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным
отклонением 1 (такое распределение называется стандартным
нормальным распределением, мы будем рассматривать его в разделе 3.3) и вычисляется так называемое «среднее по выборке»
(или «эмпирическое среднее»)
1
å
n
. Процесс повторяется
X
k
1
kn=
100 раз. На рис. 2 показаны интервалы, в которые попадает значе
ние эмпирического среднего. Можно увидеть, что диапазон значе
ний, внутрь которого попадают все компьютерно полученные
средние, действительно уменьшается примерно вдвое, когда раз
мер выборки возрастает в 4 раза.
Закон квадратного корня иногда называют уравнением Муавра
в честь Абрахама де Муавра (1667—1754)
1
.ФормулаМуаврапо
влияла на методы, используемые для проверки золотых монет, от
1
Математик французского происхождения Абрахам де Муавр внес большой
вклад в теорию вероятностей восемнадцатого века и прожил большую часть жизни
в Англии. Будучи протестантом, он вынужден был уехать из Франции в 1688 году,
чтобы избежать религиозного преследования. Де Муавр был хорошим другом Исаака
Ньютона и зарабатывал на жизнь тем, что подсчитывал шансы для азартных игроков
и страховщиков и давал частные уроки.
-
-
-
-
-
2.7. Независимые случайные величины и закон квадратного корня
69
чеканенных на Лондонском монетном дворе. Стандартный вес зо
лота, содержащегося в одной монете, был равен 128 гран (что
равно 0,0648 грамм), и отклонение от этого стандарта допускалось
1
не более чем на
величины, или 0,32 грана. Периодически из
400
отчеканенных монет выбирали 100 и сравнивали их общий вес со
стандартным весом 100 монет. Золото, которое шло на чеканку
монет, было собственностью короля, и он посылал инспекторов,
чтобы предотвратить возможные злоупотребления. Цепные псы
короля традиционно позволяли отклонение в
100 032 32´=.
гран
для веса 100 проверяемых монет. Сразу после публикации де Му
авром формулы квадратного корня, позволенное отклонение
в весе 100 монет было изменено на
100 0 32 3 2´=,,
грана; увы, не
знание в прошлом закона квадратного корня стоило английской
монархии целое состояние в золоте.
Закон квадратного корня имеет много приложений, например,
дает объяснение того, почему размер города или госпиталя важен
для измерения криминальной статистики или статистики смертельных исходов после хирургических операций. Например, более
вероятно, что небольшие госпитали, а не крупные, попадут в верх
или низ ранжированного списка. Что не удивительно, если вы
примете во внимание, что при броске симметричной монеты вероятность того, что в более 70% или в менее 30% выпадет орел,
гораздо выше для 10 бросков монеты, чем для 100. Чем меньше
число испытаний, тем больше флуктуация шансов!
-
-
-
Пример 2.15. Игра «Выше-ниже» раньше была очень популяр
на, ее проводили американские школы на своих днях открытых
дверей, чтобы пополнить казну. В игре две игральные кости бро
сают на доску, поделенную на три поля: «ниже семерки», «семер
ка» и «выше семерки». До броска игроки ставят фишки на одно
или более полей. Фишку можно поставить на любое поле, запла
тив 1 доллар. Для каждой фишки, поставленной на поле «ниже»,
выплата игроку составит 2 доллара, если сумма очков, выпавших
на костях, окажется меньше 7. Столько же заплатят за каждую
фишку на поле «выше», если сумма выпавших очков окажется бо
льше 7. Если сумма очков окажется равна 7, за каждую фишку,
стоящуюнаполе«семерка»,будетвыплачено5долларов.Попу
лярная стратегия игры состоит в том, чтобы поставить по фишке
-
-
-
-
-
-
70
Глава 2. Основы теории вероятностей
на все три поля. Предположим, что по этой стратегии сыграно 500
партий игры. В каждой партии участвовал только один игрок.
Чему равно математическое ожидание и стандартное отклонение
для суммы, которая в результате окажется в школьной казне?
Решение. Пусть случайная величинаXобозначает сумму денег,
которые получит школа за одну партию игры. Случайная величина
принимает два значения $1 и одно значение-$2. Доход школы от
X
игры равен 3 5 = 2, если сумма очков окажется равна 7, и
32 1-=
в остальных случаях. Использовав результат из примера 2.10, вы по
лучите
Вычислим
ку
EX()24
PX()=- =2
36
EX() .=- ´ + ´ =2
s()X
6
=´ +´ =
36
6
и
PX()==- =11
6
36
по формуле
30363
1
2
, получается
63630
.Поэтому
36
30361
1
2
222
() ( )(())XEX EX=-
s
2
()X =-
s
.Посколь-
321
æ
ç
2
è
2
5
ö
=
÷
4
ø
ипоэтому
s() .X =
Суммарный доход школы составит
— доход школы заi-ю партию. Каждая из случайных величин
X
i
XX
,,K
1500
имеет такое же распределение, как иX, и все эти ве
1
5
2
++L
XX
1500
долларов, где
личины не зависят друг от друга. По свойству линейности матема
тического ожидания,
EX X()
1
500
500
1
2
250++ = ´=L
долларов.
Поn-закону для стандартного отклонения,
s()XX
1
500
1
5500++ = ´L
2
= 25 долларов.
Задача 2.50. Симметричную кость бросают 100 раз. Чему рав
ны математическое ожидание и стандартное отклонение для сред
него числа очков, выпавших на кости за один бросок? (Ответ: 3,5
и0,171.)
Задача 2.51. В китайской игре «Ман-Кун» используются шесть
игральных костей особого вида. У каждой такой кости пять граней
-
,
-
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]