Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3.7. Критерий хи-квадрат

121

-частиц, испускаемых образцом радиоактивного материала, под

считывалось в течение 2 608 временных интервалов по 7,5 секун ды каждый. Если обозначить O

количество интервалов с ровно

испущенными частицами, данные эксперимента распределились так:

273=

57=

. Соответствуют ли частоты, полученные в ходе экспери

O1203=

O7139=

мента, пуассоновским частотам? (Ответ: да,

O2383=

O845=,O927=,O1010=,O114=,O120=,O131=

O3525=

P(,),c

O4532=

12 961 0 226³=

O5408=

Приложение: пуассоновские и биномиальные вероятности

В этом приложении показано, что пуассоновское распределение можно получить как предельное распределение биномиальных вероятностей

knk

pp k n

Еслиnстремится к бесконечности, аpк нулю так, чтоnpстре-

мится к константе

, биномиальные вероятности

l>0

к пуассоновским вероятностям

Чтобы избежать технических сложностей, мы докажем пре

дельный результат только для случая, когдаnpфиксировано и все

гда равно

knk

()1

ç è

æ ç

. Тогда доказательство следующее: запишите

pn=

÷ ø

ввиде

knk

ll ll

ll l

ç è

ö ÷

÷ ø

é ê

nn k

nnnkn k

() ,,,.101для K

-l

!( ) !

()!

,, .для 01 K

(/n

æ ç

-k

(/)

сходятся

)

, ,

Следующий шаг доказательства: зафиксируемkи проанали

зируем сомножители полученного выражения по отдельности.

Первый сомножитель

оставляем как есть. Второй сомножитель

k !

122

Глава 3. Полезные распределения вероятностей

æ ç

1 -

стремится к

-l

,когдаnстремится к бесконечности. Тре

тий сомножитель можно записать в виде

nn k

()!

nn n k

()( )

--+

1111

ç è

kn1

1LK

ç è

÷ ø

То есть для фиксированногоkтретий сомножитель стремится

к1,когдаnстремится к бесконечности. Для фиксированного

последний сомножитель

ç è

1 -

также стремится к 1, когда

стремится к бесконечности. Это завершает доказательство.

ПустьX— случайная величина с пуассоновским распределе-

нием и параметромl.Тогда

EX X() () .==ls lи

Чтобы это доказать, используйте соотношения

åå

которые легко доказать, если учесть, что

()!k -2

поэтому

EX()

jj-=

=+llиsl

=-=

kk e

()

,и

kkk kk!()!()=´-= -11

. Это дает

1/!

()X =

EX()=lиEX X[( )]-=12l

Прореженное пуассоновское распределение

ПустьX— распределенная по Пуассону случайная величина с па раметромl. Представьте себеXкак количество событий, которые произойдут в данный период времени. Вообразите, что каждое со бытие будет отмечено с вероятностью ченным с вероятностью

независимо от любого другого

1=-

события. Пусть случайная величина меченных событий, а событий. Тогда величины с параметром личины

при

не зависят друг от друга.

XXX

имеют пуассоновское распределение

, и, что гораздо более удивительно, ве

i = 12,

либо оставлено неотме

обозначает количество от

— количество неотмеченных

3.7. Критерий хи-квадрат

123

Доказательство этого очень простое, оно еще раз показывает близкие связи между пуассоновскими и биномиальными вероят ностями. Во-первых, обратите внимание, что

PX j X k PX j X j k

()( )

=====+=

ии

PX j kPX jX j k

()(| ),

==+ ==+

согласно формуле

PX j X k e

()

===

идля

Записав получите

ç ç

PX j X k e

()

идля

PA B PBPAB()()(|)и =

ö ÷

=+( )!/ ( ! !)

÷ ø

()!

jk jk

()

. Это дает

æ ç

ç è

pp jk

и переставив сомножители, вы

()

Доказательство почти завершено. Просуммировав

= )поk

pj-l

epj

при

k !

для всех

, вы получите пуассоновское распределение

()/!

k = 01,,K

jk,

при

j = 01,,K

.Таккак

.Аналогично

PX j X k PX jPX k()()()

12 1 2

, случайные величины

=====и

PX k e p

() ()

независимы.

= 01,.K

==-ll

01=== ´ =

PX j(

PX j()

ГЛАВА 4

ПРИМЕРЫ ПУАССОНОВСКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗ РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ

Понятие пуассоновского распределения было введено в разделе 3.2. Оно хорошо подходит для моделирования ситуаций, в которых су ществует очень большое число возможностей для наступления не которого события, но для каждой из них шансы наступления собы тия очень низкие. Пуассоновское распределение почти так же важно, как нормальное распределение. При этом нормальное распределение имеет два параметра, а именно «математическое ожидание» и «стандартное отклонение», а распределение Пуассона зависит только от своего математического ожидания (его стандартное отклонение равно квадратному корню из математического ожидания). В этой главе мы приводим примеры неожиданных применений распределения Пуассона в повседневной жизни.

4.1. Мошенничество в канадской лотерее

В канадской провинции Онтарио у полиции в определенный мо мент возникли серьезные подозрения, что сотрудники лотереи во руют выигрышные лотерейные билеты у людей, пришедших про верить свой лотерейный билет в пункт продажи. Этим людям, обычно пожилым, говорили, что билет оказался не выигрышным, и его можно выкинуть в урну. Затем продавец лотерейных билетов предъявлял выигрышный билет организаторам лотереи и при карманивал деньги. Дело начало раскручиваться, когда пожилой участник лотереи, который всегда заполнял билет одинаковым на бором чисел, обнаружил, что в 2001 году приз в размере $250 000 у него забрал работник торговой точки.

Как доказать, что в лотерейной системе происходит крупное

мошенничество? Хорошо известный канадский профессор теории

4.1. Мошенничество в канадской лотерее

125

вероятностей Джеффри Розенталь показал, что мошенничество имеет место. В его статистическом анализе происходящего глав ную роль играло пуассоновское распределение. Как же он это сде лал? Розенталь сотрудничал с крупным канадским телевизионным каналом. Телеканал провел расследование на основе закона о сво боде информации, и оно показало, что за период 1999—2006 годов случилось 5 713 крупных выигрышей (на сумму $50 000 или боль ше), из них 200 призов получили продавцы лотерейных билетов. Можно ли это объяснить чистой случайностью? Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно знать, сколько сотрудников работают в точках продажи лотерейных билетов. В Онтарио таких точек продажи оказалось 10 300. Согласно исследованию, проведенному телеканалом, среднее количество работников на одну точку со ставляло 3,5, или всего примерно 36 тысяч сотрудников. Организация, проводившая лотерею, опровергла это число и сообщила, что количество продавцов лотерейных билетов составляет 60 тысяч. Вам также нужно знать, сколько средний продавец лотерейных билетов тратит на покупку лотерейных билетов по сравнению со средним взрослым жителем Онтарио. По оценке телеканала, средние расходы на лотерейные билеты для всех продавцов лотерейных билетов оказались примерно в 1,5 раза выше, чем средние расходы на лотерейные билеты, вычисленные для всего 8,9 миллионного взрослого населения Онтарио.

Давайте вычислим вероятность того, что продавцы лотерейных билетов выиграют 200 или больше из 5 713 крупных призов при том, что продавцов лотерейных билетов 60 тысяч, и коэффициент расходов для них равен 1,5. В этом случае математическое ожида ние выигрышей крупных призов среди продавцов лотерейных би летов можно оценить как

60000 1 5

5713

´=,

8900000

57´

В силу физической основы распределения Пуассона как рас пределения вероятности общего количества успехов для очень большого числа независимых испытаний, каждое из которых име ет очень маленькую вероятность успеха, мы можем использовать пуассоновское распределение для моделирования количества вы игрышей среди продавцов лотерейных билетов. Распределение Пуассона имеет приятную особенность: его стандартное отклоне

126

Глава 4. Примеры пуассоновских вероятностей из реальной жизни

ние равно квадратному корню из его математического ожидания. Более того, почти все значения случайной величины с пуассонов ским распределением отстоят не больше чем на три стандартных отклонения от ее математического ожидания, если это математи ческое ожидание не слишком мало (см. раздел 3.2.) Двести побе дителей лотереи среди продавцов лотерейных билетов находятся в

200 57

19-»

стандартных отклонениях вверх от математического ожидания. Вероятность, соответствующаяz-оценке для 19, чрезвычайно мала (порядка

49-

) и ясно свидетельствует, что действительно имело

место крупное мошенничество.

Организация, проводившая лотерею, выразила протест против этих расчетов и представила новые цифры. Изменится ли вывод о наличии крупного мошенничества, если использовать радужные данные о 101 000 продавцов лотерейных билетов и коэффициенте расходов 1,9 для них? Используя эти данные, вы получите оценку

101000 1 9

5713

´»,

8900000

123´

для математического ожидания числа победителей среди продавцов лотерейных билетов. Двести выигравших все еще отстоят на

200 123

123

7-»

стандартных отклонений от полученного математического ожида ния. В этом случаеz-оценка равна 7, и соответствующая ей веро ятность пренебрежимо мала (порядка

), так что случайной

10 флуктуацией и тут положение не объяснить. Не могло быть со мнений, что в местах продажи лотерейных билетов действительно имело место крупное мошенничество. Это подтвердилось и ре зультатами полицейского расследования, что привело к внедре нию новых мер защиты клиентов. Процедуры проверки были скорректированы. Автоматы для проверки билетов в торговых центрах теперь должны быть видны клиентам и издавать громкие звуки в случае выигрыша. Клиенты должны подписывать лотерей ный билет своим именем, прежде чем предъявлять его для провер ки, чтобы предотвратить подмену билетов.

4.2. Бомбардировки Лондона во время Второй мировой войны

127

Важным и широко известным применением пуассоновской моде ли является статистический анализ попаданий баллистических ракет Фау-1 и Фау-2 по Лондону во время Второй мировой вой ны. Британские власти очень хотели знать, можно ли точно на вести это оружие на определенную цель или же места попадания случайны. Если ракеты действительно нацеливались случайным образом, англичане могли просто рассредоточить важные объек ты, и таким образом уменьшить вероятность их поражения. Рай он в Южном Лондоне площадью 36 квадратных километров был поделен на 576 маленьких районов 250 метров в длину и 250 метров в ширину каждый, и было подсчитано число попаданий в каждый маленький район. Получилось 229 районов с нулем попаданий, 211 районов с одним попаданием, 93 района с двумя попаданиями, 35 районов с тремя попаданиями, 7 районов с четырьмя, 1 район с пятью, и 0 районов с шестью и более попаданиями. Эти 576 районов были обстреляны

229 0 211 1 93 2 35 3 7 4 1 5 535´+ ´+ ´+ ´+´+´=

бомбами, так что

среднее число попаданий на один район было равно

535

l= =

576

09288,.

Если окажется, что число попаданий по районам близко к пу ассоновскому распределению с математическим ожиданием 0,9288, то можно будет с уверенностью сделать вывод, что ракеты падали случайным образом, ввиду свойств двумерного пуассонов ского процесса на плоскости. Вы могли бы ожидать

0 9228

=´

576

09288,

районов с ровноkпопаданиями для

k = 01,,K

, если количество по паданий на район имеет приблизительно пуассоновское распреде ление с математическим ожиданием 0,9288. Вычислив k = 01 5,, ,K

,выполучите

VVVVVV

227 5 211 3 981 30 4 71 1 3======,, ,, ,, ,, , ,.и

23 4 5

для

128 Глава 4. Примеры пуассоновских вероятностей из реальной жизни

Вы можете видеть, что наблюдаемые относительные частоты 229, 211, 93, 35, 7 и 1 для количества попаданий все весьма близки к теоретически рассчитанным относительным частотам, соответ ствующим пуассоновскому распределению (формально почти-пу ассоновость распределения можно доказать с помощью критерия «хи-квадрат» из раздела 3.7). На основании этого можно было за ключить, что распределение попаданий по Южному Лондону с большой вероятностью было распределением такого вида, когда ракета падает в любой из маленьких районов с одинаковой веро ятностью независимо от других ракет. Статистический анализ по зволил британским военным сделать вывод, что ракетные удары наносятся случайным образом и точное их нацеливание невоз можно.

4.3. Выиграть в лотерею дважды

Четырнадцатого февраля 1986 года один из заголовков The New York Times гласил: «Жительница Нью-Джерси выиграла в Лотерее штата Нью-Джерси дважды за четыре месяца». Первый раз она сорвала джекпот 23 октября 1985 года в лотерее 6/39. Затем выиграла второй джекпот в розыгрыше новой лотереи 6/42 13 февраля 1986 года. В лотерее вида

rs/ r выбираются случайным образом из чисел от 1 доs, и вы выигры ваете джекпот, если правильно угадаете все шесть номеров. Организаторы Лотереи штата Нью-Джерси заявили, что вероятность выиграть джекпот дважды одному человеку равна приблизительно один на 17,1 триллиона. Что вы думаете об этом утверждении? Его легко проверить. Вычисления организаторов верны только в том крайне неправдоподобном случае, если этот человек купил один билет лотереи 6/39 и один билет лотереи 6/42 за всю свою жизнь. В этом случае вероятность угадать все шесть чисел оба раза для него равна

различных номеров поочередно

выигрышных

æ ç

ç è

В оригинале опечатка, должно бытьr.—Прим. перев.

171 10

´,

4.3. Выиграть в лотерею дважды

129

Однако событие «некто выиграл джекпот дважды» будет дале ко от сенсационного, если вы примете во внимание очень боль шое число людей, которые играют в лотерею на протяжении мно гих недель. Объяснение этому дает закон действительно больших чисел: любое событие с ненулевой вероятностью в конце концов произойдет, если ему предоставить достаточно возможностей для этого. Проиллюстрируем этот лотерейный принцип, рассмотрев много розыгрышей лотереи 6/42 в мире, где розыгрыши проводят ся дважды каждую неделю. Предположим, что для каждого розыг рыша каждый из 50 миллионов человек заполняет пять лотерей ных билетов. Тогда вероятность того, что один из них выиграет джекпот по крайней мере дважды за последующие четыре года, близка к 1. Вычисление этой вероятности основано на распреде лении Пуассона и делается следующим образом. Вероятность выиграть джекпот в некоторую заданную неделю, если заполнить пять билетов, равна

=´

9 531 10

В силу физического происхождения распределения Пуассона, имеет смысл моделировать количество раз, когда данный игрок выиграет джекпот в следующие

4522 416´´=

розыгрышей лотереи 6/42 пуассоновским распределением с математическим ожиданием

416

=´

3965 10=´

Для будущих 416 розыгрышей это означает, что

P(данный игрок выиграет джекпот два или более раза) =

=- - = ´

1785910

l ,.

Далее, опять использовав физическое происхождение пуас соновского распределения, мы можем сделать вывод, что среди 50 миллионов человек количество людей, которые выиграют джекпот два или более раза за последующие четыре года, распре делено по Пуассону с математическим ожиданием

l= ´ ´ =

50000000 ( , ) , .7859 10 393

130

Глава 4. Примеры пуассоновских вероятностей из реальной жизни

Таким образом, вероятность того, что в какой-то момент за будущие четыре года, по крайней мере, один из 50 миллионов иг роков выиграет джекпот дважды или более, можно считать равной

-el

10980-=

Эта вероятность очень близка к 1! Для проведения этих вычис лений было сделано несколько упрощающих допущений, напри мер, предполагалось, что каждый игрок для каждого лотерейного билета выбирает шесть чисел случайным образом. Это не влияет на вывод, говорящий, что можно ожидать, что иногда за короткий период времени кто-то выиграет джекпот дважды.

4.4. Санта-Клаус и экстрасенс

В 1996 году Джеймс Рэнди, бывший знаменитый фокусник, основал Образовательный фонд Джеймса Рэнди, чтобы бороться с мошенничеством и лженаукой и разоблачать их. Целью фонда было донести до общественности и СМИ информацию об опасностях, связанных с деятельностью экстрасенсов и медиумов. Джеймс Рэнди предлагал награду в 1 миллион долларов любому, кто сможет продемонстрировать экстрасенсорные способности. Разумеется, демонстрация должна была проходить в поддающихся провер ке условиях, обговоренных заранее. Например, некто вроде Ури Геллера, который утверждал, что может гнуть ложки, не прикаса ясь к ним, не мог принести на такую демонстрацию свои ложки. Разные экстрасенсы пытались получить награду, но ни один не преуспел. Медиум Дерек Огилви, специализировавшийся на теле патическом общении с маленькими детьми, был одним из тех, кто принял вызов. Он утверждал, что способен видеть на расстоянии с помощью экстрасенсорных способностей. Огилви было позволе но выбрать ребенка, с которым он, как он думал, мог установить телепатический контакт, и далее было проведено следующее ис пытание. Огилви показали десять разных игрушек, которые будут давать ребенку по одной в случайном порядке и так, чтобы меди ум этого не видел. Ребенка поместили в изолированную комнату, и каждый раз, как он получал игрушку, медиума спрашивали, ка кая это игрушка. Если бы медиум ответил правильно шесть или

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]