Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
3.4. Центральная предельная теорема и нормальное распределение
101
Требуется, чтобы
178 05 099-- >F(( ) / ( , )) ,nn
,поэтому
вам нужно найти наименьшее значениеn,длякоторого
F(( ) / ( , )) ,78 05 001-£nn
x =-2 326,
(так называемый 1% процентиль
. Решением уравнения
1
F() ,x = 001
). Затем вы решаете
является
уравнение
78
-=-z
2 326
,.
z,
Его решение
z = 88 97,
05
. То есть нужно взять 89 экземпляров фильтра.
Статистическое приложение
Центральная предельная теорема также применима к следующей
ситуации, в которой есть слабо зависимые случайные величины.
Предположим, чтоrразличных чисел последовательно выбираются из набора чисел от 1 доs, выборка происходит по одному
и случайным образом. Пусть случайная величина
-е выбранное число. Из соображений симметрии можно сказать,
i
что все такие
имеют одинаковое распределение вероятностей,
X
i
но они не являются независимыми. Еслиsвелико, аrсильно
меньшеs, зависимость между величинами
но доказать, что
ние
N(, )ms
2
с
++L
XX
1
ms=+ = -+
rs rs r s() ()().и
2
имеет приблизительно распределе-
r1
1
2
1
12
X
i
представляет
X
i
слаба. Тогда мож-
1
Этот результат можно использовать для опровержения дейст
венности широко рекламируемой лотерейной системы, которая,
как утверждается, повышает шансы на выигрыш в лотерее. На
пример, возьмем лотерею 6/49, в которой шесть различных номе
ров случайным образом выбираются из номеров от 1 до 49. Лоте
рейная система основана на свойстве колоколообразной кривой
и морочит игрокам головы, потому что, согласно ей, для выигры
ша нужно выбрать такие шесть различных номеров, чтобы их
сумма оказалась между 117 и 183. Если в рассмотренной выше
вероятностной модели взять
1
Для любого
распределения определяется как единственное решение уравнения
F()xp=
. Например,
01<<p 100p
z
0025
r = 6иs = 49
%-й процентиль
и
1 960,,=-
z
0975
,тополучится
стандартного нормального
z
p
.
1 960,,=
m=150
-
-
-
-
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
102
Рис. 6. Гистограмма вероятностей при
и
s=32 8.
чений в интервале от
. Нормальная кривая содержит примерно 68% своих зна-
ms-
до
ms+
r = 6иs = 49
. Именно поэтому лотерейная система предлагает игрокам выбрать шесть лотерейных номеров так, чтобы в сумме они давали число между
и
150 33 183+=
. Это правда, что сумма шести выигравших номеров
150 33 117-=
окажется между 117 и 183 с вероятностью около 68%, но данная
лотерейная система не увеличивает шансы игрока выиграть приз.
Система полностью игнорирует тот факт, что существует гораздо
больше комбинаций из шести чисел, сумма которых попадает
в середину распределения этой суммы, чем комбинаций из шести
чисел, сумма которых попадает в «хвосты» такого распределения.
На рис. 6 показано полученное с помощью компьютерного моде
лирования распределение частот суммы шести выигравших лоте
рейных номеров за один миллион розыгрышей. Легко видеть, что
гистограмма вероятностей может быть довольно точно аппрокси
мирована функцией плотности нормального распределения.
Задача 3.26. Страховая компания имеет 20 000 страхователей.
Сумма, ежегодно заявляемая страхователем, имеет математическое
ожидание $150 и стандартное отклонение $750. Вычислите при
близительную вероятность того, что общая сумма заявленных тре
бований в будущем году превысит 3,3 миллиона долларов. (Ответ:
0,0023.)
-
-
-
-
-
3.4. Центральная предельная теорема и нормальное распределение
103
Задача 3.27. Пусть случайная величина
— количество
H
n
орлов, выпавших заnбросков симметричной монеты. Каково
примерное распределение величины
1
2
(Ответ:
Nn(,( ))0
.)
1
Hn
n
для большихn?
-
2
2
Задача 3.28. В случайном блуждании по прямой пьяница каж
дый раз делает шаг вправо или влево с равной вероятностью и не
зависимо от предыдущих шагов (считаем, что все шаги одинако
вой длины). Пусть
послеnшагов. Какова аппроксимация для
(Ответ:
2n / p
.)
— расстояние от пьяницы до точки старта
D
n
при большихn?
ED
()
n
Задача 3.29. В казино «Дворец Нерона» появился новый игровой автомат «умножающий бандит». Как он работает? У «бандита»
есть рычаг, или «рука», на которую игрок может нажимать. После
каждого нажатия выпадает символ «О» (орел) или «Р» (решка),
1
каждый с вероятностью
. Игра заканчивается либо когда первый
2
раз выпадет орел, либо после того, как игрок десять раз нажмет на
k
рычаг. Игрок выигрывает $
жатия для
110££k
, в противном случае игрок получает $1 500.
, если орел выпадает послеk-го на-
2
Ставка в этой игре равна $15. Чему равны математическое ожида
ние и стандартное отклонение денежной выплаты для игрока?
(Ответ: $11,4648 и $64,1235.) Каково примерное распределение до
2
хода казино после 2 500 игр? (Ответ:
N(,())8838 3206
.)
-
-
-
-
-
Задача 3.30. Новое онлайн-казино проводит акцию в честь
своего открытия: каждая из первых 2 500 онлайновых ставок
в размере $10 на красное в рулетку получает возврат $5 при проиг
рыше и $20 при выигрыше. Ставка на красное проигрывает с ве
роятностью
19
и выигрывает с вероятностью
37
18
.Спомощьюцент
37
ральной предельной теоремы найдите приблизительную
вероятность того, что казино потеряет на этом рекламном предло
жении не больше 6 500 долларов. (Ответ: 0,978.)
-
-
-
-
104 Глава 3. Полезные распределения вероятностей
3.5. Равномерная и экспоненциальная
плотности вероятности
Сначала мы более подробно обсудим сложное и тонкое понятие
функции плотности вероятности. Случайная величинаXназыва
ется непрерывно распределенной с функцией плотности вероятности
,если
fx()
x
PX x fydy
() ()£=
-¥
ò
для всех вещественных значений x,
-
где
¥
ò
-¥
го числа точек.
— функция с неотрицательными значениями, для которой
fx()
fxdx()
=1
,и
непрерывна везде, кроме, возможно, конечно
fx()
1
Число
— не вероятность, а относительная
fx()
мера правдоподобия того, что случайная величинаXпримет значение в близкой окрестности точкиx(при условии, что в этой
точке функция плотности вероятности непрерывна):
Px X x x f x x()()<£+ »DD
Это следует из выражения
PX x()£
PX x()£
и того факта, что
(если
—производная
gx()
fx()
приDx, близких к 0). Функция плотности вероятности
дляDx,близкихк0.
PxXx xPXx x()()<£+ = £+DD
является производной функции
,то
Gx()
Gx x Gx gx x()()()+- »DD
пока-
fx()
зывает, как функция распределения вероятности для непрерывно
распределенной случайной величиныXразмазывается, словно не
кая жидкая масса, по всему диапазону возможных значенийX.
Обратите внимание, что функция плотности вероятности может
принимать значения, большие 1, хотя интеграл от нее должен
быть равен 1.
Ввиду такой интерпретации величины
имеет смысл определить математическое ожидание и диспер
Dx
fx x()D
для очень малых
сиюXкак
EX xfxdx() ()=
-¥
¥
и
ò
var( ) [ ( )] ( )XxExfxdx=-
-¥
¥
ò
2
-
-
-
1
В общем случае вы получите функцию плотности вероятности непре
рывной случайной величины, если зададите функцию
и продифференцируете
Fx()
.
Fx PX x() ( )=£
-
3.5. Равномерная и экспоненциальная плотности вероятности
105
(предполагается, что эти интегралы хорошо определены и конеч
ны). Используя формулу
ральное представление для
Pa X b fxdx
()()<£=
Интеграл
плотности
b
fxdx
ò
a
от точкиaдо точкиb. Эта площадь стремится к 0,
fx()
— это площадь под графиком функции
()
Pa X b P X b P X a()()()<£= £- £
PX x()£
,выполучите
b
ò
a
для a < b
и интег
когдаaстремится кb. Таким образом, для непрерывной случай
ной величиныXкаждое значение имеет вероятность ноль,поэто
му
PaXb PaXb PaXb PaXb()()()()<<= <£= £<= ££
.
3.5.1. Функция плотности равномерного
распределения
Пусть случайная величинаX— случайная точка из конечного интервала
чтоXпопадает в подынтервал интервала
длине этого подынтервала (представьте себе, что вы вслепую бросаете дротик с бесконечно тонким кончиком в интервал
фициент пропорциональности должен быть равен
В частности, для любого
в интервал
, где «случайная точка» означает, что вероятность того,
(,)ab
, пропорциональна
(,)ab
(,)ab
1
ba-
вероятность того, чтоXпопадет
.Поэтому
(,)ax
,равна
axb<<
()/()xa ba--
). Коэф-
(почему?).
-
-
-
-
xa
-
для a < x < b
ba
-
1
для a < x < b
-
для
. Производная функ
xb³
, из этого следует, что
fx()
-
—
с
PX x()£=0
ции
PX x()£
Положим
PX x
()£=
для
xa£иPX x()£=1
на
fx()= 0
(,)ab
равна
fX
()=
для
ba
xabÏ (,)
функция плотности вероятности для случайной точкиX.Эта
функция называется функцией плотности вероятности равномер
ного распределения на
. Функция распределения вероятности
(,)ab
-
106 Глава 3. Полезные распределения вероятностей
дляXравномерно размазана по интервалу
. Функция плот
(,)ab
ности вероятности равномерного распределения лежит в основе
генерации так называемых случайных чисел с помощью компь
ютера. С помощью простых алгебраических вычислений можно
доказать, что
EX
()=
+
и
var( ) ( )Xba=-
2
12
1
2
.
ab
Плотность вероятности бета-распределения
Равномерная плотность на
ния. Класс бета-распределений часто используется в байесовском
анализе. Чтобы представить себе бета-распределение, вообразите,
что у вас есть несимметричная монета с неизвестной вероятностью выпадения орла. Предположим, что вы моделируете свое незнание точного значения этой вероятности случайной величиной
с плотностью вероятности, равномерно распределенной на
Другими словами, априорная плотность вероятности выпадения
орла
по вашему убеждению есть
fp()
менится ваше убеждение о вероятности выпадения орла после
того, как вы подбросили монетуnраз, при этом орел выпалsраз,
арешка
rns=-
раз? Обозначим
плотность вероятности, с которой, как вы убеждены, выпадает
орел. Эта плотность удовлетворяет формуле Байеса
— частный случай бета-распределе
(,)01
fp()=1
fps(|
при
01<<p
орлов) апостериорную
(,)01
.Какиз-
-
-
-
.
fpLs p
() ( |)
орлов
qqq
() ( | )
орлов
,орлов
где правдоподобие
решек за
бросков монеты, если вероятность выпадения орла
rs+
fps
(| )
Ls p(|)орлов
=
1
fLs d
ò
0
— вероятность получитьsорлов и
равнаp. Вам предлагается принять эту формулу без доказательства,
см. также раздел 2.4. Суть этой формулы в том, что апостериорная
плотность вероятности пропорциональна произведению априорной
плотности и функции правдоподобия. В примере с подбрасыванием
монеты функция правдоподобия задается биномиальной вероят
ностью:
rs
+
æ
ö
Ls p
(|) () .орлов для 0=
ç
ç
è
sr
÷
-<<11
pp p
÷
s
ø
r
-
3.5. Равномерная и экспоненциальная плотности вероятности
Это ведет к
rs
+
æ
ö
sr
÷
1
pp
-
÷
s
ø
+
rs
ö
÷
÷
s
ø
sr
1
,
d()
-qqq
, вы получите апостериор
fps
(| )
поэтому, используя
орлов =
fp()=1
ç
fp
() ( )
ç
è
1
æ
ç
q
()
f
ò
ç
0
è
при
01<<p
ную плотность вероятности
fps
(| )
орлов =
-
1
sr
1
()
-
qqq
ò
0
при
01<<p
d
sr
1
pp
()
Эта плотность — плотность бета-распределения. Бета
плотность с параметрами
и задается формулой
(,)01
a>0
and
имеет диапазон значений
b>0
107
-
.
-
(,)ab
1
B
(,)
ab
где нормализующая константа
=
( )!( )!/ ( )!ab ab-- +-11 1
11
ab--
1
xx
()
в случае, когдаaиbпринимают целые
-
Bxxdx(,) ( )ab
для 0 < x <1,
1
ab
--
=-
1
ò
1
0
1
с
B(,)ab
значения. С помощью методов продвинутого математического
анализа можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины
с параметрами
задаются формулами
(,)ab
EX()=
+aab
Равномерная плотность на
-плотности с
(,)ab
ab==1
с бета-плотностью распределения
X
и
var( )
X =
(a b (a b
(,)01
ab
2
))
+++
.
1
— это частный случай бета
. Если вы внимательно посмотрите на
предыдущий вывод, вы увидите, что вы нашли бы апостериорную
плотность вероятности выпадения орла в виде бета
(,)ab++sr
если бы вы взяли в качестве априорной плотности этой вероятно
сти бета
. В качестве иллюстрации предположим, что априор
(,)ab
ная вероятность выпадения орлов при подбрасывании монеты
10 раз распределена равномерно, тогда апостериорная плотность
вероятности становится бета
арешка
раза. Если монету подбросили еще 10 раз и выпало
r = 3
,еслиорелвыпал
(,)84
s = 7
раз,
6 орлов и 4 решки, апостериорная плотность вероятности станет
бета
(,)14 8
.
=
,
-
-
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
108
3.5.2. Функция плотности вероятности
экспоненциального распределения
Функция плотности вероятности непрерывной случайной величи
ныXназывается функцией плотности вероятности экспоненциаль
ного распределения с параметром
fx e
()=-l
и
fx()= 0
при
. Случайная величинаXс такой плотностью
x < 0
l>0
x
l
для
,если
x ³ 0
распределения может принимать только положительные значе
ния. Экспоненциальное распределение вероятности часто испо
льзуется для моделирования промежутка времени до наступления
редкого события (например, сильного землетрясения или распада
радиоактивной частицы). На рис. 7 показана гистограмма большого числа измерений промежутков времени до распада радиоактивной частицы. Экспоненциальная плотность вероятности
действительно очень хорошо подходит для аппроксимации такой
гистограммы.
-
-
-
-
Рис. 7. Гистограмма промежутков времени до распада радиоактив
ной частицы
-
3.5. Равномерная и экспоненциальная плотности вероятности
109
Функция распределения вероятности
PX x()£
в данном случае
равна (докажите!)
PX x e
()£=-
для
x ³ 0
.
x
-1l
Одна из основных формул интегрального исчисления — это
¥
kx
xe dx
ò
-
l
!
k
для
=
+
k01
l
k = 01,,Kиl>0
. С помощью этой формулы
вы легко можете доказать, что
¥
EX xfxdx() ()==
ò
0
1
,
var( ) ( )Xxfxdx=-
l
¥
æ
ç
ò
è
0
2
11
ö
÷
l
ø
=
.
2
l
Характерным свойством экспоненциально распределенной
случайной величиныXявляется отсутствие памяти.Тоестьдля
любого
s > 0
PX s xX s PX x(|)()>+ > = >
для всех
x > 0
.
Другими словами, если представить себе, чтоX—этосрок
службы некоторого предмета, то остаточный срок службы этого
предмета имеет то же самое экспоненциальное распределение, как
и первоначальный срок службы, и не важно, как долго предмет
уже был в употреблении. Доказательство этого очень простое. Так
как
PX v e
()>=
v
-l
для всех
PX s xX s
(|)
>+ > =
PX s x
()
>+
=
PX s
()
>
, для любого
v > 0
PX s x X s
()
-+
l
()
sx
e
=
-
l
s
e
s > 0
>+ >
=>
и
PX s
()
>
-
l
x
exдля всех 0
=
.
Пуассоновский процесс
Непрерывное экспоненциальное распределение тесно связано
с дискретным распределением Пуассона. Предположим, что ра
диоактивный материал испускает частицы по одной за раз, а вре
мена между их выбросами — независимые случайные величины
с одной и той же функцией плотности экспоненциального распре
деления. Пустьl— среднее число выбросов в единицу времени,
тогда можно показать, что
-
-
-
110
Глава 3. Полезные распределения вероятностей
Ptk(за временной интервал длины произойдет ровно выбросов) =
l()
t
-
tkl
e
для==
!
k
,, ,01 K
k
независимо от числа выбросов, произошедших до наступления
данного временного интервала. Вот почему процесс подсчета чис
ла испущенных частиц называется пуассоновским процессом.Этот
процесс — один из важнейших случайных процессов в теории ве
роятностей.
Как показал русский математик Александр Хинчин (1894—
1959), пуассоновский процесс возникает, только если выполняют
ся следующие условия:
События (например, события радиоактивного распада) происхо
•
-
дят по одному за раз, то есть наступление двух или более событий за очень маленький промежуток времени практически невозможно.
Количества событий в непересекающихся временных интерва-
•
лах не зависят друг от друга (нет последействия).
• Распределение вероятности для числа событий, происходящих
в течение любого конечного интервала времени, зависит только
от длины этого интервала, но не от его положения на оси времени.
Физическая основа пуассоновского процесса объясняет, почему этот процесс можно использовать для моделирования случайных процессов во многих областях, таких, как управление запаса
ми, техническое обслуживание и надежность, обработка очередей
и телекоммуникации.
Пример 3.7. В традиционном матче между двумя университет
скими футбольными командами длины интервалов времени между
голами не зависят друг от друга и имеют экспоненциальное рас
пределение с математическим ожиданием 30 минут. Игровое вре
мя матча составляет 90 минут. Какова вероятность того, что в те
чение матча будет забито три или более голов? Какова
вероятность того, что в первой половине матча будет забито ровно
два гола, а во второй половине ровно один гол?
1
Решение. Голы забиваются со скоростью
l=
гола в минуту.
30
Число голов, забитых во время матча, имеет пуассоновское рас
-
-
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]