Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
5.4. Статистический анализ результата компьютерного моделирования
151
моделирование для вероятности появления трех и более последо
вательных чисел дает значение 0,056.
5.3.4. Задача о Mississippi
Забавная, но очень сложная вероятностная задача на комбинато
рику — задача о Mississippi. Чему равна вероятность того, что при
случайной перестановке одиннадцати букв слова Mississippi все
соседние буквы окажутся различны? Для построения компьютер
ной модели сопоставим буквеmчисло 1, буквеiчисло 2, букве
число 3, и буквеpчисло 4. В каждой итерации строится случайная
перестановка последовательности
очевидной модификации перестановочного алгоритма из подраздела 5.2.4: инициализация в алгоритме теперь имеет вид
a[]22=,K,a[]10 4=,a[]11 2=
два соседних числа различными в получившейся случайной перестановке
ai ai[][]+- ¹10
на оценка искомой вероятности, равная 0,058.
С помощью компьютерного моделирования нельзя получить
идеально точную оценку статистического показателя. Вы можете
измерить только вероятность того, что полученная оценка верна.
Этот вопрос будет обсуждаться в следующем разделе. Вы увидите,
что если вам захочется получить в своей оценке еще один точный
десятичный знак после запятой, придется увеличить количество
итераций моделирования примерно в сто раз. Другими словами,
граница вероятностной ошибки уменьшается как обратное к квад
ратному корню из числа итераций моделирования. Здесь работает
закон квадратного корня.
([], [], ,[ ])aa a12 11K
для
i = 110,,K
. Чтобы выяснить, являются ли любые
,выдолжныпроверить,будетли
. После 100 000 итераций была получе-
(,,,,,,,,,,)12332332442
с помощью
a[]11=
-
-
-
s
,
-
5.4. Статистический анализ результата
компьютерного моделирования
Сколько итераций моделирования нужно провести, чтобы полу
чить оценку с желаемым уровнем точности? При проведении
компьютерного моделирования важно иметь вероятностное сужде
ние о точности полученной оценки. Такое суждение можно соста
-
-
-
152
Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности
вить, воспользовавшись понятием доверительного интервала.
Предположим, что вы хотите оценить неизвестную вероятность
некоторого событияE. Для этого вы сделалиnитераций компью
терного моделирования. Пусть индикаторная переменная
рав
X
i
на 1, если событиеEпроизошло вi-й итерации, в противном слу
чае
равно 0. Тогда
X
i
n
1
$
=
p
.
X
å
i
n
i
=
1
— оценка точного значенияp. Точность этой оценки выражается
через 95% доверительный интервал
p
-
-
-
æ
ç
$
p
ç
è
196
,
$($
1
)
pp
-
,$,
n
196
p
+
ö
$($
1
)
pp
÷
.
÷
n
ø
Этот доверительный интервал следует интерпретировать так:
любой такой интервал, построенный с помощью компьютерного
моделирования, будет содержать точное значениеpс вероятностью примерно 95% для большихn. Другими словами, примерно
в 95 из 100 случаев точное значениеpпопадает внутрь вычисленного доверительного интервала. Разные прогоны одной и той же
программы компьютерного моделирования для решения данной
задачи будут давать разные доверительные интервалы!
Влияние величиныnна слагаемое
$($
быстро уменьшает
)pp1 -
ся, еслиnрастет. Это означает, что ширина доверительного интер
вала почти пропорциональна
для достаточно большихn.
1/ n
Этот вывод приводит к важному эмпирическому правилу:
чтобы уменьшить ширину доверительного интервала вдвое, нужно
сделать примерно в четыре раза больше наблюдений.
Это очень полезное правило. Проиллюстрируем его задачей
о почти днях рождения для группы из 20 человек. Для вероятно
сти того, что у двух или более членов группы дни рождения будут
отстоять друг от друга на один день, компьютерное моделирова
ние с 25 000 итераций дает оценку 0,8003 с 95% доверительным
интервалом
(, , , )0 7953 0 8052
оценку 0,8054 с 95% доверительным интервалом
, в то время как 100 000 итераций дают
(, , , )0 8029 0 8078
Доверительный интервал действительно стал в два раза уже.
-
-
-
-
.
5.4. Статистический анализ результата компьютерного моделирования
153
Как построить доверительный интервал в случае, когда с помо
щью компьютерного моделирования ищется оценка для неизвест
ного математического ожидания некоторой случайной величиныX,
а не для неизвестной вероятности? Пусть
XX
,,K
обозначают на
n1
блюдения величиныX, полученные заnнезависимых друг от друга
итераций моделирования, тогда оценки для
m=EX()иss= ()X
имеют вид
n
1
(
å
n
k
=
1
2
$
X
.
k
$
m=
n
1
å
n
k
=
$
и
X
s m)=-
k
1
При этом 95% доверительный интервал для неизвестного
m=EX()
стандартного отклонения для величины выборочного среднего
будет равен
æ
$
,
m
-+
196 196
ç
è
Статистический показатель
$
s
$
,
m
nn
$
/s n
$
s
ö
.
,
÷
ø
, который является оценкой
$
m
обычно называется стандартной ошибкой выборочного среднего.
Любой 95% доверительный интервал, полученный с помощью
компьютерного моделирования, содержит точное значениеmсвероятностью примерно 95% для большихn. Для иллюстрации
рассмотрим случайную величинуX— расстояние между двумя
случайно выбранными точками внутри единичного квадрата,
см. подраздел 5.3.1. Сделав один миллион итераций, мы получили
$
,m=0 5213
(, , , )0 5209 0 5218
$
и
= 0,2477, что дает дляmдоверительный интервал
s
.
В завершение этого раздела вкратце расскажем, как 95% до
верительный интервал получается из центральной предельной те
оремы. Согласно этой теореме,
æ
ç
å
1
in=
n
è
ö
Xn
-
ms/( / )
÷
i
ø
имеет
1
примерно стандартное нормальное распределение для большихn.
Это остается верным, если заменитьsна его оценку
$
.Устан
s
дартного нормального распределения 95% распределения лежат
между процентилями
æ
P
(, /(/ ) ,-£ -
196
ç
ç
è
1
n
æ
ç
n
è
Xn
å
i
i
=
1
z
0025
ö
ms
÷
ø
и
196,,=-
£
z
0975
ö
Ј 0,95 для большихn.
196
÷
÷
ø
. Следовательно,
196,,=
Это можно переписать в виде
-
-
-
,
-
-
-
Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности
154
n
æ
1
ç
P
X
åå
i
ç
n
i
11==
è
$
s
196
-££+
n
Вуаля, вот вам 95% доверительный интервал
n
1
m
X
i
n
i
ö
$
s
÷
196 09
,
»,
÷
n
ø
,
5
æ
$
çç196
$
,
è
$
ms+
,
196
ö
. Оценка стандартного отклонения
÷
÷
n
ø
$
не сильно изменя
s
$
ется, когдаnрастет, поэтому ширина доверительного интервала
пропорциональна
1
для больших значенийn, из чего следует,
n
что вам потребуется примерно в четыре раза больше компьютер
ных итераций, чтобы сократить ширину интервала в два раза.
Задачи на компьютерное моделирование
В каждой из следующих задач на моделирование от вас требуется придумать алгоритм для программы моделирования, позволяющей найти численное решение данной задачи. Если вы знаете
какой-либо язык программирования, например, Python или R, попробуйте написать программы для решения некоторых задач, это
может быть прикольно.
Задача 5.1. Создайте компьютерную модель (напишите алгоритм) для оценки вероятности того, что уравнение
имеет два вещественных корня, еслиA,BиC— случайно выбран
ные числа из интервала
. Сделайте то же самое для случая,
(,)-11
когдаA,BиC— случайно выбранные ненулевые целые числа
между
-1000и1000
.
2
Ax Bx C
,ms-
n
-
-
0++=
-
Задача 5.2. Вы выбираете случайные числа из интервала
(,)01
тех пор, пока сумма выбранных чисел не станет больше 1. Создай
те компьютерную модель, чтобы оценить математическое ожида
ние количества выбранных чисел.
Задача 5.3. Вы выбираете случайные числа из
до тех пор,
(,)01
пока не выберете случайное число, которое меньше, чем предыду
щее выбранное случайное число. Постройте компьютерную мо
дель для оценки математического ожидания количества потребо
вавшихся выборов.
до
-
-
-
-
-
5.4. Статистический анализ результата компьютерного моделирования
155
Задача 5.4. Вы случайным образом выбираете две точки на па
лочке, ломаете палочку в этих точках и получаете три куска па
лочки. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить вероят
ность того, что самый большой кусок палочки при этом окажется
длиннее, чем сумма длин двух других кусков.
Задача 5.5. Вы случайным образом выбираете две точки на па
лочке, ломаете палочку в этих точках и получаете три куска па
лочки. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить вероят
ность того, что из полученных кусков можно сложить
треугольник.
Задача 5.6. Вы случайным образом выбираете две точки внутри
круга. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить вероят
ность того, что эти две случайных точки и центр круга являются
вершинами тупоугольного треугольника. Сделайте то же самое для
сферы, в которой выбраны две случайных точки.
Задача 5.7. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
математическое ожидание площади треугольника, вершинами которого являются три случайных точки внутри единичного квадрата. Сделайте то же самое для трех случайно выбранных точек внутри единичного круга. Подсказка: площадь треугольника
со сторонами длиныa,bиcравна
1
sabc=++
()
.
ss a s b s c( )()()---
,где
2
Задача 5.8.Пусть
ленная на конечном интервале
axb££
значение интеграла
. Как с помощью компьютерного моделирования оценить
b
ò
a
— положительная функция, опреде
fx()
и такая, что
fxdx
()
(,)ab
?
0 ££fx M()
для
Задача 5.9. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
математическое ожидание для расстояния между двумя случайно
выбранными точками внутри единичного куба. Сделайте то же са
мое для единичной сферы.
Задача 5.10. Игральную кость бросают до тех пор, пока либо
выпадет каждый из шести возможных исходов, либо один из этих
исходов выпадет шесть раз. Постройте компьютерную модель,
чтобы оценить вероятность того, что первое событие случится
раньше второго события.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
156
Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности
Задача 5.11. В одном общежитии живут семь студентов. По
стройте компьютерную модель, чтобы оценить вероятность того,
что у двух или более из них дни рождения будут через неделю
один после другого.
Задача 5.12. В четвертьфинал футбольной Лиги чемпионов вы
шли восемь команд: две команды из Великобритании, две из Гер
мании, две из Италии и две из Испании. Постройте компьютер
ную модель, чтобы оценить вероятность того, что никакие две
команды из одной страны не будут играть друг с другом в чет
вертьфинале, если пары команд составляются случайным образом.
Задача 5.13. В футбольном турнире осталось шестнадцать
команд. Жеребьевка определит, какие восемь пар команд будут
играть друг с другом. До начала жеребьевки можно сделать у букмекеров ставку на результат жеребьевки. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить функцию распределения вероятности
для количества правильно предсказанных пар.
Задача 5.14. Вернитесь к задаче 3.2. Постройте компьютерную
модель, чтобы оценить вероятность того, что имя одного и того же
ученика будет выбрано три или более раза.
Задача 5.15. Вернитесь к задаче 2.40. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить функцию распределения для количества неклюнутых куриц.
-
-
-
-
-
Задача 5.16. Рассмотрим урновую модель Пойа, в которой урна
первоначально содержитrкрасных иbчерных шаров. На каждом
временном шаге из урны случайным образом вынимается один
шар и возвращается обратно в урну вместе с дополнительным ша
ром того же цвета, что и вынутый шар. Замечательное свойство
урновой модели Пойа состоит в том, что у нее есть свойство само
усиления. Постройте компьютерную модель, чтобы проверить для
частного случая
rb==1
тот факт, что вероятностная гистограмма
доли красных шаров в урне после фиксированного числаnшагов
очень хорошо аппроксимируется плотностью вероятности равно
мерного распределения на
для большихn.
(,)01
Задача 5.17. Вы играете в игру с 11 картами: туз, двойка, трой
ка, ..., девятка, десятка и джокер. Каждая карта считается имею
щей столько очков, какой у нее номинал, причем туз=1,аджо
-
-
-
-
-
-
5.4. Статистический анализ результата компьютерного моделирования
157
кер = 0. Карты, перетасованные случайным образом,
переворачиваются одна за одной, пока вы не решите остановить
ся. Вы получаете столько очков, сколько дают в сумме очки на пе
ревернутых картах, если среди них нет джокера. Как только появ
ляется джокер, игра останавливается, и вы получаете ноль очков.
Рассмотрим стратегию игры, при которой вы останавливаетесь,
если сумма очков на уже перевернутых картах равна 28 или боль
ше (эта стратегия максимизирует ожидаемое число полученных
вами очков), и стратегию, при которой вы останавливаетесь, если
сумма очков на перевернутых картах равна 15 или больше. По
стройте компьютерную модель, чтобы оценить вероятность того,
что вы закончите игру с нулем очков, а также получить оценку для
математического ожидания числа ваших очков в конце игры
в каждом из двух рассмотренных случаев.
Задача 5.18. Вы раз за разом бросаете две симметричных
игральных кости, пока не появится каждое из 11 возможных значений суммы очков на двух костях. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить математическое ожидание требуемого числа
бросков.
Задача 5.19. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
вероятность того, что, по крайней мере, две карты одинакового
номинала (например, две девятки или две дамы) идут подряд в перетасованной случайным образом стандартной колоде в 52 карты.
-
-
-
-
-
Задача 5.20. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
вероятность получить последовательность из пяти или более ор
лов, или последовательность из пяти или более решек, или и то
и другое за 25 бросков симметричной монеты
1
При подбрасывании монеты могут возникать удивительно длинные по
следовательности орлов или решек. Эмпирическое правило гласит, что
функция распределения вероятности самой длинной последовательности
орлов или решек, или и того и другого, заnбросков симметричной монеты
в основном сконцентрирована вокруг
В этой связи можно привести реальную историю. В конце 19-го века газета
Le Monaco регулярно публиковала результаты запусков рулетки в казино
Монте-Карло. Знаменитый статистик Карл Пирсон (1857—1936) изучал эти
данные, чтобы проверить свои теории. Он заметил, что красное и черное
log
1
æ
ç
2
2
è
1
.
ö
для больших значенийn.
1n
+
÷
ø
-
-
158
Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности
Задача 5.21. Стандартную колоду из 52 карт тщательно перета
совали, потом стали переворачивать карты одну за одной. По
стройте компьютерную модель, чтобы оценить вероятность того,
что либо пять или больше карт красной масти, либо пять или
больше карт черной масти, либо и то и другое появятся подряд.
Задача 5.22. Вы играете в азартную игру с подбрасыванием мо
нетки. Симметричную монету подбрасывают 20 раз. Вы выигрыва
ете, если среди исходов есть последовательность ОООО и нет по
следовательности ОООР, и проигрываете, если среди исходов есть
последовательность ОООР и нет последовательности ОООО;
в остальных случаях вы не выигрываете и не проигрываете. По
стройте компьютерную модель, чтобы оценить вероятности выиг
рыша и проигрыша.
Задача 5.23. Вернитесь к задаче 3.9. Теперь у вас новая стратегия: каждый раз вы ставите на кон две седьмых от имеющейся
у вас на данный момент суммы. Постройте компьютерную модель,
чтобы оценить вероятность того, что в конце ваш капитал окажется больше $100.
Задача 5.24. В классе из15детей каждый ребенок купил мале-
нький подарок Санта-Клауса для одного из остальных детей. Подарки перенумеровали от 1 доn, и каждый ребенок знает номер
своего подарка. Также дети написали свои имена на полосках бу
маги. Далее15полосок с именами и15карточек с номерами по
дарков положили в коробку. Каждый ребенок случайным образом
вынимает из коробки одну полоску и одну карточку. Ребенок, чье
имя написано на полоске, получает подарок с номером, написан
ным на карточке. Постройте компьютерную модель, чтобы оце
нить вероятность того, что есть, по крайней мере, одна пара де
тей, которые обменяются купленными подарками, если известно,
что ни один из детей не получил свой собственный подарок.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
выпадали примерно одинаковое число раз, но также заметил, что длины по
следовательностей выпадений либо только красного, либо только черного
были гораздо меньше, чем он ожидал. В чем была причина этого? Оказа
лось, что журналисты из Le Monaco просто выдумывали результаты запус
ков рулетки, сидя в баре казино. Им не приходило в голову, что кто-то мо
жет это заметить.
-
-
-
-
5.4. Статистический анализ результата компьютерного моделирования
159
Задача 5.25. В рождественской вечеринке участвуют 10 чело
век. Каждый приносит на вечеринку подарок для обмена подарка
ми. Подарки перенумерованы от 1 до 10, и каждый человек знает
номер своего подарка. Карточки с номерами
110,,K
кладутся
в шляпу. Участники вечеринки по очереди тянут карточки из
шляпы, чтобы определить, какой подарок он или она получит.
Если участник вытянул карту, соответствующую номеру принесен
ного им подарка, то он/она возвращает эту карту в шляпу и тянет
карту еще раз. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
вероятность того, что последнему участнику достанется принесен
ный им подарок. Замечание: представьте себе, что на каждом шаге
следующий участник, который должен тянуть карту, выбирается
случайным образом.
Задача 5.26. «Вечернее шоу с Джимми Фэллоном» — знаменитое американское телевизионное шоу. В нем Джимми играет
в яичную русскую рулетку с гостем шоу. Гость — всегда знаменитость из спорта или кино. Гость и Джимми по очереди берут
яйцо из картонной упаковки и разбивают его о собственную голову. В упаковке находится дюжина яиц, четыре из них сырые,
а остальные сварены вкрутую. Ни Джимми, ни гость не знают,
какие яйца сырые, а какие сваренные. Первый, кто разобьет два
сырых яйца о собственную голову, проигрывает. Гость выбирает
яйцо первым. Постройте компьютерную модель, чтобы оценить
вероятность того, что гость проиграет.
-
-
-
-
Задача 5.27. Мужчина, вышедший на пенсию, рассматривает
возможность вложиться в инвестиционный фонд. Консультант по
казывает ему, что при фиксированной ежегодной доходности
в 14%, которая имела место последние несколько лет, он сможет
снимать по $15 098 из фонда в конце каждого года в течение сле
дующих 20 лет. Для пенсионера это звучит как музыка, и он реша
ет инвестировать $100 000. Однако годовой доход колеблется сле
-
-
дующим образом. Если в предыдущем году доход былr%,то
12, r
-
%
-
в следующем году доход останетсяr%с вероятностью
ся и станет
с вероятностью
% с вероятностью
08, r
. Постройте компьютерную модель для гисто
025,
, и изменится и станет
025,
, изменит
05,
граммы распределения вероятностей инвестированного капитала
после 15 лет, если в конце каждого из этих 15 лет из инвестицион
ного фонда забиралось $15 098, при условии, что вся сумма, нахо
-
-
Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности
160
дящаяся в фонде, изымается, если оставшийся капитал оказался
меньше $15 098.
Задача 5.28. Компания, производяшая пиво, выпустила на ры
нок новый сорт пива под маркой Babarras, и печатает одну из букв
этого названия под крышкой каждой бутылки. Собравшим опре
деленное количество крышек с каждой из буквA,B,RиSкомпа
ния дарит красивый пивной бокал. Чтобы его получить, нужно со
брать 3, 2, 2, и 1 крышку с буквамиA,B,RиSсоответственно.
Эти буквы печатаются под крышками с вероятностями 0,15, 0,10,
0,40 и 0,35, независимо друг от друга. Постройте компьютерную
модель, чтобы оценить математическое ожидание и функцию рас
пределения вероятности для количества бутылок, которое необхо
димо купить, чтобы сложить слово Babarras.
Задача 5.29. В непрозрачной вазе лежат 11 конвертов красного
и синего цветов. Вам говорят, что есть четыре конверта одного
цвета, в каждом из которых лежит $100, и семь пустых конвертов
другого цвета, но вам конверты, лежащие в вазе, не видны. Конверты вынимают из вазы один за другим в случайном порядке.
Каждый раз, когда конверт вынимают, вы должны решить, открывать его или нет. Как только вы откроете конверт, вы получите
деньги, которые в нем лежат (если они там есть), и на этом процесс остановится. Ваша стратегия состоит в том, чтобы открыть
последний вынутый конверт в момент, когда из вазы вынули че
тыре или больше конверта каждого цвета. Постройте компьютер
ную модель, чтобы оценить вероятность выиграть $100.
-
-
-
-
-
-
-
-
Приложение: программы компьютерного
моделирования на языке Python
Две программы на языке Python, приведенные в этом приложе
нии, предназначены для того, чтобы дать читателю, не имеющему
опыта программирования, некоторое представление о том, как ра
ботает программа для компьютерного моделирования. Python —
относительно простой язык программирования, и его легко изу
чить, поскольку он требует уникального синтаксиса, ориентиро
ванного на удобочитаемость. Текст после знака «#» является ком
ментарием, он не обрабатывается компилятором и предназначен
для пояснений читателю.
-
-
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]