Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории вероятностей. Что следует знать студенту-математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

4.4. Санта-Клаус и экстрасенс

131

более раз, он выиграл бы миллион долларов. Чему равна вероят ность шести или более правильных ответов?

В действительности, эта задача является вариацией задачи Санта-Клауса: на новогоднюю вечеринку каждый из группы детей приносит подарок, после чего дети тянут жребий, чтобы опреде лить, кому какой подарок достанется. Чему равна вероятность того, что ни один из детей не получит свой подарок?

Эту вероят ность легко найти с помощью пуассоновской эвристики. Предпо ложим, что на вечеринку пришлоnдетей, и представим себе, что эти дети пронумерованы числами

12,, ,K n

. Задачу Санта-Клауса можно сформулировать в виде задачи для последовательности испытаний. Вi-м испытании тянет жребий ребенок с номеромi. Будем говорить, что испытание закончилось успешно, если ребе нок вытащил жребий, указывающий на его/ее собственный подарок. Тогда вероятность успеха каждого испытания одинакова иравна

()!

-=11

!nnn

(поэтому порядок, в котором тянут жребий, не имеет значения). Таким образом, математическое ожидание числа успехов равно

nn´=11

независимо от значенияn. Исходы испытаний не являют-

ся независимыми друг от друга, но эта зависимость «слаба», если достаточно велико. Вероятность успеха

мала для большихn.Да

лее, как мы уже говорили ранее в разделе 3.2, вы можете исполь зовать пуассоновскую эвристику для распределения вероятностей общего количества успехов. Это вероятностное распределение за тем аппроксимируется пуассоновским распределением с матема тическим ожиданием 1. Таким образом, поскольку «успех» означа ет, что ребенок получает свой собственный подарок, вы получите для

kn=12,, ,K

-1

P(ровно детей полуїат свои собственные подарки)k »

Задача Санта-Клауса и ее вариации сводятся к следующей комбинатор ной задаче. Возьмите случайную перестановку целых чисел равна вероятность того, что ни одно из чисел не осталось на своем первона чальном месте?

12,, ,K n

. Чему

132

Глава 4. Примеры пуассоновских вероятностей из реальной жизни

Это — удивительно хорошее приближение при

n ³10

(у при ближенного и точного значений первые семь цифр после запятой совпадают уже приn, равном десяти). В частности, взяв

k = 0

,по

лучим, что вероятность никому из детей не получить свой подарок равна примерно

0 36787

= , K

, или около 36,8%, независимо от ко

личества детей.

Возвращаясь к эксперименту с медиумом, скажем, что Джей мсу Рэнди почти ничто не угрожало расстаться с деньгами. Ве роятность шести и более правильных ответов при случайном уга дывании практически равна пуассоновской вероятности

1 0 0006

, или примерно 0,06%. Возможно, до испыта

ния медиум думал, что наиболее вероятный исход состоит в угадывании пяти правильных ответов, и в такой ситуации угадать шестой ответ не так уж невероятно, так почему бы не попробовать. На испытании же он дал всего один правильный ответ.

4.5. Дни рождения и 500 «Олдсмобилей»

В 1982 году организаторы квебекской Суперлотереи решили по тратить фонд невостребованных призов на то, чтобы приобрести 500 автомобилей «Олдсмобиль» и разыграть их как бонусный приз среди 2,4 миллиона подписчиков Суперлотереи в Канаде. Для это го они дали компьютеру 500 раз случайным образом выбрать один из 2,4 миллионов регистрационных номеров, принадлежащих под писчикам. К крайнему удивлению организаторов лотереи, к ним обратился один из подписчиков и сообщил, что выиграл два «Олдсмобиля». Программисты лотереи забыли запрограммировать компьютер так, чтобы он не выбирал дважды один и тот же реги страционный номер. Вероятность того, что заранее выбранный подписчик выиграет автомобиль два раза действительно астроно мически мала, однако вероятность того, что среди 2,4 миллиона подписчиков окажется кто-то, чей номер появится по крайней мере дважды в списке 500 выигравших номеров, уже не так мала. Она равна примерно 5%. Это маленькая вероятность, но вовсе не

4.5. Дни рождения и 500 «Олдсмобилей»

133

пренебрежимо маленькая. Как вычислить эту 5% вероятность? Чтобы это сделать, сведем задачу о лотерее к парадоксу дней рож дения на планете, в которой год состоит из и к группе из

m = 500

инопланетян, сформированной случайным

d = 2400000

дней,

образом. Какова вероятность того, что у двух или более иноплане тян день рождения один и тот же, если мы предполагаем, что все дни года имеют одинаковую вероятность быть днями рождения? Эта вероятность хорошо аппроксимируется выражением

mm d()/

Приведенную формулу легко получить, воспользовавшись пу

ассоновской эвристикой. Существует

=-()

различных

комбинаций пар инопланетян. Для каждой комбинации есть оди-

наковая вероятность успеха

, то есть того, что эти два иноплане-

тянина имеют общий день рождения. Другими словами, у вас есть очень большое количество

испытаний, каждое из кото-

1mm()-

рых имеет одинаковую крошечную вероятность успеха

.Зависи-

мость между испытаниями очень слаба, так что вероятность не достичь успеха приблизительно равна пуассоновской вероятности

-l

,где

l= - ´

mmd()

— математическое ожидание числа

2 успешных испытаний. Это доказывает приведенную выше при ближенную формулу.

Отождествив «Олдсмобили» с инопланетянами и регистраци

онные номера с днями рождения и подставив

d = 2400000иm = 500

в приближенную формулу, вы получите примерное значение, рав ное 0,0507, для вероятности выиграть два или более «Олдсмобиля» одному подписчику лотереи. Это примерное значение на самом деле является очень хорошим приближением, у него совпадают с точным значением первые пять знаков после запятой. Точная формула для вероятности двух или более совпадающих дней рож дения имеет вид

()( )

--+dd d m

Глава 4. Примеры пуассоновских вероятностей из реальной жизни

134

это можно показать рассуждением, аналогичным рассуждению для классического парадокса дней рождения с 365 равновероятными днями, см. раздел 1.2. В классическом парадоксе 23 человек доста точно, чтобы вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух из них была пятьдесят на пятьдесят, если мы предполагаем, что все дни года имеют одинаковую вероятность быть днями чье го-то рождения. В реальной жизни количество дней рождения не распределено равномерно по всему году, а подвержено сезонным изменениям. Однако для такой вариации частоты рождений, кото рую можно увидеть в реальности, вероятность совпадений очень нечувствительна к отклонениям от равномерной частоты рожде ний. Были проведены эмпирические исследования, которые под тверждают этот факт. Например, в чемпионате мира по футболу в 2014 году участвовали 32 команды из разных стран, по 23 игрока в каждой команде. Оказалось, что в 18 командах дни рождения совпали хотя бы у одной пары игроков (а на чемпионате мира по футболу 2018 года — в 15 командах). В чемпионате мира по женскому футболу в 2019 году участвовало 24 команды по 23 игрока в каждой, и в 10 командах дни рождения совпали, по крайней мере, у одной пары футболисток.

Задача 4.1. Тринадцать карт определенной масти берутся из стандартной колоды в 52 карты и тщательно тасуются. Крупье переворачивает карты одну за другой, называя: «Туз, двойка, тройка,K, король». Совпадение происходит, если перевернутая карта соответ ствует тому, что называл крупье, когда ее переворачивал. Какова

вероятность наступления такого совпадения? (Ответ:

= ,

0 3679

Задача 4.2. Человек с завязанными глазами пробует десять раз ных вин. Предварительно ему говорят названия участвующих ви ноделен, но не говорят, в каком порядке будут подаваться десять вин. Человек может назвать каждую винодельню только один раз. Во время дегустации человек смог правильно назвать пять из де сяти виноделен. Как вы думаете, он действительно знаток вин? (Ответ: да,

P( 5 успехов їистым угадыванием³=´

),366 10

Задача 4.3. Вы сидите в классе, в котором 15 учеников. Учи тель случайным образом раздает проверенные письменные конт рольные по одной в руки каждому ученику. Чему равна вероят

4.5. Дни рождения и 500 «Олдсмобилей»

135

ность того, что вы единственный из класса получите свою проверенную контрольную? (Ответ: 0,0245.)

Задача 4.4. Какова пуассоновская аппроксимация для вероят ности того, что два или более инопланетянина из задачи о днях рождения в разделе 4.5 имеют дни рождения на расстоянии одно

mm d()/

го дня друг от друга? (Ответ:

Задача 4.5. Какова пуассоновская аппроксимация вероятности того, что никакие две карты одинакового ранга (например, два туза) не идут одна сразу за другой в хорошо перетасованной коло де в 52 карты? (Ответ:

-3

Задача 4.6. Какова пуассоновская аппроксимация вероятности того, что одна и та же комбинация из пяти чисел выпадет два или более раз в следующих 100 розыгрышах лотереи 5/32? (Ответ: 0,0243.)

ГЛАВА 5

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО И ВЕРОЯТНОСТИ

Компьютерное моделирование — естественный партнер теории вероятностей, оно позволяет сымитировать конкретную вероятно стную ситуацию на компьютере. В этой главе вы увидите, как ра ботает компьютерное моделирование и как можно моделировать многие вероятностные задачи с помощью относительно простых инструментов не трюк и не панацея, оно требует навыков построения математических моделей и алгоритмического мышления. В этой главе в основном говорится о математических моделях, лежащих в основе компьютерного моделирования, а не о собственно программировании.

5.1. Введение

. Вы увидите, что компьютерное моделирование —

Компьютерное моделирование случайных событий методом Мон те-Карло — мощный инструмент вероятностного анализа, широко используемый как в инженерных, так и в неинженерных областях. Свое название он получил по названию района Монте-Карло в Княжестве Монако, где находится всемирно известное казино. Компьютерное моделирование методом Монте-Карло изначально использовалось для решения задач рассеяния нейтронов при со здании атомной бомбы в Лос-Аламосской национальной лабора тории в 1944 году. Со времен своего появления во время Второй мировой войны компьютерное моделирование методом МонтеКарло остается одним из наиболее используемых инструментов

Закон больших чисел дает математическое обоснование для примене ния компьютерного моделирования при решении вероятностных задач. Вероятность данного события в случайном эксперименте можно оценить по относительной частоте появления этого события при очень большом числе повторов эксперимента.

5.1. Введение

137

в научной практике. В дополнение к этому, метод Монте-Карло — очень полезный инструмент для добавления дополнительного из мерения в преподавание и изучение теории вероятностей. Он мо жет помочь лучше понять идеи теории вероятностей, а также пре одолеть распространенные заблуждения относительно природы «случайности».

Например, можно «вживую» посмотреть, как работает ключе вое понятие теории вероятностей — закон больших чисел, на блюдая результаты множества смоделированных экспериментов. Природу этого закона лучше всего проиллюстрировать с помо щью эксперимента с бросками монеты. Закон больших чисел го ворит нам, что процент бросков, в которых выпадает орел, ока жется настолько близок к 50%, насколько вы только можете себе представить, если количество бросков будет достаточно велико. Но насколько велико это «достаточно»? Эксперименты показали, что относительная частота выпадения орлов может продолжать существенно отклоняться от 0,5 после большого числа бросков, хотя и становится ближе и ближе к 0,5, когда количество бросков растет. Сходимость к значению 0,5 обычно происходит достаточно хаотично. Ход азартной игры, хотя в конце концов он и стремится к среднему в общем смысле, часто выглядит как достаточно причудливый процесс. Чтобы показать это, было проведено компьютерное моделирование 100 000 бросков монеты. Результат моделирования показан в табл. 2; если еще раз запустить программу этого компьютерного моделирования, она даст другие

числа. Статистика (статистический показатель)

—это

2 наблюдаемое количество орлов минус математическое ожидание количества орлов послеnбросков, а статистика

—этонаблю

даемая относительная частота выпадения орлов заnбросков. Стоит посмотреть на результаты, представленные в табл. 2, по внимательнее. Вы видите, что реализация относительной частоты

действительно приближается к точному значению вероятности

довольно хаотично, и сходится к нему более медленно, чем боль шинство из нас ожидало бы интуитивно. Именно поэтому следу ет с подозрением относиться к результатам компьютерного моде лирования, состоящего из небольшого числа итераций, см. также раздел 5.4.

138

Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности

Таблица 2. Результат компьютерного моделирования 100 000 брос

ков монеты

10 1 0,6000 5 000 9,0 0,4982 25 1.5 0,5600 7 500 11 0,5015 50 2 0,5400 10 000 24 0,5024 100 2 0,5200 15 000 40 0,5027 250 1 0,5040 20 000 91 0,5045 500 2 0,4960 25 000 64 0,5026 1 000 10 0,5100 30 000 78 0,5026 2 500 12 0,5048 100 000 129 0,5013

Из закона больших чисел не следует, что модуль разности между наблюдаемым количеством орлов и математическим ожиданием этого количества будет осциллировать близко к нулю. Для экспериментов по бросанию монеты довольно типично, что эта разность имеет тенденцию становиться все больше и больше и расти пропорционально квадратному корню из количества бросков, в результате чего возвраты к 0 возникают все реже и реже, когда число бросков становится все больше и больше. Это показано на рис. 9, где приведен результат компьютерного моделирова ния случайного блуждания, описывающего наблюдаемое количе ство орлов минус его математическое ожидание за 2 000 итераций бросков монеты. Математическое объяснение роста осцилляции, показанного на рисунке, дает центральная предельная теорема вместе с законом квадратного корня: случайная величина «наблю даемое количество орлов минус его математическое ожидание» послеnбросков имеет приблизительно нормальное распределение

с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением

2 для большихn. Эксперимент с бросанием монеты полон сюрпри зов, которые противоречат интуитивным представлениям. Могут появляться неожиданно длинные последовательности орлов или решек («локальные кластеры» орлов или решек поглощаются средним значением). Если вы в это не верите, убедитесь са ми с помощью компьютерного моделирования. Оно позволяет

5.1. Введение

Рис. 9. Случайное блуждание 2 000 бросков монеты

139

выявить неочевидные, но интересные и удивительные закономерности.

Метод Монте-Карло — не только полезнейший инструмент, помогающий студентам лучше понять идеи теории вероятностей и преодолеть распространенные заблуждения о природе «случайности». Компьютерное моделирование также позволит вам получить быстрые ответы в конкретных вероятностных задачах или проверить аналитические решения. Например, если взять слово Mississippi и переставить его одиннадцать букв случайным образом, чему будет равна вероятность того, что любые две соседние буквы окажутся различны? Эта задача кажется простой, однако ее аналитическое комбинаторное решение достаточно сложно. В вычислительной теории вероятностей часто заранее не ясно, допускает ли данная задача легко получаемое аналитическое ре шение. Многие задачи оказываются слишком сложны или требу ют слишком много времени для нахождения точного решения, при этом программу, моделирующую процесс, написать легко. Метод Монте-Карло также можно использовать для разрешения разногласий по поводу ответа на конкретную вероятностную за дачу. В теории вероятностей легко совершать ошибки, поэтому очень важно проверять полученные ответы. Возьмем знаменитый парадокс Монти Холла, вызвавший множество дискуссий по по воду своего решения. Всемирно известный математик Пол Эрдёш сомневался в правильности решения этой задачи, пока ему не показали результат компьютерного моделирования, под

Глава 5. Метод Монте-Карло и вероятности

140

тверждающий это решение. В парадоксе Монти Холла участник телевизионного шоу должен выбирать одну из трех дверей. За одной из дверей находится дорогой автомобиль, а за двумя дру гими — шуточные призы. Участник, надеясь на Госпожу Удачу, наугад выбирает дверь, но не открывает ее. Затем ведущий от крывает одну из двух оставшихся дверей, и, как было обещано заранее, за этой дверью находится шуточный приз. Две двери остались не открытыми, и ведущий спрашивает участника шоу, хочет ли тот оставить сделанный ранее выбор или хочет выбрать другую дверь. Что в такой ситуации делать участнику? Компью терное моделирование убедительно показывает, что во второй раз лучше выбрать заново, указав на вторую неоткрытую дверь,

это дает вероятность выигрыша

5.2. Инструменты моделирования

Для моделирования вероятностных задач часто достаточно простых инструментов. В этом разделе сначала рассматривается понятие генератора случайных чисел. Затем даются несколько полезных инструментов компьютерного моделирования. Эти инструменты включают в себя методы генерирования случайной точки внутри ограниченной области и случайной перестановки конечного числа объектов. Применение этих инструментов моде лирования будет показано в следующем разделе.

5.2.1. Генераторы случайных чисел

В моделировании вероятностных задач критически важно иметь возможность получать случайные числа. Для этого незаменим ге нератор случайных чисел. Генератор случайных чисел производит случайные числа в диапазоне от 0 до 1 (кроме значений 0 и 1). «Настоящий» генератор случайных чисел производит их так, как если бы выбор судьбы по чистой случайности падал на некое число между 0 и 1. Случайное число между 0 и 1 характеризуется следующим свойством: вероятность для этого числа попасть в произвольный подынтервал интервала

одинакова для всех

(,)01

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]