Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

2.4. Байесовская вероятность

никакого отношения к делу». Это был ловкий трюк, чтобы одура чить присяжных, не разбирающихся в математике. Адвокат защиты запутал присяжных, задав вопрос: какова вероятность того, что мужчина убьет свою партнершу, учитывая, что ранее он ее избивал? Эта условная вероятность действительно составляет около 0,04%, но это неправильная статистика. Она игнорирует ключевой факт, состоящий в том, что Николь Браун действительно была убита. На самом деле вопрос заключается в следующем: какова вероятность того, что мужчина убил свою жену, учитывая, что ранее он избивал ее и что она была убита? Эта условная вероятность оказывается очень далекой от 0,04%. Ее приближенное значение можно най ти, воспользовавшись правилом Байеса. Вместо этого давайте ис пользуем подход ожидаемых частот. Представьте себе выборку из 100 000 женщин, подвергшихся насилию. В соответствии с оценкой Дершовица в 1 из 200 можно ожидать, что около 40 из этих женщин будут убиты своими агрессивными партнерами в течение данного года. Примем за грубую оценку, что еще 5 из 10 000 избитых женщин будут убиты кем-то другим, исходя из того, что уровень убийств среди всех женщин в Соединенных Штатах на момент суда составлял примерно 1 из 2000 в год. Тогда условная вероятность того, что мужчина убил свою жену, учитывая, что он ранее избивал ее и что она была убита, может быть аппроксимирована оценкой

= ,

40 589+

или 89%. Эта вероятность гораздо больше вероятности в 0,04%, данной адвокатом подсудимого. Примерная вероятность 89% по казывает, что тот факт, что О.Дж. Симпсон в прошлом подвергал физическому насилию свою жену, без сомнения, имеет отношение к делу. Не следует путать эту вероятность с вероятностью того, что О.Дж. Симпсон действительно является убийцей. Эту вероятность определяют много других факторов.

Сравнение байесовской и классической статистики

Байесовская вероятность лежит в основе байесовской статистики. Эта область статистики очень отличается от области классической статистики, используемой для проверки гипотез. Представьте

Глава 2. Основы теории вероятностей

себе, что проводятся испытания нового лекарства на данном ко личестве пациентов и что некоторым больным оно кажется эф фективным. Вы хотите знать, значит ли это, что лекарство работа ет. В классической статистике вы бы начали с предположения, что полученный результат испытания — простая случайность (это на зывается «нулевая гипотеза»). Затем вы проверили бы нулевую ги потезу, вычислив так называемоеp-значение, — это вероятность получить данные, которые как минимум так же хороши, как дан ные, полученные в вашем эксперименте, если нулевая гипотеза верна. Еслиp-значение оказалось ниже некоторого порогового значения (в качестве такого порогового значения часто использу ется значение 0,05), следует отбросить нулевую гипотезу и сделать вывод, что лекарство эффективно (говорят, что результаты экспе римента «статистически значимы»). Однакоp-значение ничего не говорит о том, какова вероятность того, что новое лекарство неэффективно. А это именно та вероятность, которую вы хотите знать. Научные исследования показали, чтоp-значение может давать очень искаженное представление об искомой вероятности. Вероятность того, что новое лекарство неэффективно, может быть значительно больше, чем найденное вамиp-значение. Как следствие, вы должны быть осторожны с выводами, еслиp-значение оказалось чуть меньше 0,05; тест

p < 005,

— не лакмусовая бумага. Скорее, он был задуман как сигнал о том, что ситуацию нужно исследовать дальше. В случае, когдаp-значение очень мало, а экс перимент правильно поставлен, дальнейшие исследования не нужны. В 2012 году физики объявили об «открытии» бозона Хиг гса после того, как проведенный ими статистический анализ дан ных показал, что они достигли уровня значимости примерно один на 3,5 миллиона для вероятности того, что имеющиеся у них резу льтаты экспериментов могли быть получены, если бы бозона Хиг гса не существовало. Еще раз подчеркнем для ясности, что это

-значение не является вероятностью того, что бозона Хиггса не

существует. Другое чрезвычайно малоеp-значение появилось в широко известном исследовании 1954 года вакцины полиомие лита, которую создал известный американский вирусолог Джонас Солк. В этом статистическом исследовании проводилось двойное слепое тестирование двух групп детей по 200 000 в каждой. В группе, получившей плацебо, заболели полиомиелитом 142 ре бенка, а в группе, получившей вакцину, заболели 42. В этом ис

2.5. Понятие случайной величины

следованииp-значение оказалось порядка

, что сняло все со

мнения в эффективности вакцины.

Байесовская статистика позволяет вам оценить вероятность то

го, что лекарство работает. В оценке используется общая формула:

pdata p

(|)()

pdata

(| )

pdata

()

Что означают элементы этой формулы? Данная формула зада

ет распределение апостериорной вероятности

pdata(| )q

неизвест ного параметраq. Например, вы можете представлять себеqкак процент людей, для которых новое лекарство работает. Чтобы оценить апостериорное распределение, вам нужны данные, полу ченные из тестовых экспериментов. До того, как проводить тесты, вам следует задать распределение априорной вероятности

p()q

параметраq. Эти исходные (субъективные) априорные вероятности представляют неопределенность ваших знаний об истинном значенииq. Моделируется в виде случайной величины ваше знание о параметре, а не сам параметр. Использование априорных вероятностей отличает байесовскую статистику от классической статистики. Так называемое правдоподобие

pdata(|)q

получить наблюдаемые данные при заданном значенииq,а вычисляется усреднением ностей

. Это в общих чертах описывает, как работает байесов-

p()q

pdata(|)q

с помощью априорных вероят-

—этовероятность

pdata()

ская статистика. Байесовский подход все больше и больше испо льзуется на практике. В наше время байесовские методы широко применяются для нахождения ответов на важные вопросы в самых разных областях, таких, как астрофизика, актуарные науки, ней робиология, прогноз погоды, фильтрация спама, экспертиза тек стов и уголовное правосудие.

2.5. Понятие случайной величины

В случайных экспериментах часто не важно, какой именно полу чен результат, а важно некоторое числовое значение, связанное с этим результатом. Любая функция, которая ставит в соответ ствие каждому исходу из пространства элементарных исходов ве щественное число, называется случайной величиной.

Глава 2. Основы теории вероятностей

Понятие случайной величины всегда трудно для понимания новичка. Случайная величина — это не переменная в традицион ном смысле слова (random variable буквально переводится как «случайная переменная». — Прим. перев.), в действительности тер минология здесь сбивает с толку. С интуитивной точки зрения, случайная величина — это функция, которая принимает свои зна чения в случайном порядке. Формально случайная величина — это функция, которая сопоставляет числовое значение каждому элементу пространства элементарных исходов. Наблюдаемое зна чение, или реализация, случайной величины полностью определя ется полученными результатами случайного эксперимента и, как следствие, всем значениям случайной величины можно присвоить вероятности. Случайная величина принимает свое значение толь ко после того, как случайный эксперимент был проведен. До того как вы начнете проводить случайный эксперимент, вы можете говорить только о вероятности того, что случайная величина примет некоторое значение. Обычно для обозначения случайных величин используют прописные буквы, такие какX,YиZ, а для обозначения принимаемых ими числовых значений — строчные, такие какx,yиz.

Существуют дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина может принимать только конечное или счетное количество значений, в то время как непрерывная случайная величина имеет континуум возможных значе ний (можно представить его себе как отрезок). Число голов, забитых в футбольном матче, — это дискретная случайная ве личина, а время до момента, когда радиоактивный материал испустит частицу, — непрерывная. В этой книге будут рас сматриваться в основном дискретные случайные величины, но в разделе 3.3 мы будем иметь дело с непрерывными распре делениями.

Предположим, что

aa a

,,,K

скретной случайной величиныX. Обозначение

— все возможные значения ди

r12

PX a

()=

исполь

зуется для вероятности того, что случайная величинаXпримет значение

()==

PX a

. Эти вероятности удовлетворяют соотношению

и составляют так называемую функцию распре

деления вероятности случайной величиныX.

2.5. Понятие случайной величины

Пример 2.10. Брошены две игральных кости. Пусть случайная величинаX— это сумма выпавших очков. Какова функция рас пределения вероятности дляX?

Решение. Как и в примере 2.1, здесь полезно представить себе синюю и красную кости. Пространство элементарных исходов слу чайного эксперимента состоит из 36 исходов

— число очков, выпавшее на синей кости, аj— число очков, вы

(, )ij

для

ij,,,= 16K

,где

павшее на красной. Каждый исход одинаково вероятен, и мы ста

вим ему в соответствие вероятность

. Случайная величинаXпри

36 нимает значение римента

. Все возможные значенияX—это

(, )ij

ти вероятность

, когда реализовался исход случайного экспе

ij+

212,,K

PX k()=

, нужно знать все исходы

(, )ij

.Чтобынай

,прикоторых случайная величина принимает значениеk. Например,Xпринимает значение 7 при исходах

(,)16,(,)25,(,)34,(,)43,(,)52,и(,)61

из этих шести исходов имеет вероятность

.Каждый

.Поэтому

PX()==7

. Рассуждая аналогично, докажите, что

()/ ,

-££

PX j

()

136 2 7

ì í

()/

-££

13 36 8 1

для

для 2.

Задача 2.28. Пусть случайная величинаX— это наибольшее число очков, выпавшее при броске двух симметричных костей. Какова функция распределения вероятности PX j j()()/== -2136

при

j =16,,K

? (Ответ:

Задача 2.29. Каждую неделю цена некоторой акции либо уве личивается на 5%, либо уменьшается на 4% с одинаковыми веро ятностями независимо от того, что происходило раньше. В насто ящий момент цена акции равна $100. Какова функция распределения вероятности для цены акции спустя две недели? (Ответ: 0,25, 0,50, 0,25 для значений $110,25, $100,80, $92,16.)

Задача 2.30. Бросают две симметричных монетки. Затем броса ют столько костей, сколько выпало орлов при броске монеток. Какова функция распределения вероятности для суммы очков,

выпавших на брошенных костях? (Ответ:

1412

,,,,,KK

14451441144

Глава 2. Основы теории вероятностей

2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение

Пусть

,,,K

aa a

— все возможные значения дискретной слу

r12

чайной величиныX. Математическое ожидание (или среднее, или среднее значение) (иногда еще используется термин «ожидае мое среднее». — Прим. перев.) случайной величиныXзадается формулой

EX aPXa aPXa aPXa

() () ( ) ()=´=+´=++´=

В словесной формулировке

EX()

— это взвешенное среднее всех возможных значений, принимаемых случайной величинойX, где каждое значение берется с весом, равным вероятности того, чтоXпримет это значение

. Термин «среднее значение» может ввести в заблуждение. Не следует путать его с понятием «наиболее вероятное значение». Рассмотрим следующую простую азартную игру. Бросается симметричная кость. Если выпадет 6, вам заплатят $3, а если нет, вы должны будете заплатить 60 центов. Пусть случайная величинаX— размер вашего выигрыша (в долларах). Тог-

даXимеет возможные значения 3 и

с вероятностями

-06,

соответственно. Наиболее вероятное значениеXздесь

-06,

,ама-

тематическое ожидание равно

EX() , .=´- ´ =3

Другой пример: пусть случайная величинаY— число очков, вы

павших при броске одной симметричной игральной кости. Тогда

EY() ,.=´+´+´+´+´+´=1

С помощью этих двух примеров можно объяснить, почему ис пользуется термин «среднее значение» вместо «ожидаемое значе ние». Предположим, симметричную кость бросают раз за разом.

5 6

Идея среднего значения возникла в переписке Паскаля и Ферма в 1654 году, в дальнейшем ее развил голландский астроном Кристиан Гюй генс (1625—1695) в знаменитой книге Ratiociniis de Ludo Aleae («О расчетах в азартных играх»), написанной в 1657 году.

2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение

Неудивительно, что доля числа бросков с исходомjстремится к

для всех

j =12 6,, ,K

, если число бросков становится все больше и больше. Поэтому если число бросков станет очень велико, сред нее количество очков, полученных за один бросок, будет стре

миться к

12 6 35(),++ + =L

, то есть к математическому ожиданию

6 числа выпавших очков для одной кости. В азартной игре ваш сред ний выигрыш будет стремиться к 0, если количество партий игры будет расти. Этот факт известен как одна из форм закона больших чисел. Этот закон имеет строгое математическое доказательство, вы веденное из аксиом и определений теории вероятностей.

Во многих практических задачах удобно интерпретировать ма тематическое ожидание случайной величины как предел среднего значения. В качестве иллюстрации рассмотрим пример, который берет свое начало во время Второй мировой войны, когда необходимо было проверить очень большое число солдат на наличие у них сифилиса.

Пример 2.11. Необходимо сделать анализ крови на наличие некоторой болезни очень большому числу людей. Вероятность того, что случайно выбранный человек окажется болен этой болезнью, равна

p = 0 005,

. Чтобы уменьшить расходы на обследование, было решено разбивать большие группы людей на малые группы по человек каждая, после чего кровь, взятую у этихrчеловек, объ единить в один образец и проверить с помощью одного анализа. Анализ этого объединенного образца крови будет отрицательным (то есть болезни нет ни у кого из исследуемых), только если ана лизы всех индивидуальных образцов крови людей из малой груп пы оказались бы отрицательными. Если анализ покажет положи тельный результат, всеrобразцов крови, взятых в данной группе, нужно будет проверить еще раз, сделав индивидуальный анализ каждого образца. Каково математическое ожидание числа анали зов, которые нужно будет сделать для группы изrчеловек?

Решение. Пусть случайная величинаX— число анализов, ко торые необходимо сделать для группы изrчеловек. ТогдаXимеет два возможных значения 1 и

. Вероятность того, чтоXпримет

r +1

значение 1, равна вероятности того, что анализ каждого индиви дуального образца крови окажется отрицательным, эта вероят

1 6

Глава 2. Основы теории вероятностей

ность равна

(),==1 0 995иPX r

()() ()()11 11-´-´´- =-pp pp

(),=+ =-1 1 0 995

EX r

() , ( ) ( , ).=´ + + ´ -1 0 995 1 1 0 995

.Такимобразом,

. Из чего следует

Другими словами, если сливать образцы кровиrиндивидуумов в один, в среднем понадобится

1 0 995 1 1 0 995

(, ()(, ))´++´-

анализов на одного человека, если проверяется достаточно много малых групп. Это среднее оказывается минимальным при

r = 15

и равно 0,1391 (минимальное значение случайной величины). То есть объединение образцов крови 15 человек в один образец позволяет сэкономить примерно 86% от количества необходимых анализов.

Пример 2.12. Вы играете в следующую игру. Бросается симметричная монетка. Если выпал орел, монетку бросают снова, иначе монетку бросают снова два раза подряд. Вы выигрываете восемь долларов, если орел не выпадет ни разу, но должны заплатить один доллар каждый раз, когда выпадает орел. Является ли это честной игрой?

Решение. Очевидно, что пространство элементарных исходов здесь

{,, , , , }ОО ОР РОО РОР РРО РРР

, где О обозначает орла, а Р решку. Определим случайную величинуXкак ваш общий выигрыш в этой игре, тогдаXпринимает значение 8 для исхода РРР, значе ние-1для каждого из исходов ОР, РОР и РРО, и значение-2для каждого из исходов ОО и РОО. Каждому из исходов ОО и ОР со

ответствует вероятность

12121

´=

, а каждому их оставшихся четы

рех исходов соответствует вероятность

1212121

´´ =

.Такимобра

зом,

PX PX PX(),( ) ,( )== =-=++ =-=+8

1 8

14181

141

Это дает

EX() .=´-´-´ =-8

381

Игра нечестная. Играя достаточно долго, вы будете терять чет

верть доллара за каждую игру.

2.6. Математическое ожидание и стандартное отклонение

Линейность математического ожидания и формула подстановки

Очень полезное свойство математического ожидания — это его ли нейность. Линейность означает, что

EaX bY aEX bEY()()()+= +

для любых двух случайных величинXиYи любых константaиb, не важно, существует ли зависимость междуXиY.Этовернодля случайных величин всех типов, при условии что математические ожидания

EX()иEY()

хорошо определены. Доказательство свой ства линейности для случая дискретных случайных величин, каж дая из которых принимает конечное число возможных значений, приведено в приложении к этой главе. В более общем случае для любых случайных величин

EcX cX cEX cEX

()()()

++ = ++LL

11 1 1

,,K

nn n n

и констант

,,K

Вторая важная формула — это формула подстановки,доказательство которой также находится в приложении. Пусть некоторая известная нам функция, например,

gx x() sin()=

чайной величиной. Если принимающая значения

.ЕслиX— случайная величина, то и

— дискретная случайная величина,

, из формулы подстановки следу

,,K

ет, что математическое ожидание для функции

gx x()=

gX()

можно вычис

gX()

будет слу-

gx()

или

—

лить по интуитивной формуле (которую часто называют законом

бессознательного статистика):

Egx ga PX a

[()] ( )( )==

=å1

То есть вам не нужно знать функцию распределения вероятности случайной величины

, чтобы найти ее математическое ожида

gX() ние. Это очень полезный результат. Частный случай формулы подстановки — это

EaX b aEX b()()+= +

для любых констант a и b.

Во многих случаях математическое ожидание случайной вели

чины можно вычислить, представив случайную величину в виде

Глава 2. Основы теории вероятностей

суммы индикаторных случайных величин — случайных величин, при нимающих только значения 0 и 1. Покажем, как работает этот мощный прием, на примере знаменитой задачи собирателя купонов.

Пример 2.13. В каждой коробке нового сорта хлопьев для зав трака находится бейсбольная карточка. Всего таких различных карточек 50, и каждая из них может оказаться в коробке с одина ковой вероятностью. Чему равно математическое ожидание коли чества карточек, которых у вас не будет, после того, как вы купи ли и открыли 100 таких коробок?

Решение. Пусть случайная величина

— число различных

карточек, которых у вас нет после покупки 100 коробок. Довольно сложно вычислить стиX. Но при этом очень легко найти записать

XI I I=+++

12 50

и I

= 0, если карточка у вас есть. По свойству линейности мате-

в виде суммы индикаторных величин

матического ожидания,

Величины

()

что в коробке нетk-й карточки, равна

через функцию распределения вероятно

EX()

, прменив такой трюк:

EX()

,где

,еслиуваснетk-й карточки,

Ik=1

EX EI

() ( )=

=å1

легко найти. Для любогоkвероятность того,

,поэтому

100

PIk()==

ç è

.Таккак

÷ ø

EI PI PI PI

() () ()(),=´ = +´ = = =1100 1

kk k k

100

вы получите

EIk()=

дание количества отсутствующих карточек равно

100

÷ ø

= 6,631.

ç è

для всехk. Математическое ожи

÷ ø

=å1

()

Задача собирателя купонов из примера 2.13 — это приложение

модели шаров и ящиков:каждыйиз

b =100

бок) случайным образом помещается в один из

шаров (купленных коро

n = 50

(бейсбольных карточек).

=50Ї

ящиков

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]