Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
50
P
Так как
Решения некоторых задач
100000
æ
ç
0,7112 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2888
ç
ç
0,47
90 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5210
ç
=
0,2903 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,7097
ç
ç
0,1451 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,8549
ç
ç
000001
è
()
50
p
20
, ваша вероятность выиграть равна
04790
,=
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
201
47,9%. Другим способом эту вероятность можно вычислить, най
дя решение системы из четырех линейных уравнений. Чтобы это
сделать, определим
как вероятность когда-либо быть погло
f
i
щенным состоянием 0, если начальное состояние равноi.По
определению,
и
f
1=
0
. Используя условные вероятности
f50=
попасть в следующее состояние, если текущее состояние равноi,
и применив закон условной вероятности, вы получите систему
из четырех линейных уравнений
для
i = 12 3,,иfff
и
0 2903= ,
f
3
05 05=+,,
435
f401451= ,
.
. Ее решение:
=+ +
05 035 015
,, ,
ff f f
ii i i
-++
112
f10 7112= .
,
f204790= ,
6.14. Эта задача — настоящая жемчужина для обучения свойствам поглощающих марковских цепей. Состояние марковской
цепи описывается тройкой
тых яиц,
— число сырых яиц, взятых гостем, а
r
1
(, , )ir r
,гдеiобозначает число разби-
12
—числосырых
r
2
яиц, взятых ведущим шоу. Эти состояния удовлетворяют условиям
011 3
££ + £irrи
11
. Процесс начинается в состоянии
(,,)000
иза
канчивается, когда достигнуто одно из поглощающих состояний
(, , )i 20,(, ,)i 21,(,, )i 02
,или
чивается в состоянии
ющем состоянии
(, , )ir r
12
переходит либо в состояние
4
--
rr
12
12
, либо в состояние
-
i
В непоглощающем состоянии
яйцо и процесс переходит либо в состояние
4
--
rr
ностью
4
--
1
-
12
rr
12
12
12
-
i
, либо в состояние
-
i
. Это задает матрицу одношаговых переходных вероят
. Гость проигрывает, если игра закан
(,, )i 12
(, , )i 20
или
,гдеiнечетно. В непоглоща
(, ,)i 21
с четнымiгость берет яйцо, и процесс
с вероятностью
4
1
-
(,, )irr++11
12
с вероятностью
12
(,,)irr+1
(, , )ir r
(, ,)ir r++11
12
с вероятностью
12
с нечетнымi,ведущийберет
12
(,,)irr+1
--
rr
12
12
-
i
свероят
ностейP. Вероятность того, что гость проиграет, можно посчи
-
-
,
-
-
-
.
-
-
-
Решения некоторых задач
202
тать, вычислив
11
. Для построения матрицы необходимо, чтобы
P
состояния были упорядочены в виде одномерного массива. Проще
вычислить вероятность проигрыша для гостя с помощью рекур
сии. Чтобы это сделать, рассуждать следует тем же образом, как
и в решении задачи 6.11. Для любого состояния
pi r r(, , )
начинается из состояния
p(,,)000
сии, используя граничные условия
=
pi(,,)+=112 0
— вероятность того, что гость проиграет, если процесс
12
(, , )ir r
. Цель состоит в том, чтобы найти
12
. Эту вероятность можно вычислить с помощью рекур
pi pi(, ,) (, ,)20 21 1==иpi(,,)+ 102
для
pi r r
(,,) ( , ,)
4
=
2
1
, 5, 7, 9 и 11. Уравнение рекурсии имеет вид
i = 3
rr
--
1
i
12
-
2
pi r r
11 1
++ +-
2
1
æ
ç
è
rr
4
--
1
12
ö
2
÷
i
-
ø
(, , )ir r
+pi r r(,,)1
12
1
пусть
2
для i =0,2,4,6,8и10,и
rr
4
--
2
pi r r
(, , ) ( , , )
2
1
для
чению
, 3, 5, 7, 9 и 11. Рекурсивные вычисления приводят к зна-
i = 1
5
для вероятности того, что гость шоу проиграет. Интерес-
1
=
12
i
-
pi r r
111
+++-
2
1
æ
ç
è
rr
4
--
1
12
ö
2
+pi r r(,,)1
÷
i
-
ø
2
1
9
но отметить, что игра будет честной в случае, когда в коробке лежат три сырых и девять вареных яиц.
6.17. Вашей первой мыслью может быть использовать марковскую цепь с 16 состояниями. Однако в данном случае достаточно
марковской цепи с двумя состояниями 0 и 1, где состояние 0
означает, что Линда и Боб находятся в разных развлекательных
учреждениях, а состояние 1 означает, что они находятся в одном
и том же учреждении. Одношаговая переходная вероятность
равна
p01204 06
æ
ç
è
1
ö
+´
÷
3
ø
æ
ç
è
06
2
ö
æ
06
´´
÷
ç
3
ø
è
1
ö
÷
3
ø
,гдепервое
0=´ ´ ´
=,,,,,24
p
01
слагаемое есть вероятность того, что ровно один из двух человек
не меняет развлекательное заведение и второй человек идет в за
ведение, выбранное первым человеком, а второе слагаемое есть
вероятность того, что оба поменяют развлекательное заведе
ние и придут в одно и то же заведение. Аналогично,
1
æ
+
06 06
ç
è
Решив уравнения
ö
÷
3
ø
. Далее,
028,, ,´´
=
ppp
001
pp
1076=- =,
00 01
076 072=+,,иpp
и
pp
10 11
01
1+=
04 04=´,,
p
11
1072=- =,
,выполучите
-
-
=
-
-
+
.
Решения некоторых задач
203
3
и
=
p
0
4
1
. В долгосрочной перспективе доля выходных, в ко
=
p
1
4
торые Линда и Боб посетят одно и то же заведение, равна
6.18.(a) Решение уравнений баланса
=+01 03,,,pp p
ppp
SR SS RS
зации
pppp
+++ =1
SS SR RS RR
p
RR
равна
= 01099,
. В долгосрочной перспективе доля солнечных дней
+=0 7912,
pp
SS RS
=+05 045,,
RS SR RR
дает
pSS= 0 6923,
.
с уравнением нормали
=+09 07,,
ppp
SS SS RS
,
pp
==0 0989,
SR RS
(б) В долгосрочной перспективе средний объем продаж в день
равен
1000 0 7912 500 0 2088 895 60´+´=,,,
клонения
и
s
1
неприменимы для оценки среднего объема про
s
2
долларов. Стандартные от
даж за достаточно большой промежуток времени.
-
1
.
=
p
1
4
,
,
-
-
Предметный указатель
P
p-значение 52
Z
z-оценка 89, 96
А
Алгоритм ранжирования веб-страниц PageRank 179
Апостериорные шансы 43
Априорные шансы 43
Б
Байес, Т. 41
Байесовская вероятность 40
Байесовская статистика 51, 106
Бернулли, Я. 65
Биномиальный коэффициент 11
Биноминальное распределение 79
Борткевич, В.И. 120
Бутстрэппинг 147
В
Взаимоисключающие события 24
Выборочное среднее 153
Г
Галилей, Г. 23
Генератор случайных чисел 140
Геометрическая вероятность 148
Геометрическая прогрессия 18
Геометрическое распределение 65
Гипергеометрическое распределение 11, 83
Гистограмма 96
Гюйгенс, К. 56
Д
Д’Аламбер, Ж.Л. 25
Двумерное нормальное распределение 112
Де Муавр, А. 68, 99
Предметный указатель
Дело «Народ против Коллинзов» 49
Дело О.ДЖ. Симпсона 50
Дело Салли Кларк 46
Дисперсия 61, 73, 104
Доверительный интервал 152
З
Задача Ньютона—Пипса 82
Задача Санта-Клауса 131
Задача де Мере 29, 92
Задача разделения ставок 81
Задача собирателя купонов 60, 65, 169
Закон больших чисел 57, 100, 137
Закон квадратного корня 67
Закон условного математического ожидания 176
Закон условной вероятности 38
Звкон квадратного корня 138
И
Индикаторная случайная величина 60
К
Кардано, Дж. 21
Ковариация 76
Колмогоров, А. 21
Компьютерное моделирование 136, 151
Коэффициент корреляции 78
Критерий хи-квадрат 117
Л
Лаплас, П.С. 23, 41, 99
Лейбниц, Г.В. 25
Лотерейный принцип 129
Лотерея 12, 65, 128, 150
М
Марков, А.А. 76, 163, 180
Марковские цепи 163
Марковские цепи поглощающие 171
Математическое ожидание 56, 73, 104
Математического ожидания свойство линейности 59
Медиана 94
Метод Метрополиса—Гастингса 182
205
206
Предметный указатель
Метод Монте-Карло 136
Метод Монте-Карло, использующий марковские цепи 181
Модель Лапласа 23
Модель шаров и ящиков 60
Н
Независимые случайные величины 66
Независимые события 36
Непересекающиеся множества 22
Неравенство Бонферрони 196
Неравенство Маркова 75
Неравенство Чебышёва 76
Несовместные события 24
Нормальное распределение 93
О
Оптимальная остановка 174
Отношение правдоподобия 43
Ошибка прокурора 47
П
Парадокс Монти Холла 139
Парадокс дней рождения 16, 133, 149
Паскаль, Б. 29, 56
Перестановка 8—9
Пирсон, К. 157
Плотность вероятности бета-распределения 106
Плотность вероятности гауссовского распределения 92
Правило Байеса 41
Правило Байеса для шансов 42
Правило произведения 27, 33
Правило суммирования 32
Принцип подсчета 7
Производящая функция 71
Процентиль 101
Пуассон, С.Д. 120
Пуассоновская эвристика 131, 133
Пуассоновский процесс 110
Пуассоновское распределение 87, 121, 124
Р
Распределение Бернулли 65
Предметный указатель
207
С
Случайная величина 54
Случайная величина дискретная 54
Случайная величина непрерывная 54
Случайная перестановка 144
Случайное блуждание 103, 115, 174
Случайное число 106, 141
Событие 23
Сочетания 11
Стандартное нормальное распределение 95
Стандартное отклонение 62
Сэмплирование по Гиббсу 186
Т
Треугольник Паскаля 12
У
Урноваямодель11
Ф
Ферма, П. 29, 56
Фон Нейман, Дж. 141
Формула подстановки 59, 75
Формула разорения игрока 175
Функция плотности вероятности равномерного распределения 105
Функция распределения вероятности 54
Х
Хинчин, А. 110
Ц
Центральная предельная теорема 98
Ч
Чебышёв, П.Л. 76
Ш
Шансы 42
Э
Эйлер, Л. 14, 71
Экспоненциальное распределение 108—109
Производство книг на заказ
Издательство «ТЕХНОСФЕРА»
125319, Москва, а/я 91
тел.: (495) 234-01-10
e-mail: knigi@technosphera.ru
Реклама в книгах:
• модульная
• статьи
Подробная информация о книгах на сайте
http://www.technosphera.ru
Теймс Хенк
Основы теории вероятностей.
Что следует знать студенту-математику
Компьютерная верстка – ИП Автушенко Р.В.
Дизайн книжных серий – С.Ю. Биричев
Дизайн – Н.И. Семячкина
Выпускающий редактор – О.Н. Кулешова
Ответственный за выпуск – С.А. Орлов
Подписано в печать 30.11.2022
Формат 60×90/16
Гарнитура «Ньютон»
Печ. л. 13. Тираж 1000 экз. Зак. №
Бумага офсет №1, плотность 65 г/м
2
Издательство «ТЕХНОСФЕРА»
Москва, ул. Краснопролетарская, д.16, стр.2
Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия»
428019, Чувашская Республика
г. Чебоксары, проспект Ивана Яковлева, дом 13
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]