Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику
.pdf
2.1. Основы теории вероятностей
r
5
, а вероятность выбросить, по крайней мере, один дубль
1
-
r
6
шестерок заrбросков двух костей равна
r
35
1
. Каковы мини
-
r
36
31
мальные значенияr, для которых эти вероятности больше 0,5?
(Ответ:
r = 4иr = 25
.)
Задача 2.3.(a) Какова вероятность, что при броске трех костей
на двух или более из них выпадет одинаковое число очков? (От
4
.)
вет:
9
(б) Брошены две кости. Если наибольшее число выпавших на
них очков равно 1, 2, 3 или 4, выигрывает первый игрок, в против
ном случае выигрывает второй игрок. У кого из игроков преимущество? (Ответ: очень небольшое преимущество у второго игрока.)
Задача 2.4. Вам сдали четыре случайно выбранные карты из
колоды в 52 карты, в которой до раздачи было четыре туза. Какова вероятность, что среди ваших карт окажется хотя бы один туз?
(Ответ: 0,2813.)
Задача 2.5. У вас есть две подарочные карты на 10 бесплатных
чашек кофе из вашей любимой кофейни каждая. Каждый раз,
когда вы заказываете кофе, вы случайным образом выбираете
одну из карт для оплаты. Однажды впервые случается, что оплата
не проходит, потому что на выбранной карте не осталось баллов,
которыми можно оплатить напиток. Какова вероятность того, что
на второй карте баллов тоже больше не осталось (1 балл = 1 чаш
ка)? (Ответ: 0,1762.)
-
-
-
-
Задача 2.6. В телевизионном игровом шоу отец и дочь стоят
перед тремя закрытыми дверями, за которыми в случайном поряд
ке находятся автомобиль, ключ к этому автомобилю и коза. Один
игрок может открыть одну или две двери, по одной за раз, при
этом второй игрок не видит, что происходит. Дочери нужно найти
автомобиль, а отцу ключ. Только если оба выиграют, им подарят
этот автомобиль. Отец и дочь могут обсудить стратегию игры до ее
начала. Какова в этом случае оптимальная стратегия? Какова мак
симальная вероятность выиграть автомобиль? (Ответ:
4
.)
6
-
-
32 Глава 2. Основы теории вероятностей
Задача 2.7. Для не непересекающихся (не дизъюнктных) мно
жествAиBвыполняется правило суммирования P(A или B)=P(A)+
+
PB P A B() ( )- или
,где«AиB» это множество всех исходов, при
надлежащих обоимAиB. Можете ли вы доказать это правило?
Если случайным образом выбрать одну карту из колоды в 52 кар
ты, какова вероятность, что она окажется тузом или будет червой?
(Ответ:
16
.)
52
Задача 2.8. У эксперимента есть три возможных исхода
и
, наступающих с вероятностями
O
3
010= ,,p2015= ,
p
1
соответственно. Какова вероятность того, что исход
раньше исхода
p
вет:
1
pp
+
12
, если повторять эксперимент раз за разом? (От
O
2
.)
040
= ,
,и
O
1
,
O
O
1
p3075= ,
появится
Задача 2.9. Два человека договорились встретиться на вокзале.
Независимо от другого каждый человек должен появиться на вокзале в случайный момент времени между 12 p.m и 1 p.m. Какова
вероятность того, что от появления первого до появления второго
11
пройдет не больше 10 минут? (Ответ:
.)
36
2.2. Понятие условной вероятности
-
-
-
2
-
Понятие условной вероятности лежит в основе теории вероятно
стей. Это — интуитивное понятие. Проиллюстрируем это приме
ром: чтобы найти вероятность вытащить два туза, беря карты по
одной случайным образом из обычной колоды в 52 карты, боль
шинство людей будут рассуждать следующим образом. Вероят
ность получить туза, выбрав первую карту, равна
4
. Поскольку из
52
колоды одного туза уже забрали, вероятность, что вторая карта
3
тоже окажется тузом, равна
.Такимобразом,
51
P().первыедвекартыобетузы =´
4523
51
-
-
-
-
2.2. Понятие условной вероятности
При этом используется правило произведения вероятностей:
33
,
A
где
PA B()и
PA B PAPBA( ) ()(| )и =
обозначает вероятность того, что оба события
(«первая карта оказалась тузом») иB(«вторая карта оказалась ту
зом») произойдут,
PB A(| )
что событиеBпроизойдет, если произошло событиеA.
словами, безусловная вероятность того, что оба событияAи
обозначает условную вероятность того,
1
Другими
B
произойдут, равна безусловной вероятности того, что произойдет
событиеA, умноженной на условную вероятность того, что прои
зойдет событиеB, если известно, что произошло событиеA.Это
одно из самых полезных правил в теории вероятностей.
Пример 2.5. Некто хочет снять квартиру на верхнем этаже некоторого здания. Этот человек узнает, что в здании освободились
две квартиры и они сдаются. В здании семь этажей, и на каждом
этаже по восемь квартир. Какова вероятность того, что хотя бы
одна квартира на седьмом этаже вакантна?
1
На самом деле это соотношение следует читать наоборот: величина
PBA(|)
PA()
следующая. Предположим, чтоnфизически независимых друг от друга повторений случайного эксперимента происходят при одинаковых условиях.
Пустьr— число раз, когда событиеAпроизошло одновременно с событием
B,аs
тота, с которой происходит событиеBв случаях, когда происходит событие
A
менно, равна
ношение последних двух частот равно
частота наступления событияBв случаях, когда произошло событиеA, чем
и объясняется выбор определения для величины
мера на усеченном пространстве элементарных исходов. Например, пред
положим, что брошены синяя и красная игральные кости, и вы получи
ли информацию, что на одной выпала шестерка. Тогда усеченное простран
ство элементарных исходов этого эксперимента состоит из пар
( , ), ,( , ),( , ), ,( , )16 56 61 66KK
i
определяется как отношение вероятности
, если
PA()> 0
— количество раз, когда событиеAпроизошло, а событиеBнет. Час
, равна
В действительности, условная вероятность
, а на краснойjочков.
r
rs+
. Мотивация использовать именно такое определение
. Частота, с которой оба событияAиBпроисходят одновре
r
, а частота, с которой происходит событиеA, равна
n
, где исход
r
. Это отношение в точности есть
rs+
означает, что на синей кости выпало
(, )ij
PA B()и
PBA(|)
PBA(|)
к вероятности
rs
+
.От
n
.
есть вероятностная
-
-
-
-
-
-
-
-
Глава 2. Основы теории вероятностей
34
Решение. Есть два возможных подхода к решению данной за
дачи. В обоих подходах применяется правило дополнения. Это
означает, что вместо того, чтобы вычислять вероятность из усло
вия задачи, вы вычисляете дополняющую вероятность того, что на
верхнем этаже нет свободных квартир. Вычитая эту вероятность
из 1, вы получите вероятность того, что на верхнем этаже есть
свободная квартира для сдачи.
Подход 1. Этот подход основан на подсчете, для него требует
ся определить пространство элементарных исходов для данной за
дачи. Элементами такого пространства являются все возможные
комбинации двух из 56 квартир. Количество всех возможных ком
56
æ
ö
ç
бинаций равно
÷
ç
÷
2
è
ø
, в то время как количество возможных
1540
=
комбинаций без свободной квартиры на верхнем этаже равно
48
æ
ö
ç
÷
ç
÷
2
è
ø
. Далее берется отношение количества всех благоприят-
1128
=
ных комбинаций к количеству всех возможных комбинаций:
P(на верхнем этаже нет ни одной свободной квартиры),.
1128
1540
0 7325=
Подход 2. Во втором подходе используются условные вероятности. Представьте себе, что две квартиры освободились одна за
другой. Тогда пустьA— событие «первая освободившаяся кварти
ра расположена не на верхнем этаже», аB— событие «вторая
освободившаяся квартира расположена не на верхнем этаже». Тог
да
PA()=
48
56
и
PB A(| )=
47
. Далее по правилу произведения вы на
55
ходите вероятность того, что на верхнем этаже нет свободных
квартир, и она опять равна 0,7325:
PA B PAPBA( ) ()(| ) , .и ==´=
485647
55
0 7325
Пример 2.6. Три юноши и три девушки планируют вечеринку.
Они договариваются, что двое из них будут мыть посуду после ве
черинки, и тянут жребий, чтобы определить, кто именно. Какова
вероятность того, что мыть посуду придется двум юношам?
Решение. Очень полезная стратегия решения в теории вероят
ностей — проверить, не является ли задача, которую вы решаете,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2.2. Понятие условной вероятности
35
той же самой, что и другая задача, решение для которой более
очевидно. Здесь именно такая ситуация. Искомая вероятность та
кая же, как вероятность вынуть не глядя два красных шара из ко
робки, в которой лежат три красных и три синих шара. Если
представляет событие «первый вынутый шар — красный», а B
представляет событие «второй вынутый шар — красный», тогда
искомая вероятность равна
PA B PAPBA()()(|)и =
36251
ду)
=´ =
.
,выполучитеP(два юноши будут мыть посу
PA B()и
. Поэтому, используя формулу
5
Очевидным обобщением формулы произведения является
формула
PA A A
()
иии
1
PA PA A PA
((| (
))
=´ ´´ иии
1
K
2
2
=
n
L
1
AA A|).K
2n
1
n
-1
Проиллюстрируем это полезное обобщение следующим примером.
Пример 2.7. Какова вероятность того, что вам придется вынуть
пять или более карт из перетасованной колоды в 52 карты, чтобы
среди них попался туз?
Решение. Заметив, что искомая вероятность есть не что иное,
как вероятность не получить туза среди первых четырех выбранных
карт, обозначьте
для
i = 14,,K
. Вероятность
событие «i-я вынутая карта не является тузом»
A
i
иии
PAAAA()
1234
—этовероятность
того, что потребуется вынуть из колоды пять или более карт, чтобы
получить туза. Эта вероятность считается по обобщенной формуле
произведения с
n = 4
иравна
48524751465045
.
07187´´´ =,
49
Другое решение: пусть
тузы», а
—событие«k-я карта — туз». Тогда вероятность
F
k
— событие «первые
E
k
k -1
карт не
по
p
k
лучить первого туза,k-й раз взяв карту из колоды, равна
PE F PE PF E
()()(|)и =
kk k kk
. Проверьте сами, что
-
-
A
-
-
48
æ
ö
ç
÷
ç
÷
k
-
1
è
p
=
k
ø
52
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
k
1
è
ø
´
--
52 1
4
k
()
k
=
12
,,для K,,49
36
Глава 2. Основы теории вероятностей
что дает
å
49
=
p
k
k
=
5
. Никогда не повредит решить задачу раз
07187
,
ными способами. Это дает вам возможность перепроверить полу
ченный ответ.
Рассмотренные выше примеры показывают, что когда вы при
решении задачи используете подход, основанный на условных ве
роятностях, обычно вы сразу переходите к вычислениям, не опре
деляя до этого пространство элементарных исходов. Счетный же
подход требует определения пространства элементарных исходов.
Если в данной задаче применимы оба подхода, то подход, осно
ванный на условных вероятностях, в общем случае оказывается
проще, чем счетный подход.
Для событийAиBс ненулевыми вероятностями формула
PA B
()
PBA
(|)
и
=
PA
()
количественно показывает, как меняется исходная вероятность
, когда появляется новая информация. Если
PB()
PB A PB(| ) ()=
,то
событияAиBназываются независимыми. Эквивалентное определение независимости — это
PA B PAPB()()()и =
. Понятие незави-
симости будет рассмотрено дальше в разделе 2.7.
Начинающие студенты иногда думают, что независимые событияAиBс ненулевыми вероятностями несовместны. Это неверно, и вот почему:
время как
PA B PAPB()()()и =>0
PA B()и = 0
,когдаAиBнесовместны, в то
,когдаAиBнезависимы.
-
-
-
-
-
Задача 2.10. Пятеро друзей сидят за столом в ресторане. Двое
заказали белое вино, а остальные трое — красное. Официант за
был, кто что заказывал, поэтому принес напитки и расставил их
перед посетителями в случайном порядке. Какова вероятность
1
того, что каждый получил то, что заказывал? (Ответ:
.)
10
Задача 2.11. В мешке лежат 14 красных карт и 7 черных. Вы
вынимаете две карты из мешка случайным образом. Докажите, что
более вероятно вынуть одну красную и одну черную карту, чем
14
13
и
две красные карты. (Ответ: вероятности этого равны
30
.)
30
Задача 2.12. Некто бросил две игральные кости так, что вы их
не видите. Вы просите этого человека ответить «да» или «нет» на
-
2.2. Понятие условной вероятности
37
вопрос, выпала ли при броске шестерка. Он правдиво отвечает
«да». Какова вероятность того, что при броске выпало две шестер
ки? (Ответ:
1
.)
11
-
Задача 2.13. Среди 10 людей разыгрывается приз. В предвари
тельно согласованном порядке каждый участник вытягивает лоте
рейный билет из вазы с 10 билетами, среди которых один выиг
рышный. Чему равна вероятность того, что приз выиграетk-й
1
участник? (Ответ:
для любогоk.)
10
Задача 2.14. В шуточном телевизионном шоу идет игра «яич
ная русская рулетка». Двум участникам вручают упаковку яиц,
в которой в случайном порядке лежат четыре вареных вкрутую
яйца и два сырых. Участники по очереди берут яйцо и разбивают
его об собственную голову. Чему равна вероятность того, что первый игрок разобьет первое сырое яйцо? (Ответ: 0,6.) Как эта вероятность изменится, если в упаковке лежат пять вареных яиц
и одно сырое? (Ответ: 0,5.)
Задача 2.15. Четыре британских команды оказались среди восьми команд, вышедших в четвертьфинал чемпионата футбольной
лиги. Какова вероятность того, что эти четыре британских команды
не будут играть друг с другом в четвертьфинале, если восемь команд
8
разобьют на пары случайным образом? (Ответ:
.) Подсказка:
35
представьте себе вазу, в которой лежат четыре красных и четыре си
них шара и из которой вынимают по два случайно выбранных
шара. Чему равна вероятность того, что каждый раз вы будете вы
нимать красный и синий шар? Решать вероятностную задачу часто
становится проще, если преобразовать ее в эквивалентную.
Задача 2.16. Если выбрать случайным образом двух детей из
семьи Джонсонов, с вероятностью 50% у обоих детей будут голу
бые глаза. Сколько детей в семье Джонсонов и сколько среди них
детей с голубыми глазами? (Ответ: 4 и 3.)
Задача 2.17. Ваш друг хорошенько встряхнул коробочку с дву
мя игральными костями внутри. Затем он открыл коробочку и по
смотрел внутрь. Ваш друг честен с вами и всегда говорит, когда
видит, что выпала шестерка. В этом случае (когда шестерка) он
-
-
-
-
-
-
-
-
-
38
Глава 2. Основы теории вероятностей
заключает с вами пари с равными шансами на то, что на каждой
кости выпало четное число очков. Есть ли у вас преимущество
6
в этой игре? (Ответ: да, ваша вероятность выигрыша
.)
11
2.3. Закон условной вероятности
Предположим, что в закрытой коробке лежит один шар. Этот шар
белый. Положим в коробку еще один шар, причем этот шар с одина
ковыми вероятностями либо белый, либо красный. Далее вслепую
вынем один шар из коробки. Чему равна вероятность того, что этот
шар белый? Рассуждение в этом случае следующее. Вероятность вы
нуть белый шар равна 1, если в коробку был добавлен белый шар,
1
иравна
ся разумным усреднить эти условные вероятности по вероятности
того, что был добавлен белый шар, и по вероятности того, что был
добавлен красный. Обе вероятности равны
закон позволяет вычислить вероятность
подобранных обусловливающих событий
жны быть такими, чтобы событиеAмогло случиться, только если
произойдет одно из событий
жны быть несовместными. Тогда
, если в коробку был положен красный. Интуитивно кажет-
2
1
.Поэтому
2
P(.вынутый шар белый) =´ + ´ =1
1212123
4
Мы наблюдаем проявление закона условной вероятности.Этот
с помощью правильно
PA()
и
B
или
B
1
, а сами события
B
2
можно вычислить как
PA()
. Эти события дол
B
1
2
и
B
дол
B
1
2
-
-
-
-
PA PAB PB PAB PB() (| )( ) (| )( )=+
11
,
22
Это очень полезное правило для вычисления вероятностей1.
Обобщение на случай более чем двух обусловливающих событий
очевидно. В общем случае выбор обусловливающих событий са
B
i
моочевиден. В предыдущем примере с двумя шарами обусловлива
1
Доказательство этого правила очень простое. ПосколькуAможет произойти,
только если произошло одно из событий
PA PA B PA B() ( ) ( )=+ии
произведения приводит к
1
(согласно аксиоме 3 из раздела 2.1). Далее правило
2
PA PAB PB PAB PB() (| )( ) (| )( )=+
или
B
B
2
1
11
, и события
22
и
B
1
.
несовместны,
2
B
-
-
2.3. Закон условной вероятности
39
ющее событие
а
— «в коробку добавили красный шар».
B
2
— это событие «в коробку добавили белый шар»,
B
1
Пример 2.8. Пьяница стер две случайно выбранных буквы из
объявления HAPPY HOUR, написанного мелом на доске, стоящей
у входа в паб. Его не менее пьяный друг вписал эти буквы обратно
в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получи
лась надпись HAPPY HOUR?
Решение.ПустьA— событие «надпись HAPPY HOUR снова
появилась». Чтобы вычислить
обусловливающих события
двеодинаковыебуквы»,а
B
1
B
2
и
— событие «были стерты две разные
, очевидно, необходимы два
PA()
B
,где
2
— событие «были стерты
B
1
буквы». Чтобы применить закон условной вероятности, вам нужно
знать вероятности
вероятности легко найти:
PB()
1
, поскольку
PB()
1
и
требуют некоторых размышлений. Достаточно найти
PB()
2
PB PB() ()
,
PB()
1
21
PB()
2
PAB(| )
1=-
,
PAB(| )
1
. Вероятность
1
и
1=
и
PAB(| )
PAB(| )
2
. Две последние
2
1
. Вероятности
=
2
— это сумма
PB()
1
вероятности того, что пьяница стер две буквы H, и вероятности
того, что он стер две буквы P. Каждая из этих двух вероятностей
равна
29181
´=
по правилу произведения. Таким образом,
36
PB()
1
1
и
=
PB()
18
17
. Согласно закону условной вероятности,
=
2
18
PA() ,=´ + ´ =1
11812171819
36
и поэтому вероятность того, что надпись появится снова в перво
начальном виде, равна
19
.
36
-
-
Задача 2.18. Майкл приходит домой вовремя с вероятностью
0,8. Если Майкл не приходит домой вовремя, вероятность того,
что его ужин подгорит, равна 0,5; в противном случае эта вероят
ность равна 0,15. Чему равна вероятность того, что ужин Майкла
подгорит? (Ответ: 0,22.)
Задача 2.19. Ваш друг случайным образом выбрал карту из
стандартной колоды в 52 карты, но вам он эту карту не показыва
ет. Вам нужно угадать, какую из 52 карт он выбрал. Прежде чем
это делать, вы можете спросить друга о том, является ли масть
-
-
Глава 2. Основы теории вероятностей
40
этой карты красной, или о том, является ли эта карта тузом пик.
Ваш друг ответит вам правду. Какой вопрос вы ему зададите? (От
вет: вероятность правильно угадать в обоих случаях равна
1
.)
26
Задача 2.20. В непрозрачном аквариуме плавает рыбка. Она
с одинаковой вероятностью может оказаться либо пираньей, либо
золотой рыбкой. Любитель суши сажает в этот аквариум к первой
рыбке пиранью. Затем немедленно, до того, как одна рыбка может
съесть вторую, он не глядя вынимает одну из рыбок из аквариума.
Эта рыбка оказывается пираньей. Какова вероятность того, что
рыбка, плававшая в одиночку в аквариуме изначально, была пира
ньей? (Ответ:
2
.)
3
Задача 2.21. При розыгрыше лотереи 6/45 шесть разных чисел
случайным образом выбираются из чисел от 1 до 45. Вы выиграете
главный приз, если правильно предскажете все шесть выбранных
чисел. Если вы правильно предскажете ровно два числа, вы получите бесплатный лотерейный билет для следующего розыгрыша.
Какова вероятность того, что вы когда-нибудь выиграете главный
приз, если вы покупаете лотерейный билет только один раз за всю
7
-
свою жизнь? (Ответ:
, ´
1447 10
.)
-
-
Задача 2.22. На телевизионном шоу «Сделка или нет» вы видите 26 портфелей, в которых лежат различные суммы денег, вклю
чая $2 500 000 и $1 000 000. Сначала вы выбираете один портфель.
Этот портфель «ваш», и он выбывает из игры до самого ее конца.
Затем вы начинаете игру и в каждый раунд открываете несколько
портфелей. Какова вероятность того, что в конце игры портфели
с $2 500 000 и $1 000 000 останутся не открытыми, если вы соби
3
раетесь открыть 20 портфелей? (Ответ:
.)
65
2.4. Байесовская вероятность
Понятие байесовской вероятности тесно переплетено с понятием
условной вероятности. Формула Байеса, которая есть не что иное,
как результат логического мышления, является самым важным
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]