Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР
ИНФОРМАЦИОННЫХ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В. П. ЖУКОВ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
2-е издание, исправленное и дополненное
НОВОСИБИРСК
2023
1
УДК 536.2:51
Ж86
Работа подготовлена на кафедре электрофизических
Жуков В. П.
Ж86
Методы решения уравнения теплопроводности : учебное
пособие / В. П. Жуков – 2-е изд., испр., доп. – Новосибирск
Изд-во НГТУ, 2023. – 115 с.
ISBN 978-5-7782-4990-5
Второе, исправленное и дополненное издание учебного пособия
представляет собой часть курса лекций по методам математической
физики, прочитанного на физико-техническом факультете НГТУ.
Книга посвящена решению уравнений теплопроводности и Пуассона.
В новом издании значительно улучшено изложение, а также
добавлена новая, важная для приложений часть, посвященная
конечно-разностным методам решения уравнения теплопроводности.
Учебное пособие предназначено для студентов III курса всех специальностей, изучающих методы математической физики, а также
для преподавателей.
Рецензенты:
В. А. Вшивков, д-р физ.-мат. наук, профессор
Г. Г. Черных, д-р физ.-мат. наук, профессор
установок и ускорителей
:
ISBN 978-5-7782-4990-5 © Жуков В. П., 2010, 2023
© Новосибирский государственный
технический университет, 2010, 2023
© Федеральный исследовательский центр
информационных и вычислительных
технологий, 2023
2
УДК 536.2:51
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................. 6
ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ЕГО РЕШЕНИЕ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ ........................................... 7
§ 1. Физические процессы, описываемые уравнением теплопроводности ...... 7
§ 2. Начальные и граничные условия ................................................................ 11
§ 3. Простейшие свойства уравнения теплопроводности ............................... 12
§ 4. Линейность уравнения теплопроводности ................................................ 13
§ 5. Принцип максимума, единственность, устойчивость решения
уравнения теплопроводности ...................................................................... 14
§ 6. Уравнение теплопроводности в безразмерной форме .............................. 15
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне.
Фундаментальное
§ 8. Свойства интеграла вероятностей .............................................................. 20
§ 9. Физический смысл фундаментального решения. Связь общего
решения с задачами об импульсах тепла ................................................... 22
§ 10. Распространение тепла в полубесконечном стержне ............................. 25
§ 11. Распространение тепла в ограниченном стержне.
Метод разделения переменных ................................................................. 27
§ 12. Распространение тепла в теплоизолированном стержне
и в стержне с нулевой температурой торцов ........................................... 33
§ 13. Распространение тепла в
зависящего от координат. Случай разрывного коэффициента
теплопроводности ...................................................................................... 34
§ 14. Скин-эффект ............................................................................................... 38
§ 15. Определение распределения температуры в полубесконечном
стержне по потоку тепла через его границу ............................................ 41
решение уравнения теплопроводности ...................... 16
случае коэффициента теплопроводности,
3
§ 16. Определение распределения температуры в полубесконечном
стержне по температуре его границы ...................................................... 43
Заключение к части I .......................................................................................... 44
ЧАСТЬ II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ПУАССОНА В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ ............................................ 45
§ 17. Физические процессы, описываемые уравнениями Лапласа
и Пуассона .................................................................................................. 45
Глава I. Решение уравнений теплопроводности и Пуассона
в трехмерном случае в плоской геометрии ..................................................... 47
§ 18. Решение уравнения теплопроводности в случае
неограниченной
среды............................................................................... 47
§ 19. Решение уравнений теплопроводности и Пуассона
в прямоугольной области в случае однородных граничных
условий ....................................................................................................... 49
§ 20. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной области
в случае неоднородных граничных условий ........................................... 52
§ 21. Решение уравнений теплопроводности и Пуассона
в прямоугольной области с неоднородными граничными
условиями ................................................................................................... 58
Глава II. Решение уравнений теплопроводности и Пуассона
в многомерном случае
в цилиндрической геометрии ................................... 59
§ 22. Решение уравнения теплопроводности в цилиндрической системе ко-
ординат ................................................................................................................... 59
§ 23. Функция Бесселя ........................................................................................ 62
§ 24. Связь между функциями Бесселя различного порядка .......................... 67
§ 25. Ортогональность, нормировка и полнота функций Бесселя .................. 69
§ 26. Нули функций Бесселя .............................................................................. 71
§ 27. Интегральные представления функций Бесселя ..................................... 72
§ 28. Примеры решения уравнений математической физики
в цилиндрической системе координат ..................................................... 73
Глава III. Решение уравнений теплопроводности и
Пуассона
в многомерном случае в сферической геометрии .......................................... 78
§ 29. Разделение переменных при решении уравнения теплопроводности
в сферической системе координат ............................................................ 78
4
§ 30. Полиномы Лежандра ................................................................................. 80
§ 31. Свойства полиномов Лежандра ................................................................ 81
§ 32. Присоединенные полиномы Лежандра .................................................... 86
§ 33. Свойства присоединенных полиномов Лежандра.
Сферические функции ............................................................................... 88
§ 34. Примеры решения задач математической физики
в сферической геометрии .......................................................................... 91
ЧАСТЬ III. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ........................................................ 95
Введение к части III ............................................................................................ 95
§ 35. Основные понятия из теории конечно-разностных схем ....................... 96
§ 36. Семейство разностных схем для одномерного
теплопроводности .................................................................................... 101
§ 37. Конечно-разностные схемы для уравнения теплопроводности
в случае зависящего от координат коэффициента
теплопроводности .................................................................................... 102
§ 38. Разностные схемы для многомерных задач. Схемы расщепления ..... 103
§ 39. Конечно-разностные схемы в цилиндрической системе
координат .................................................................................................. 109
Библиографический список ................................................................................ 113
уравнения
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие представляет собой часть курса лекций
по методам математической физики, прочитанного на кафедре ЭФУиУ
физико-технического факультета НГТУ, и посвящено решению уравнений теплопроводности и Пуассона. Решения последнего можно рассматривать как стационарные решения уравнения теплопроводности.
Учебное пособие создано на основе одноименной книги первого издания. В новом издании
тельно улучшено изложение, а также добавлена новая, важная для приложений часть, посвященная конечно-разностным методам решения
уравнения теплопроводности.
Особенностью настоящего учебного пособия является то, что в нем
достаточно подробно представлен материал, излагаемый обычно в физических курсах: например, скин-эффект, вывод уравнения теплопроводности
курса состоит в стремлении автора доказывать все математические
утверждения, но в сложных случаях ограничиваться доказательствами
на «физическом» уровне строгости. Подобный подход оправдан тем,
что читаемый курс предназначен для физиков. Студент должен понимать, откуда берется то или иное утверждение, но для дальнейшей
фессиональной деятельности нет необходимости в строгом и сложном
доказательстве.
которых могут быть решены как с помощью стандартных алгоритмов,
так и с использованием физического смысла или догадки. Решение части задач не приводится, что позволяет использовать их для контроля
знаний студентов.
для различных физических систем и т. п. Другая особенность
Учебное пособие снабжено большим количеством задач, многие из
сделано большое количество исправлений, значи-
про-
6
ЧАСТЬ I
x
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЕГО РЕШЕНИЕ
В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
§ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ
УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Уравнение теплопроводности, которое в простейшем случае имеет
вид
uuuu
= χ ,= ,
uu
t
часто встречается при решении задач физики и техники, таких как задачи о диффузии примеси, распространении тепла, движении вязкой
жидкости, об эволюции магнитного поля в проводящей среде, о рассеянии пучка заряженных частиц в плазме (диффузия в пространстве скоростей) и др.
Выведем уравнение, описывающее эволюцию концентрации при-
меси
(,)ntr (где r – вектор точки наблюдения) в веществе, исходя из
кинетических принципов. Предположим, что характерная тепловая скорость частиц равна
v , а характерное время между столкновениями ча-
стиц примеси с частицами основного вещества –
стица примеси за время между столкновениями пройдет путь
q
Оценим поток
, т. е. количество частиц примеси, проходящих через
единичную площадь за единицу времени. В системе СГС величина
21
см с ,
имеет размерность
оценим число частиц
а в системе СИ –
проходящих через единичную поверхность,
,N
222
222
yz
τ . Соответственно ча-
мс.
21
= τlv
q
Для этого
.
7
перпендикулярную направлению наибольшего изменения концентра-
x
x
ции за время между столкновениями
τ. Эту поверхность могут пере-
сечь только те частицы, которые расположены от нее на расстоянии, не
превышающем
ленной поверхности, имеют характерную концентрацию
τ =.vl
Причем частицы, расположенные слева от выде-
(,).nx lt
Грубо говоря, половина из этих частиц движется в сторону рассматриваемой поверхности. Другая половина движется в противоположную
сторону и не может пересечь рассматриваемую поверхность. Соответственно число частиц примеси, пересекающих поверхность слева
направо, можно оценить как
(,)/2.nx ltl
Аналогично число частиц,
пересекающих рассматриваемую поверхность справа налево, можно
оценить как
ную поверхность за время
(,)/2nx ltl . Полное число частиц, пересекающих единич-
τ , равно
n
=( ,)/2 ( ,)/2
Nnxltl nxltl l
2
.
Здесь мы учли, что концентрация частиц мало меняется на расстояниях,
сравнимых с длиной свободного пробега
q
делению
оси
, = τNq. Соответственно
мы выбрали вдоль градиента плотности, поэтому полученное вы-
ражение можно переписать в виде
концентрации во времени выражается через поток как
l
. С другой стороны, по опре-
2
=( /τ)/.ql nx
2
=( /τ).ql n
Поскольку изменение
Направление
/=div,nt q
то получаем
где
2
=/τDl
/=divntD nDn
– коэффициент диффузии.
,
Задача. Вывести уравнение, описывающее эволюцию концентрации
примеси в турбулентной жидкости. Предполагается, что характерное
τ,
время
пульсаций связаны соотношением
пространственный масштаб l и скорость v турбулентных
=/τvl
. Насколько существенно по-
следнее требование?
Выведем уравнение для магнитного поля, предполагая, что его изменения достаточно медленные. В качестве исходных уравнений возьмем уравнения Максвелла (используется система СГС):
8
j
j
дополненные законом Ома
1
H
=rot
E
ct
14
E
= rot
ct c
; (1.1)
H
, (1.2)
σ – проводимость среды.
где
Для того чтобы получить требуемые уравнения, необходимо пренебречь левой частью в выражении (1.2) (током смещения). Это можно
сделать в случае, если
1
E
rot
ct
Оценим по порядку величины различные члены, входящие в неравенства (1.4). Обозначим через
ω
мер задачи, через
что
переписать в виде
ленными. Характерная частота процесса
частоты световой волны, имеющей длину волны порядка характерного
размера задачи
очень большого числа случаев (плазма, металлы) оно выполняется с высокой точностью.
уравнение (1.2) можно переписать в виде
ω /ElHc
Первое из этих условий означает, что движения должны быть мед-
Пренебрегая левой частью в формуле (1.2) и учитывая закон (1.3),
– характерную частоту. Из формулы (1.1) имеем,
. С учетом этого и уравнения (1.3) оценки (1.4) можно
22 2
ω /1lc
l
. Второе условие означает высокую проводимость. Для
= σjE
, (1.3)
14
E
H
и
l
характерный пространственный раз-
,
ct c
ω 4πσ
ω
должна быть много меньше
. (1.4)
.
4 σ
=rot
EH
.
c
9
Подставляя это выражение в (1.1), получаем
j
j
2
c
H
=
H .
4 σ
t
Это уравнение по форме совпадает с уравнением теплопроводности.
При его получении мы учли, что
div = 0H
. Поэтому
rot rot = HH
Рассмотрим теперь задачу о распространении тепла. По определению потока тепла
ности внутренней энергии
q
при наличии источника тепла Q изменение плот-
ε
описывается уравнением
ε
=div Q
q
t
. (1.5)
.
В среде с теплоемкостью
ε
энергии
ε = ρcT
будет связано с изменением температуры T соотношением
. Во многих случаях поток тепла связан с градиентом темпера-
туры соотношением
c и плотностью
= λ Tq
, где – коэффициент теплопроводно-
ρ
изменение плотности
сти. Учитывая это, уравнение (1.5) можно переписать в виде
T
ρ = λ
cTQ
t
. (1.6)
Заметим, что в случае проводящей среды с удельным сопротивле-
r
нием
, по которой течет электрический ток с плотностью j, величина
2
=Qr
. Вводя коэффициент температуропроводности
χ = λ /( ρ)c
лучаем
Tr
= χ
tc
2
T
. (1.7)
ρ
Приведем размерности величин, входящих в рассмотренную выше
задачу, в системе СИ. Величина
3
Д /(жм с,)
Дж/ мсК,()
323
мкг/ А( с .)
ε
–
j –
Дж/м ,
А/ м ,
3
c –
2
r –
q
имеет размерность
Дж/ кг( К ,)
Ом м
(или, что то же самое,
– кг/м ,
2
Д /(жм с,)
3
T – К, λ –
, по-
Q –
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]