Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Квантовая природа излучения. Элементы квантовой механики. Основы физики твердого тела. Ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
Энергия частицы в потенциальной яме зависит от числа n и имеет
E
E
Z
Z
дискретные значения, т. е. квантуется.
Дискретные значения энергии
n
число
– главным квантовым числом. Индекс n у энергии указы-
называются уровнями энергии, а
n
вает на зависимость энергии от номера энергетического уровня. Так,
22
π
например, энергия первого уровня
22
π
4
2
2Em
2
и т. д.
1
, энергия второго уровня
2
2Em
Разность энергий соседних уровней
22
π
EE E n
nn n
1
(2 1)
2
2
m
. (3.19)
Отношение разности энергий между соседними уровнями к энергии одного из них обратно пропорционально номеру уровня:
E
1
n
.
n
n
Чем больше номер уровня, тем ближе друг к другу располагаются
уровни энергии.
3.6. АТОМ ВОДОРОДА
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Атом, состоящий из одного электрона, движущегося вокруг ядра с
e
зарядом
атом водорода, при
атома лития
поле ядра на расстоянии
, называется водородоподобным. При
– ион атома гелия
2Z
Li
. Потенциальная энергия электрона, находящегося в
от него,
r
2
4πε
41
e
. (3.20)
0
Ur
He
, при
получаем
1Z
– ион
3Z
Уравнение Шрёдингера для водородоподобной системы запишется
в виде
22
24πε
mr
Ze
E
ψψ0
0
. (3.21)
Решению уравнения Шрёдингера соответствует дискретный набор
отрицательных собственных значений энергии:
24
1
En
n
Уровень с номером
энергии – это
основное состояние. Уровни с номером
бужденные состояния
Zme
222
nh
8ε
соответствует минимально возможной
1n
, 1,2,3...
0
. Когда энергия электрона отрицательна, он
(3.22)
– это воз-
1n
находится внутри гиперболической потенциальной ямы, если энергия
положительна, то электрон является свободным. Разность энергий
между соседними уровнями в потенциальной яме зависит от номера
n
уровня
, с увеличением номера уровни располагаются ближе друг к
другу (рис. 3.6).
Рис. 3.6
42
Энергия ионизации атома водорода (энергия, необходимая для
Z
удаления электрона из атома):
24 4
1
E
Zme me
1
222 22
18ε 8ε
=13,53 эВ
hh
00
. (3.23)
Собственные функции
Шрёдингера (3.21), содержат три целочисленных параметра
Главное квантовое число
котором расположен электрон, и принимает целые значения
ψ
, являющиеся решением уравнения
nlm
,,nl m
n
указывает на номер уровня энергии, на
1,2,3,...n
Момент импульса электрона зависит от орбитального квантового
числа
l и может принимать только дискретные значения:
(1)L
Орбитальное квантовое число
. (3.24)
зависит от номера уровня, на кото-
l
ром расположен электрон, и меняется в пределах
0,1, 2,3...,( 1)n
. (3.25)
Из решения уравнения Шрёдингера следует, что проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля
тоже кван-
туется:
Lm
, (3.26)
Z
m
где
– магнитное квантовое число, которое
может принимать значения
0, 1, 2, 3...,m
. (3.27)
Например, проекция момента импульса на
Рис. 3.7
направление внешнего магнитного поля при
может иметь пять значений 0, , 2
(рис. 3.7)
L
Z
Таким образом, каждому вырожденному
2
уровню энергии соответствует несколько волно-
вых функций. Например, для второго уровня энергии
существует
2n
четыре набора волновых чисел и соответственно четыре волновые
ψ
функции
nlm
.
.
43
n
l
2 0 0
2 1 0
2 1 1
2 1 -1
m
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
nlm
200
210
211
21 1
Число различных состояний
2
Nn
соответствующих одному значению
рождения
. Так, например, второй уровень энергии четырехкратно вы-
, (3.28)
n
, называется кратностью вы-
рожден.
Различные состояния электрона в атоме при разных значениях орбитального квантового числа
принято обозначать малыми буквами
l
латинского алфавита:
0l
1l
2l
3l
s
p
d
f
С помощью квантовых чисел можно более подробно описать
спектр атома водорода. Количество возможных переходов электрона
между уровнями энергии ограничивается
правилами отбора:
орбитальное квантовое число может меняться по правилу
, (3.29)
1
магнитное квантовое число может меняться по правилу
. (3.30)
0, 1m
При переходе электрона с более высоких уровней на более низкие
испускается фотон, для перехода электрона на более высокий уровень
ему необходимо поглотить фотон.
44
3.7. СПИН ЭЛЕКТРОНА. ПРИНЦИП ПАУЛИ
s
s
s
s
s
В экспериментальных результатах, полученных в 1922 году Штерном и Герлахом, измеренный собственный момент импульса электрона
спин) принимал только два дискретных значения. Спин электрона
(
L
–
это квантовая величина, у нее нет классического аналога и она является
таким же свойством электрона, как масса и заряд. Спин электрона квантуется по закону
где
спиновое квантовое число. Для электрона спиновое кванто-
вое число имеет значение
Lss
s
s
1
.
, (3.31)
(1)
2
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также
квантуется:
где
Lm
zs
m
магнитное спиновое квантовое число. Для электрона маг-
, (3.32)
нитное спиновое квантовое число имеет два значения:
m
1
s
. (3.33)
2
Таким образом, состояние электрона описывается набором четырех
квантовых чисел:
n
– главное квантовое число
характеризует номер уровня энергии,
на котором расположен электрон;
– орбитальное квантовое число
характеризует форму электрон-
ного облака;
– магнитное квантовое число
m
указывает на ориентацию элек-
тронного облака в пространстве;
m
– магнитное спиновое квантовое число
указывает на ориентацию
в пространстве собственного момента импульса электрона – спина.
Принцип Паули: в атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором квантовых чисел
. Таким образом, два электрона в
атоме должны различаться хотя бы одним квантовым числом. Принцип Паули лежит в основе заполнения электронами состояний в атоме
и позволяет объяснить таблицу Менделеева.
45
4. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
g
E
E
4.1. МЕТАЛЛЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ, ПОЛУПРОВОДНИКИ
Электрон в изолированном атоме можно рассматривать как частицу, находящуюся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае энергия частицы квантуется, т. е. может принимать только строго определенные дискретные значения. В твердом теле атомы расположены очень близко друг к другу, между ними возникают силы отталкивания между ядрами и между электронами соседних
атомов и силы притяжения между всеми ядрами и всеми электронами.
Под действием этих сил и из-за принципа Паули энергетические состояния в атомах изменяются: из каждого дискретного энергетического уровня атома образуется энергетическая зона, состоящая из очень
близко расположенных энергетических уровней. Разрешенные зоны
()
E
отделены друг от друга запрещенными зонами энергии
рых электроны не могут находиться. Ширина разрешенных зон с уве-
личением энергии возрастает, а ширина запрещенных зон уменьшается. Иногда разрешенные энергетические зоны перекрываются. Разрешенные энергетические зоны могут быть полностью заполнены электронами, частично заполненными и свободными.
Последнюю заполненную валентными электронами зону при
принято называть валентной зоной (
0 КT
ней пустую зону (или частично заполненную) –
(
). На рис. 4.1, а показана зонная структура полупроводников, на
c
рис. 4.1,
б – диэлектриков.
), а следующую за
V
зоной проводимости
С точки зрения зонной теории полупроводники отличаются от диэлектриков только величиной запрещенной зоны. При
проводимости электронов нет, поэтому и полупроводники, и диэлектрики не проводят электрический ток. При повышении температуры,
когда энергия электрона становится больше ширины запрещенной зоны, он перескакивает в свободную зону проводимости, и под действием
, в кото-
0 КT
в зоне
46
электрического поля может дрейфовать, т. е. создавать ток проводимо-
g
E
E
E
g
E
E
E
сти. При переходе электрона в зону проводимости происходит ионизация атома, от которого ушел электрон, а сам электрон становится свободным, и нельзя выделить атом, к которому он принадлежит,
т. е. электрон поступает в «коллективное пользование» всех атомов.
E
c
E
V
а б
Рис. 4.1
У полупроводников ширина запрещенной зоны
пературе
средняя энергия теплового движения
300 КT
c
V
1 эВ
E
g
, при тем-
0,025 эВ,kT
и некоторые электроны за счет энергии теплового движения могут переходить в зону проводимости. У диэлектриков ширина запрещенной
> 3 эВ
E
g
, и энергии теплового движения недостаточно для переброса
электрона в зону проводимости. Поэтому диэлектрики практически не
проводят электрический ток.
К полупроводникам относятся элементы IV,V,VI групп таблицы
Менделеева (Si, Ge, As, Se…) и химические соединения, например,
GaAs (арсенид галлия) или соединение индия и сурьмы InSb (антимонид индия). При
полупроводники ведут себя как диэлектрики.
0 КT
Металлы – это вещества, хорошо проводящие электрический ток,
поэтому их зонная структура отличается от диэлектриков и полупроводников. Для того чтобы вещество проводило электрический ток даже при
(рис. 4.2,
а), либо валентная зона должна перекрываться со следующей
зоной проводимости (рис. 4.2,
лентной зоны
, в валентной зоне должны быть свободные уровни
0 КT
б). На рис. 4.2, б видно, что потолок ва-
находится выше дна зоны проводимости
V
. Пере-
c
ход с уровня на уровень внутри зоны легко осуществим, поскольку
даже при
энергия теплового движения электрона
1 КT
4
10 эВkT
,
47
22
E
g
E
E
E
E
а расстояние между уровнями внутри зоны порядка
10 эВ
. Поэтому
вещество с частично заполненной зоной всегда будет проводить электрический ток. Перекрытие зон наблюдается у элементов II группы
таблицы Менделеева (Be, Mg, Zn...), в этом случае образуется так
называемая «гибридная» зона.
c
V
а б
Рис. 4.2
V
c
Металлы имеют такую кристаллическую структуру, в которой атомы находятся на строго определенном расстоянии друг от друга и
окружены обобщенными («коллективизированными») электронами.
Эти электроны не локализуются вблизи своих атомов, а свободно перемещаются между атомами, образуя «электронный газ». Возможность
электронов свободно перемещаться по металлу и объясняет его высокую проводимость.
4.2. СОБСТВЕННЫЕ И ПРИМЕСНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
Собственный полупроводник
– это полупроводник, состоящий из
атомов одного типа, расположенных в строгом порядке в узлах кристаллической решетки, и в котором нет атомов других элементов. Собственные полупроводники – это некоторая идеализированная модель,
поскольку в реальных веществах всегда встречаются атомы примеси и
дефекты кристаллической решетки.
Из природных веществ, входящих в таблицу Менделеева, типич-
ными полупроводниками являются кремний (
Ширина запрещенной зоны при
0,8 эВ
кремния и
E
g
для германия
составляет
300 КT
[2]
. Атомы кремния и германия
) и германий (Ge).
Si
1, 12 эВ
E
g
для
имеют по четыре валентных электрона и организуются в кристалличе-
48
скую решетку типа алмаза, в которой каждый атом окружен четырьмя
E
g
E
E
E
g
E
E
соседними атомами и связан с каждым из них ковалентной связью.
Таким образом, вокруг каждого атома
или Ge кроме его соб-
Si
ственных четырех валентных электронов находятся еще четыре валентных электрона от соседних атомов. Образовавшаяся ковалентная
связь является очень прочной. Электрону трудно отделиться от атома и
стать свободным. Поэтому при
полупроводники не проводят
0 КT
электрический ток и являются диэлектриками. Однако под воздействием температуры или других внешних факторов, например облучения,
электрон получает дополнительную энергию и может стать свободным, оторвавшись от атома. На месте оторвавшегося электрона образуется вакантное место –
дырка, на которое также может перейти ва-
лентный электрон соседней связи. На месте перешедшего электрона
также окажется дырка. Перемещение вакантного места – дырки принято рассматривать как перемещение квазичастицы «дырки», имеющей
положительный заряд, совпадающий по величине с зарядом электрона,
и обозначающейся символом
бодный электрон обозначается символом
– от английского слова positive. Сво-
p
n
– от английского слова
negative.
На зонной диаграмме процесс образования дырки выглядит так,
как показано на рис. 4.3,
а. Электрон, получив энергию, бо´льшую ши-
рины запрещенной зоны, переходит с верхних уровней валентной зоны
на свободные нижние уровни в зоне проводимости. В валентной зоне
остается свободное место – дырка. Процесс образования электроннодырочной пары называется
генерацией.
c
V
–
–
+
–
–
–
–
а б
Рис. 4.3
c
V
–
–
–
–
–
–
Возможен и обратный переход электрона из зоны проводимости на
свободное место в валентной зоне (когда электрон во время движения
49
по кристаллу встречает свободное место в ковалентной связи и зани-
E
E
g
E
g
E
E
E
мает его). Этот процесс показан на рис. 4.3,
нацией
. При этом пара электрон–дырка исчезает.
б и называется рекомби-
Если заменить некоторые атомы кристаллической решетки атомами другого сорта – мы получим примесный полупроводник. Примесные полупроводники бывают двух типов:
донорные и акцепторные.
Если один из атомов кристаллической решетки кремния замещен
пятивалентным атомом, например фосфором (
), то у него образуется
P
лишний электрон, не задействованный в четырех ковалентных связях
кремния, и этот электрон может перемещаться по кристаллу. Примесные полупроводники, в которых свободные электроны являются носителями заряда, называются
донорными, или полупроводниками
па (носители заряда – электроны
negative).
n
-ти-
Если один из атомов кристаллической решетки кремния замещен
трехвалентным атомом, например бором (
), то одна ковалентная
B
связь кремния будет не заполнена электроном, и появляется вакантное
место – дырка, которая может перемещаться по кристаллу. Примесные
полупроводники, в которых носителями заряда являются дырки, называются
акцепторными, или полупроводниками
-типа.
p
На зонной диаграмме примесного полупроводника в запрещенной
зоне появляются дополнительные примесные уровни. Для донорных
n
полупроводников (полупроводников
расположены вблизи дна зоны проводимости (рис. 4.4,
торных
зоны (рис. 4.4,
(полупроводников p-типа) – вблизи потолка валентной
a
б).
-типа) примесные уровни
а), а для акцеп-
d
E
E
d
–
– – –
–
–
–
–
–
c
E
E
V
–
a
+
+ + +
–
–
–
–
–
–
c
V
а б
Рис. 4.4
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]