Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Квантовая природа излучения. Элементы квантовой механики. Основы физики твердого тела. Ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
34 8
E
где
C
m
0
6,63 10 3 10
hc
λ 2,43 пм
волны для электрона
31
9,1 10
.
– комптоновская длина
Из выражения (2.18) следует, что при нулевом угле
0, сos 1 λ 0,
исходит. При угле рассеяния
т. е. рассеяния изменения длины волны не про-
90 , cos 0 λ λ 2,43 пм
C
Максимальное изменение длины волны происходит при рассеянии под
углом
180 , cos 1: λ 2λ 4,86 пм
C
.
Энергия рассеянного электрона
.
hc hc
λλ
Кинетическая энергия электрона отдачи
падающего и рассеянного фотонов:
TEE
0
E
. (2.19)
0
– это разность энергий
T
hc hc
λλ
. (2.20)
31
3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
E
E
E
3.1. ПОСТУЛАТЫ БОРА
И ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
В конце ХIХ – начале ХХ века возникло противоречие между существующей классической теорией и экспериментальными результатами. Одно из таких противоречий касалось строения атома.
В 1913 году Нильсом Бором были предложены два постулата, противоречащих законам классической электродинамики, но объясняющих экспериментальные результаты.
Первый постулат Бора: атомная система может находиться толь-
ко в стационарных состояниях, в которых атом не излучает энергию.
n
Каждому стационарному состоянию
энергии
.
n
Согласно классическим представлениям электрон может двигаться
с любой скоростью, поэтому энергия электрона может иметь любые
значения. В рамках классической электродинамики при движении заряженной частицы с ускорением она должна излучать энергию в виде
электромагнитной волны. Первый постулат Бора, согласно которому
атом в стационарном состоянии не излучает энергию, противоречит
законам классической электродинамики.
Второй постулат Бора: при переходе атома из одного состояния с
энергией
в состояние с энергией
n
квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:
соответствует свое значение
излучается или поглощается
m
где
6,63 10 Дж/сh
34
hEE
nm
, (3.1)
– постоянная Планка; ν
– частота излучения.
Излучение света происходит при переходе электрона с более удаленной от ядра орбиты (с большей энергией) на менее удаленную от
32
ядра орбиту (рис. 3.1). Перейти с менее удаленной от ядра орбиты на
ν
ν
L
более удаленную от ядра орбиту электрон может только в том случае,
если он поглотит квант с энергией
h
-
e
(рис. 3.2).
νh
h
e
-
+
n
m
Рис. 3.1 Рис. 3.2
+
n
m
Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем (состоящих из ядра и одного электрона
Li
).
He
При расчете спектра водородоподобных систем Бор дополнил два
своих постулата теорией о квантовании момента импульса электрона.
Он предположил, что на длине орбиты должно укладываться целое
2π λ
число длин волн электрона
rn
n
ся по орбитам, для которых момент импульса электрона
принимать дискретные значения, кратные постоянной Планка
где
h
1,054 10 Дж/с
34
, 1,2,3,...,Ln n
.
, т. е. электрон в атоме движет-
может
:
(3.2)
2π
Радиус
n
-й орбиты электрона
rn nr
n
2
4πε
22
0
mZe
e
2
. (3.3)
1
,
Самая близкая к ядру орбита находится на уровне энергии с
поэтому соответствующий ей радиус называется
радиусом
и определяет размеры атома:
2
4πε
0
r
1
mZe
e
0,528 10 м
2
33
10
первым боровским
. (3.4)
,
1n
Полная энергия электрона складывается из его кинетической энер-
Z
E
гии и потенциальной энергии в электростатическом поле:
24
me
E
n
1
nh
e
222
8
. (3.5)
0
При
получим выражение для энергии основного состояния
1n
электрона в атоме водорода:
24
Zme
8
e
22
0
13,53 эВ
Число
Eh
1
1,2,3,...n
называется главным квантовым числом.
При переходе электрона с уровня энергии с номером
с энергией
где
R
n ()nm
24
Zme
e
32
8
h
0
испускается квант света с частотой
EE Zme
mn e
h
3,29 10 c
11 11
22 32 22
nm h nm
15 1
– постоянная Ридберга.
24
8
0
.
m
на уровень
R
, (3.6)
На рис. 3.3 показаны уровни энергии в атоме водорода и переходы,
соответствующие различным спектральным линиям.
n
5
4
3
2
серия Бальмера
серия Пашена
3,38
0,54
0,85
,эВ
1, 5
серия Лаймана
1
13,53
Рис. 3.3
34
Теория атома Бора прекрасно соответствовала существующим экс-
p
периментальным результатам, что свидетельствует о ее справедливости, однако уже следующий простейший атом, расположенный за водородом в периодической таблице элементов, – атом гелия, теория Бора объяснить не может. Кроме того, теория Бора обладает внутренними противоречиями: с одной стороны, используются законы классической механики, с другой – вводятся дискретные энергетические состояния электрона и квантование момента импульса электрона. Из нее
также нельзя определить интенсивность спектральных линий. Тем не
менее эта теория стала важным этапом в развитии атомной физики и
послужила началом квантовой механики.
3.2. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
Фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение – все эти явления указывают на то, что электромагнитные волны имеют корпускулярную природу. В то же время интерференция, дифракция, поляризация указывают на волновую природу электромагнитных волн. Проявление корпускулярных и волновых свойств называется
но-волновым дуализмом
. В 1923 году французский ученый Луи де
корпускуляр-
Бройль выдвинул гипотезу о том, что не только фотоны, но и электроны и другие частицы материи обладают корпускулярно-волновым дуализмом. Согласно этой гипотезе, любая частица с импульсом
теризуется длиной волны
λ:
харак-
p
h
. (3.7)
λ
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и
Л. Джермера по рассеянию моноэнергетического пучка электронов на
кристалле никеля и в опытах российского физика В.А. Фабриканта в
1948 году.
3.3. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
В классической физике поведение частицы точно описывается с
помощью импульса, координаты, энергии и т.д. В 1927 году Гейзенберг пришел к выводу, что в квантовой механике существует принци-
35
пиальное ограничение по одновременному точному измерению двух
x
x
p
x
x
E
величин. Это утверждение получило название –
деленностей
. Выделяют два наиболее важных соотношения неопреде-
соотношения неопре-
ленностей:
– для координаты
и соответствующей проекции импульса
– для энергии
xp
за промежуток времени t
E
Et
; (3.9)
x
2
. (3.9)
Соотношение неопределенностей для координаты и проекции импульса утверждает, что в природе не существует состояний с точно
измеренными координатой и соответствующей проекцией импульса.
Если, например, координату частицы измерили с точностью
то проекцию импульса на ось
ностью
px
x
. Отметим, что эти ограничения не касаются
проекций импульса на оси
можно одновременно измерить с точ-
X
и Z.
Y
и
Уравнение (3.9) показывает, что для измерения энергии с точ-
ностью
необходим промежуток времени
E
tE
(время жизни).
Примером применения этого соотношения является «размытие» возбужденных состояний водородоподобных систем. Время жизни атома
8
в возбужденном состоянии порядка
34
10
8
ность энергии
t
1,05 10
E
10 ct
1,05 10 Дж
уширение частоты спектральных линий порядка
. Тогда неопределен-
26
. Естественное
ν
h
26
1,05 10
6,63 10
34
1,58 10 Гц
7
действительно наблюдается в экспери-
ментальных результатах.
,
36
3.4. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
x
x
И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Уравнение Шрёдингера
Отличительная особенность математического аппарата квантовой
механики – вероятностный подход к описанию поведения микроча-
(,,,)
стиц, основанный на введении
волновой функции
ческий смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля:
yzt
. Физи-
2
dW
*
. (3.10)
dV
Квадрат модуля волновой функции – это
плотность вероятности и
может экспериментально регистрироваться. Плотность вероятности
показывает вероятность обнаружения микрочастицы в момент времени
(, ,)
в окрестностях точки с координатами
t
yz
. Волновая функция
является основным носителем информации о свойствах микрочастицы
объеме
.
Вероятность обнаружить частицу в момент времени
V
2
V
. (3.11)
Выполняется
WdV
условие нормировки: вероятность обнаружить микро-
в некотором
t
частицу во всем пространстве равна единице (частица где-то находится),
2
. (3.12)
1dV
Кроме того, выполняется принцип суперпозиции: если для некоторой частицы возможны состояния с различными волновыми функция-
, ,...,
ми
12
, то для нее также возможно состояние, описываемое
N
линейной комбинацией волновых функций:
N
ii
1
iC
37
.
С помощью волновой функции можно вычислять различные вели-
x
x
чины. Например, чтобы найти среднее расстояние от ядра атома до
электрона, нужно вычислить интеграл
rrdV
2
.
Математический аппарат квантовой механики должен содержать
основное уравнение, которому бы подчинялась волновая функция
(, ,,)
yzt
аналогично тому, как законы Ньютона описывают движе-
ние в классической механике или уравнения Максвелла в электродинамике. Для нерелятивистской квантовой механики это уравнение было сформулировано Шрёдингером в 1926 году и носит его имя:
m
– масса частицы;
где
оператор Лапласа;
вом поле;
1i – мнимая единица.
2
2
mt
(, ,,)Uxyzt
(, ,,)
Uxyzt i
222
(,,,) (, ,,) (, ,,)
yzt xyzt xyzt
222
xyz
– потенциальная энергия частицы в сило-
, (3.13)
–
Основная задача квантовой механики – нахождение волновой
функции, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера для конкретной
задачи.
Решения уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, оказываются возможными только при некоторых
значениях энергии
. Таким образом, возникает квантование: части-
E
ца может иметь не какие угодно значения энергии, а только те, которые удовлетворяют уравнению Шрёдингера, их называют
ными значениями энергии
. Спектр собственных значений энергии
собствен-
может быть непрерывным (для свободной частицы) или дискретным
(электрон в атоме). Волновые функции, удовлетворяющие уравнению
Шрёдингера при собственных значениях энергии, называются
ственными волновыми функциями
Особую роль в квантовой механике играют
, когда наблюдаемые физические величины не меняются с течением
ния
.
стационарные состоя-
соб-
38
времени. В стационарных состояниях волновую функцию можно запи-
E
x
сать в виде
ω
it
где
ω
, а функция
(, ,,) ψ(, ,)
xyzt xyze
, (3.14)
ψ( , , )xyz
не зависит от времени.
Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет вид
2
ψ( )ψ 0,
EU
2
m
(3.15)
где потенциальная энергия зависит только от координат частицы –
(,,)Uxyz
.
3.5. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
Одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками изображена на рис. 3.4. Ширина потенциальной ямы
Начало отсчета потенциальной энергии выбрано на дне потенциальной
ямы.
.
U
U
0U
0
Рис. 3.4
Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид
, 0,
x
() 0, 0 ,
Ux x
, .
39
(3.16)
x
Решением уравнения Шрёдингера для одномерной прямоугольной
x
потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками является функция
2
n
n
– номер уровня энергии.
где
ψ() sin
n
x
, (3.17)
На рис. 3.5 показаны графики волновой функции и квадрата ее модуля (плотность вероятности) для первых трех уровней энергии.
Из рисунка видно, что для каждого уровня энергии в потенциальной
яме существуют области, где вероятность обнаружить частицу максимальна, а также области, где частица не может находиться. Так,
например, на втором уровне энергии частица не может находиться посередине потенциальной ямы, поскольку вероятность ее обнаружения
в этой точке равна нулю. Если частица находится на первом уровне
энергии, то скорее всего ее можно обнаружить в середине потенциальной ямы, поскольку плотность вероятности в этой точке максимальна.
Рис. 3.5
Энергия частицы, находящейся на уровне с номером :n
22
π
2
En
n
,
2
m
2
40
1,2,3,...n
(3.18)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]