Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Квантовая природа излучения. Элементы квантовой механики. Основы физики твердого тела. Ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
В донорном полупроводнике при
E
E
p
p
0 КT
примесный уровень
полностью занят электронами, однако при повышении температуры
вследствие низкой энергии ионизации доноров (
d
) энергии
0,1 эВ
E
теплового движения электронов достаточно, чтобы они начали переходить с донорного уровня в зону проводимости.
В акцепторном полупроводнике примесный уровень
0,1 эВ
жен вблизи потолка валентной зоны (
E
a
). При
располо-
a
0 КT
при-
месный уровень свободен, но при повышении температуры из-за малого значения энергии ионизации примесей
электроны из валентной
a
зоны переходят на акцепторный уровень, оставляя в валентной зоне
дырки.
4.3. ДВИЖЕНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В КРИСТАЛЛЕ
Если к полупроводниковому кристаллу приложить внешнее электрическое поле, то свободные носители заряда (электроны или дырки)
начнут упорядоченное движение: дырки по полю, а электроны – против поля. Однако движение электронов или дырок в кристалле под
действием внешнего электрического поля существенно отличается от
движения свободных носителей заряда из-за того, что на них действует
периодическое электрическое поле кристаллической решетки. Чтобы
описывать движение носителей заряда в кристалле, вводят понятие
эффективной массы электрона
*
m
или дырки
n
*
m
, в которой учтено
влияние поля кристаллической решетки
2
где
– энергия носителя заряда;
E
*
m
22
dEdk
k
, (4.1)
– волновой вектор.
Для свободного электрона его эффективная масса равна его обыч-
*
ной массе
mm . Эффективная масса не является мерой инерции
n
0
подобно обычной массе, она может быть как положительной, так и отрицательной.
51
Полупроводник
p
g
N
f
E
Si 1,12 0,98 0,49
Ge 0,8 1,64 0,28
E
g
, эВ
*
mm
0n
Т а б л и ц а 4.1
*
mm
0р
Значения эффективных масс электронов
женные в долях массы электрона
E
зоны
при
приведены в табл. 4.1 [2] для кремния и гер-
300 KT
m
*
m и дырок
n
, а также ширина запрещенной
0
m
*
, выра-
мания. Значения эффективных масс приведены вблизи дна зоны проводимости и вблизи потолка валентной зоны. Эффективная масса может быть как больше массы электрона, так и меньше.
4.4. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Концентрация свободных носителей заряда в кристалле определяется выражением
E
2
где
4
EmE
() 2
h
*
n
3
nNEfEdE
3/2
распределения, показывающая степень заполнения состояния с энерги-
Е.
ей
() ()
E
1
n
, (4.2)
– плотность состояний;
()
n
E
– функция
Распределение электронов по энергиям в металле
Концентрация электронов в зоне проводимости металла порядка
28 3
10 м
стояний в зоне проводимости, и с учетом того, что электроны – частицы с полуцелым спином, они подчиняются статистике Ферми–Дирака:
, их количество соизмеримо с количеством разрешенных со-
()
где
– энергия Ферми.
F
fE
n
1
1
e
52
, (4.3)
EE
F
kT
Функция распределения при
E
E
E
E
E
E
E
, если энергия электрона
0T
энергии вплоть до
E
, то
F
Энергию Ферми можно определить как предельно возможную
нет.
() 0
fE
n
энергию электрона при
()fE
1
заполнены электронами. Если энергия электрона
F
, т. е. на уровнях энергии выше
.
0T
E
F
а б
Рис. 4.5
показана на рис. 4.5, а. При
0T
E
, то
F
1
0,5
()fE
() 1
fE
n
, т. е. все уровни
электронов
F
kT
kT
E
F
При
тронов, которая находилась на
электроны начинают тепловое движение, и часть элек-
0T
(энергия теплового движения) ниже
kT
уровня Ферми, может перейти на уровни, расположенные выше уровня
Ферми на
появляется «хвост» распределения на глубину
При
Концентрация электронов в металле при
EE
nNEfEdE m EdE m E
. Характер функции распределения меняется (рис. 4.5, б),
kT
.
kT
и
0T
FF
() () 2 2
00
E
значение функции распределения
F
с учетом
0T
48
nn n
33
hh
3/2 3/2
**3/2
3
()0,5
fE
F
n
() 1
fE
n
. (4.4)
F
Положение уровня Ферми для электронов в металле
2
E
F
hn
*
2
m
n
2/3
3
8
. (4.5)
53
.
Концентрация носителей заряда в полупроводниках
N
f
E
E
f
p
Концентрация электронов в зоне проводимости собственного полупроводника вычисляется по формуле
E
2
где
nNEfEdE
4
EmEE
() 2
3
h
3/2
*
n С
E
С
() ()
n
– плотность состояний;
функция распределения Ферми–Дирака для электронов;
соответствующая верхней границе зоны проводимости.
Вычисления существенно упрощаются для случая невырожденного
полупроводника, когда уровень Ферми находится в запрещенной зоне
exp( ) 1EE
и
, тогда распределение Ферми–Дирака превращается в
F
распределение Максвелла. Кроме того, поскольку экспоненциальный
сомножитель быстро уменьшается с ростом энергии, верхний предел
интегрирования можно заменить на
концентрации электронов в зоне проводимости
С F
где
nNe
, (4.7)
C
3/2
2
mkT
2
N
C
n
2
h
– эффективная плотность состояний в зоне
kT
проводимости.
Аналогичный расчет для дырок, с учетом функции распределения
() 1 ()
дырок
EfE
pn
(дырка – это место не занятое электроном),
дает формулу для определения концентрации дырок в валентной зоне:
EE
F V
pNe
, (4.8)
V
kT
, (4.6)
()
E
n
– энергия,
2
. В указанных приближениях
E
–
3/2
2
mT
p
2
N
где
ной зоне;
V
2
h
m
– эффективная масса дырок.
– эффективная плотность состояний в валент-
54
Для вычисления концентрации носителей заряда нужно знать по-
p
g
E
N
N
ложение уровня Ферми. В собственном полупроводнике концентрации
электронов в зоне проводимости
наковы
np
ii
(индекс i обозначает собственный полупроводник –
n
и дырок в валентной зоне
i
оди-
i
от англ. intrinsic), что позволяет определить положение уровня Ферми:
EE
EE
F
С i
n p Ne Ne
ii С
kT kT
V
F
i
V
, (4.9)
откуда получаем
*
EE N EE
EkT kT
CV V CV
F
i
22 24
13
ln ln
N
C
m
p
, (4.10)
*
m
n
где индекс
EEE
CV g
При
E
зоны
указывает, что речь идет о собственном полупроводнике,
i
– ширина запрещенной зоны.
уровень Ферми находится в середине запрещенной
0 КT
EE
F
CV
22
.
Произведение концентраций носителей заряда в примесном полупроводнике связано с квадратом концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике и называется
np N N e n
Полупроводник
Si
Ge
С Vi
3
, м
N
V
24
6,0 10
1, 0 4 1 0
25
законом действующих масс:
E
g
kT
2
. (4.11)
Т а б л и ц а 4.2
3
, м
N
C
1, 0 4 1 0
25
25
2,8 10
n
i
1, 4 5 1 0
2,4 10
, м
3
16
19
Значения эффективных плотностей состояний в валентной зоне
()
и зоне проводимости
V
носителей заряда
n
при
i
()
, а также собственные концентрации
С
300 КT
представлены в табл. 4.2
[2].
55
4.5. ПОДВИЖНОСТЬ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
Если к твердому телу приложено внешнее электрическое поле
напряженностью
заряда, например электроны, приобретают направленное движение в
сторону, противоположную направлению вектора
ленное движение называют
заряда –
скоростью дрейфа
E
, то под действием этого поля свободные носители
E
. Такое направ-
дрейфом, а среднюю скорость носителей
V
.
др
Отношение скорости дрейфа к напряженности электрического поля
называют
где
Размерность подвижности
дырок различна, значения подвижности электронов
при
подвижностью носителей заряда
V
*
m – эффективная масса электрона; – время релаксации.
n
[]
300 КT
Подвижность Ge Si
n
p
приведены в табл. 4.3 для кремния и германия
, м2/(В ∙ с)
, м2/(В ∙ с)
e
др
E
0,38 0,14
0,18 0,05
, (4.12)
*
m
n
2
м
. Подвижность электронов и
Вс
()
и дырок
n
Т а б л и ц а 4.3
[2].
()
p
Время релаксации
электронов уменьшается в
– это время, за которое скорость дрейфа
e
раз.
Подвижность зависит от температуры, так как тепловое хаотическое колебание атомов и ионов кристаллической решетки мешает упорядоченному движению свободных носителей. Вид температурной зависимости подвижности определяется механизмом рассеяния свободных носителей заряда.
При малых концентрациях примеси (
20 23 3
10 ...10 м
) подвиж-
ность определяется рассеянием свободных носителей на колеблющихся
56
атомах кристаллической решетки полупроводника (фононах) и иони-
зированных атомах примеси. В этом случае подвижность уменьшается
с ростом температуры (рис. 4.6, кривая а).
В примесных полупроводниках с концентрацией примеси
24 25 3
10 ...10 м
подвижность становится значительно ниже (рис. 4.6,
кривая б). В этом случае при низких температурах преобладает рас-
3/2
сеяние на атомах или ионах примесей, и подвижность
T . При
высоких температурах преобладает рассеяние на тепловых колеба-
3/2T
ниях решетки, и подвижность
.
a
Рис. 4.6
б
T
Если присутствует несколько механизмов рассеяния, то подвижность вычисляется по формуле
11
.
i
i
4.6. УДЕЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
ПОЛУПРОВОДНИКА
Если поместить полупроводник в электрическое поле напряжен-
E
ностью
со скоростью дрейфа
, то под действием поля электроны начинают перемещаться
V
. Плотность тока
др
jenV
57
, (4.13)
др
где e– заряд электрона, и с учетом (4.11)
j
j
p
g
en E
. (4.14)
По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока связана
с напряженностью приложенного поля соотношением
где
– электропроводность полупроводника. Единица измерения
удельной электропроводности – сименс (
См Кл 1
мВсмОмм
E
, (4.15)
)/м
См
.
Сравнивая соотношения (4.14) и (4.15), получим выражение для
электропроводности полупроводника
. (4.16)
en
Если ток создается как дырками, так и электронами, то электропро-
водность запишется в виде
где
– концентрация дырок;
p
en ep
np
– подвижность дырок;
, (4.17)
– подвиж-
n
ность электронов.
Температурная зависимость электропроводности
собственных полупроводников
Чтобы в собственном полупроводнике появились свободные носи-
тели заряда – электроны и дырки, электронам необходимо сообщить
E
энергию, превышающую ширину запрещенной зоны
троны могут перейти из валентной зоны в зону проводимости, при
этом в валентной зоне образуются дырки с концентрацией, равной
концентрации свободных электронов
np
ii
. Электропроводность
собственного полупроводника записывается в виде
. Тогда элек-
()
en
iinp
58
. (4.18)
Концентрация электронов в собственном полупроводнике опреде-
E
g
E
3
ляется экспоненциальной зависимостью (4.9), подвижность
,
2
T
поэтому температурная зависимость электропроводности будет определяться в основном температурной зависимостью концентрации носителей заряда. Электропроводность собственного полупроводника
можно записать в виде
g
kT
2
где
e
0
зависит от вида полупроводника и слабо меняется с температу-
0
, (4.19)
рой.
lni
ln
0
ln
2
ln
1
1
1
T
2
1
T
1
T
Рис. 4.7
График зависимости
ln
1
от
приведен на рис. 4.7. В этих осях за-
T
висимость имеет линейный характер и пересекает ось ординат в точке
ln
. Тангенс угла наклона определяется шириной запрещенной зоны:
0
ln ln
ln
tg
1
T
21
11
TT
21
59
. (4.20)
k
2
4.7. ЭФФЕКТ ХОЛЛА
E
D
D
A
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле с индук-
B
цией
где
, действует сила Лоренца
FqVB
– заряд частицы; V– скорость частицы; – угол между вектора-
q
,
sinFqVB
, (4.21)
ми скорости и магнитной индукцией.
Эффект Холла – это возникновение поперечной разности потен-
циалов в образце с током при помещении его во внешнее магнитное
поле, перпендикулярное направлению тока.
Если прямоугольный образец поместить во внешнее магнитное поле (рис. 4.8), то сила Лоренца смещает электроны на нижнюю грань
образца, которая становится заряженной отрицательно. При этом воз-
никает поперечное электрическое поле напряженностью
C
I
B
V
-
F
H
I
d
b
E
.
H
U
H
Рис. 4.8
Поперечное электрическое поле ограничивает приток электронов
на нижнюю грань, и их перемещение закончится в состоянии равновесия, когда электрическая сила станет равной силе Лоренца
Холловская разность потенциалов
и
между точками
C
:
eE eVB
H
UEb
HH
60
. (4.22)
U
– разность потенциалов
H
IB
, (4.23)
en d
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]