Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Квантовая природа излучения. Элементы квантовой механики. Основы физики твердого тела. Ядерная физика. Учебное пособие
.pdf
Тогда импульс электрона отдачи
E
E
PP PP P
e
(2,6610 ) 2 2,6610 2,0710 cos45 (2,0710 )
22 2 22 22 22 2
22
2cos
γγγ γ
1,89 10 кг м/с.
22
Еще раз применим теорему косинусов для нахождения угла отлета
φ электрона отдачи (рис. 6.8)
22
PP PP P
γγ γ
cos
(2,6610)(1,8910)(2,0710)
Ответ:
1) ε 0,39 МэВ
22 2 22 2 22 2
22,6610 1,8910
φ arccos 0,63 50,74 50 44
; 2)
2cosφ
ee
2
PPP
γ
22 22
2
e
2
PP
e
0,11 МэВT
2
; 3)
2
,
0,63,
.
φ5044
.
6.3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Задача 22.
Определить энергию фотона
, испускаемого при пе-
γ
реходе электрона в атоме водорода с четвертого уровня на второй. На
сколько уменьшилась энергия электрона при этом?
Дано:
,
γ
2m
,
4n
?E
,
γ
?
E
где
e
3, 29 10 cR – постоянная Ридберга.
При переходе электрона с более высокого уровня
на более низкий испускается фотон с частотой,
определяемой обобщенной формулой Бальмера
11
15 1
ν
R
22
mn
91
,
В нашей задаче электрон переходит с четвертого уровня (
Ч
p
2m
второй уровень (
ν 3,29 10 6,17 10 c
R
mn
), тогда частота фотона
11 11
22 22
15 14 1
24
.
Энергия фотона
34 14 19
6,63 10 6,17 10 4,09 10 Дж 2,56 эВEh
Энергия электрона уменьшится на величину энергии излученного
фотона:
EE
e
γ
2,56 эВ
.
4n
) на
.
Ответ:
шится на
4,09 10 Дж 2,56 эВE
γ
2,56 эВ
E
e
19
, энергия электрона умень-
.
Задача 23. Определить длину волны де Бройля для электрона, ес-
ли: 1) кинетическая энергия электрона
энергия электрона
Дано:
1)
1
2
0,05 кэВT
0,7 МэВT
λ?
1
2)
,
λ?
2
0,7 МэВT
2
тобы найти длину волны де Бройля, необхо-
димо знать импульс частицы.
.
0,05 кэВT
1
; 2) кинетическая
Если частица движется с маленькой скоростью, т. е. ее кинетическая энергия много меньше ее энергией покоя, то кинетическая энергия и импульс связаны между собой классической формулой
2pmT
.
Если частица движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, т. е. ее кинетическая энергия сравнима с энергией покоя, то кинетическая энергия и импульс связаны между собой релятивистской формулой
1
TT mc
c
2
2
.
0
92
Для электрона энергия покоя
p
2318 14
00
9,1 10 3 10 8,19 10 Дж 0,51 МэВEmc
.
В первом случае кинетическая энергия электрона много меньше
его энергии покоя (
0,05 кэВ 0, 51 МэВ
), поэтому для расчета им-
пульса надо применять классическую формулу
hh
1
p
2
1
2 9,1 10 0,05 10 1,6 10
6,63 10
31 3 19
34
mT
1
1,73 10 м 0,17 нм.
10
Во втором случае кинетическая энергия электрона сравнима с
энергией покоя, поэтому для расчета импульса надо применять релятивистскую формулу
1
TT mc
2220
hh hc
2
6 19 6 19 31
0,7 10 1, 6 10 0,7 10 1, 6 10 2 9,1 10
1
p
2
T
Tmc
2
c
6,63 10 3 10
c
2
2
20
34 8
2
2
,
T
Tmc
2
20
2
2
2
8
310
Ответ:
1)
λ 0,17 нм
1
1,13 10 м 1,13 пм .
, 2),
12
λ 1,13 пм
1
.
Задача 24. Частица, находится в одномерной прямоугольной
потенциальной яме шириной
с бесконечно высокими стенками на
третьем энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы
W
в левой трети потенциальной ямы.
93
Дано:
f
Z
L
f
f
f
L
,
3n
Вероятность обнаружения частицы в некотором объеме определяется квадратом модуля волновой функ-
?W
ции. Пределы интегрирования выбираются в соответствии с условиями задачи.
/3 /3
2π 21 3π
WdV dx dx
Ответ:
2
V
13π11 1
x
W
00
/3 /3
| sin | sin π sin0 .
3π 3 3π 3
00
1
.
sin 1 cos
x
2
nx x
2
3
Задача 25. Электрон в атоме водорода находится в -
Определить: 1) орбитальный момент импульса электрона
состоянии.
L
; 2) мак-
симальное значение проекции момента импульса на направление
внешнего магнитного поля
Дано:
-
состояние
1)
L
?L
2)
Z
max
?
.
-
1.
состоянию электрона в атоме во-
дорода соответствует орбитальное
3l
квантовое число
.
Орбитальный момент импульса электрона
(1)L
-
В
состоянии
3(3 1) 12 12 1,05 10 3,63 10 Дж сL
.
.
34 34
2. Проекция момента импульса на направление внешнего магнит-
ного поля может принимать значения
m
94
.
m
равно
3m
.
Z
Максимальное значение магнитного квантового числа
max
орбитальному квантовому числу
Следовательно, максимальное значение проекции момента импуль-
s
s
а
s
са на направление внешнего магнитного поля
34 34
Lm
Z
Ответ: 1)
2)
max max
12 3,63 10 Дж сL
L
max
Z
= =3 31,0510 3,1510 Дж с
34
3 3,15 10 Дж с
;
34
.
Задача 26. Вычислить численное значение: 1) собственного меха-
L
нического момента электрона (спина)
направление внешнего магнитного поля
; 2) проекцию спина на
L
.
z
.
Дано: 1. Спин электрон
?
1)
где
L
; 2)
s
1
s
– спиновое квантовое число. Тогда
L
sz
?
Lss
s
(1)
,
2
133
1
L
s
1
222
2
1,05 10 0,91 10 Дж с
34 34
2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля
квантуется по закону
m
где
Ответ: 1)
1
s
– магнитное спиновое квантовое число. Тогда
2
Lm
sz s
L
s
Lm
zs
11
1,05 10 0,525 10 Дж с
22
0,91 10 Дж с
34
,
34 34
L
; 2)
0,525 10 Дж с
sz
.
34
.
.
95
6.4. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
g
Задача 27.
проводимости в
Вычислить концентрацию электронов вблизи дна зоны
Si
при температуре
100 КT
, если уровень Ферми
расположен ниже дна зоны проводимости на 0,01 эВ.
Дано:
100 КT
,
EE
C
?n
где
N
0,01 эВ
F
2
mkT
2
С
h
Эффективная масса электронов для кремния (
31
8,918 10 кг
Концентрация электронов в зоне проводимости
EE
F
C
3/2
*
n
2
,
– эффективная плотность состояний.
m
– масса свободного электрона.
0
nNe
kT
Si
,
)
С
*
0,98
mm
n
Тогда эффективная плотность состояний
3/2
*
2
mkT
22
N
С
n
2342
h
2 8,918 10 1,38 10 100
4,66 10 м .
31 23
(6,63 10 )
24 3
3/2
Теперь можно вычислять концентрацию электронов в зоне проводимости:
EE
F
C
nNe e
С
Ответ:
kT
1, 4 6 10 мn
4,66 10 1,46 10 м
24 3
24 24 3
.
0,01
8,610 100
5
0
.
Задача 28. Вычислить собственную концентрацию носителей заря-
да в
Si
при температуре
100 КT
, считая, что ширина запрещенной
зоны не зависит от температуры.
Дано:
100 КT
np
ii
?
Собственная концентрация носителей заряда
E
kT
np NNe
ii С V
96
2
.
Необходимо вычислить эффективные плотности состояний
N
N
V
при
100 К:T
и
С
3/2
2
mkT
22
N
С
22
N
V
n
2342
h
3/2
*
2
mkT
p
22
h
Ширина запрещенной зоны для
2 0,98 9,1 10 1,38 10 100
4,67 10 м ;
24 3
2 0,49 9,1 10 1,38 10 100
1, 6 5 1 0 м .
24 3
Si
53
8,6 10 100 8, 6 10 эВ.kT
31 23
(6,63 10 )
31 23
34
6,63 10
1,1 2 эВ
E
g
,
3/2
3/2
Вычислим собственную концентрацию носителей заряда:
E
g
kT
1,12
28,610
2
3
np NNe
ii С V
4,67 10 1,65 10 1,5 10 м .
24 24 4 3
e
Таким образом, при температуре
100 КT
свободные носители
заряда в собственном кремнии практически отсутствуют.
Ответ:
np
ii
1, 5 1 0 м .
43
Задача 29. Вычислить положение уровня Ферми в собственном
100 КT
кремнии при температуре
, считая, что ширина запрещенной
зоны не зависит от температуры.
97
Дано:
p
100 КT
E
F?i
Положение уровня Ферми в собственных
полупроводниках
EE
CV
EkT
i
F
3
ln
24
*
m
.
*
m
n
0,49
1,1 2 эВ
mm
,
n
0
Ширина запрещенной зоны для Si
EEE
gCV
тивные массы дырок и электронов в кремнии
mm
p
Тогда положение уровня Ферми
*
EE
EkT
CV
i
F
24 24 0,98
31,123 0,49
m
p
ln 8,6 10 100 ln
*
m
n
5
0,560 0,004 0,556 эВ.
Таким образом, уровень Ферми расположен ниже середины запрещенной зоны на
Ответ:
E
F
i
0,004 эВ
0,556 эВ.
.
Задача 30. Определить дрейфовую скорость электронов в полупро-
22 3
воднике
удельное сопротивление
n
-типа с концентрацией электронов
5 Ом см
. Длина образца
лупроводнику приложено продольное напряжение
Дано:
22 3
10 мn
,
5 Ом см 0,05 Ом м ,
5 см 5 10 м
1 BU
?V
др
2
,
Дрейфовую скорость электронов можно
вычислить, если известны напряженность приложенного поля и подвижность носителей заряда.
Напряженность поля можно найти из
известного приложенного напряжения
U
и длины образца :
10 мn
1 BU
.
, если его
5 cм
, эффек-
0,98
0
. К по-
.
U
E
1
510
98
2
20 В/м
.
Подвижность можно найти из известной электропроводности и
E
концентрации носителей заряда:
1
en
,
n
11
n
en
1, 6 1 0 1 0 5 10
19 22 2
0,013 м / В с
2
.
Тогда дрейфовая скорость
0,013 20 0, 26 м/с
n
.
.
Ответ:
VE
др
0,26 м/сV
др
Задача 31. Определить, как изменится электропроводность соб-
ственного кремния при повышении температуры от
350 КT
2
, считая, что ширина запрещенной зоны не зависит от тем-
300 КT
1
пературы.
Дано:
300 КT
1
2
2
1
,
350 КT
?
Электропроводность собственного полупроводника
g
2
kT
,
где
e
0
слабо меняется с температурой.
0
Найдем отношение электропроводностей при двух температурах.
1,1 2 эВ
Ширина запрещенной зоны кремния
мана
8,6 10 эВ.k
5
E
g
, постоянная Больц-
до
E
g
2
kT
2
e
0
2
1
E
g
kT
2
1
e
0
E
11
g
kT T
2
21
ee
1,12 1 1
28,610
5
350 300
22,2
.
Ответ: увеличится в 22,2 раза.
99
Задача 32. Полупроводниковый образец с носителями заряда одно-
1 ТлB
го типа помещен в магнитное поле с индукцией
, перпендику-
лярное к нему. Удельное сопротивление полупроводника
6
10 10 Ом м
, толщина образца
0,1 ммd
. Вдоль образца перпендикулярно направлению магнитного поля пропускают ток
Холловская разность потенциалов
3, 25 мВU
H
носителей заряда в полупроводнике, приняв Холл-фактор
. Найти подвижность
1А .
.
0,1 АI
Дано:
1 ТлB
,
,
0,1 АI
0,1 мм 10 мd
10 10 Ом м
3, 25 мВ 3, 25 10 ВU
H
4
6
1A
?
,
,
3
Холловская разность потенциалов
UR
HН
1
где
Ren
H
– постоянная Холла,
,
RIB
H
IB
d
dU
H
,
.
С другой стороны, электропроводность связана с подвижностью и
концентрацией носителей заряда уравнением
1
en .
Подвижность носителей заряда
43
RdU
1 1 10 3,25 10
en IB
Ответ:
HH
0,325 м / В с
2
6
0,1 1 10 10
.
0,325 м / В с
2
.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]