Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
§ 36. СЕМЕЙСТВО РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Имеется следующее семейство схем для решения одномерного уравнения теплопроводности
1111
nn n nn n nn
uu u uu u uu
ii i ii i ii
= χσ χ(1 σ)
τ
σ =0
При
эта схема совпадает со схемой (35.2). Она является явной,
имеет порядок аппроксимации
σ 0
При
схема является неявной и реализуется при помощи
трехточечной прогонки.
σ =1
При
ции
При
мации
(,τ)Oh
схема абсолютна устойчива и имеет порядок аппроксима-
2
.
σ =1/ 2
(,τ )Oh
схема абсолютна устойчива и имеет порядок аппрокси-
22
.
Интересным является значение
В этом случае схема имеет повышенный порядок аппроксимации
42
(,τ )Oh
и абсолютна устойчива. Как отмечалось выше, несмотря на
абсолютную устойчивость, из соображений точности
2
. Поэтому можно сказать, что в случае формулы (36.1) порядок
/ χh
аппроксимации рассматриваемой схемы
схем –
()Oh
2
.
22
11 11
22
hh
σ =
(,τ)Oh
1
2
и устойчива при условии (35.4).
2
h
. (36.1)
.
212χτ
должно быть
τ
4
, а перечисленных выше
()Oh
Задача. В стационарном случае обсуждаемое семейство схем при
любом
порядок аппроксимации,
дает одно и тоже конечно-разностное уравнение. Каков будет
σ
()Oh
2
или
4
? Указание: принять во вни-
()Oh
мание вид общего решения дифференциальной задачи в стационарном
случае.
101
§ 37. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В СЛУЧАЕ ЗАВИСЯЩЕГО ОТ КООРДИНАТ
КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В случае коэффициента теплопроводности, зависящего от координат или от решения, уравнение (35.1) принимает вид
=(χ )
Для него хорошие результаты показывают схемы вида
uu q q
mmm
quuh
iiii
uu. (37.1)
txx
1
nn m m
ii i i
τ
= χ ()/
1/2 1/ 2 1
1/2 1/ 2
=
h
; (37.2)
.
При
схема является аналогом схемы (35.2), при
=mn
=1mn
–
схемы (35.3).
Схема (37.2) является дивергентной: изменение во времени вели-
I
finish
n
чины
=
iI
start
дифференциальной задаче для
равно сумме потоков через его концы, как и в исходной
uh
i
X
finish
. В этом легко убедиться,
X
start
(,)
uxtdx
взяв сумму или интеграл от соответствующих уравнений. По сути, это
свойство связано с законом сохранения энергии. Существование аналога этого закона в конечно-разностном случае является важным достоинством схемы (37.2).
Если коэффициент зависит от самой температуры, которая вычис-
i
ляется в целых узлах
1/ 2i
необходимо предложить какую-то интерполяционную фор-
, то для вычисления χ в полуцелых узлах
мулу. Еще более сложная проблема возникает при расчете распростра-
χ
нения тепла в теле, состоящем из материалов с разными
чае в узле
1/2i
коэффициент теплопроводности терпит разрыв.
. В этом слу-
Можно показать, и это подтверждается опытом расчетов, что очень
102
2χ()χ()
xxx
uu
1
ii
хорошие результаты дает использование формулы
2χ()χ()
1
ii
или
χ =
1/ 2
i
x
χ()χ()
1
ii
. Очень удобным и важным является то, что
χ =
1/ 2
i
χ()χ()
uu
1
ii
при использовании этой формулы нет необходимости явным образом
выделять границу раздела.
§ 38. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ.
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ
Обобщение явных схем на многомерный случай очевидно. Как правило, условие устойчивости для явных алгоритмов в многомерном случае имеет тот же характер, что и в одномерном. Однако больший объем
вычислений в многомерном случае делает желательным и больший шаг
по времени
щих большого времени счета, является существенным. Поэтому предпочтительны неявные схемы, которые, как правило, имеют большую
устойчивость, чем явные.
Еще один класс задач, требующий неявных схем, – итерационные
методы решения уравнения Пуассона, которые, грубо говоря, сводятся
к решению уравнения теплопроводности при
также желательно иметь большой шаг по времени. При этом точного
решения уравнения теплопроводности не требуется: интерес представляет только стационарное решение на больших временах.
Однако при применении неявных схем в многомерном случае возникают проблемы решения системы линейных уравнений, матрица которой хотя и сильно разрежена, но,
является трехдиагональной. Таким образом, метод обычной прогонки
неприменим, а матричная прогонка для систем с большим числом элементов неэффективна.
Для преодоления этих трудностей используют так называемые
схемы расщепления (дробных шагов), в которых задача перехода
-го слоя по времени на
с
n
При этом на каждом шаге используется неявная схема только по одной
из координат. Каждый из шагов может быть реализован с помощью
обычной прогонки.
, так как увеличение τ даже в два раза для задач, требую-
τ
t
. В этом случае
в отличие от одномерного случая, не
1n
-й производится за несколько шагов.
103
Введем операторы, действующие на сеточную функцию
x
j
x
x
i
дексы
, j, k соответствуют координатам x, y, z):
u
,,ijk
(ин-
nn nn
= χ(2 )/
uu uu h
nn nn
uu uu h
yijkijkijky
nn nn
uu uu h
z i jk i jk i jk z
ijk ijk ijk x
1, , , , 1, ,
= χ(2 )/
= χ(2 )/
,1, ,, ,1,
,, 1 ,, ,, 1
2
,
2
,
2
.
Явная схема в трехмерном случае имеет вид
1
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
τ
=( )
xyz
n
. (38.1)
u
Легко видеть, что порядок аппроксимации (38.1) имеет вид
222
,,,τ
Oh h h
xyz
. Для исследования устойчивости этой схемы рассмот-
рим ее решение в виде
()
ijk
nn
= ρ
ue
,,
ijk
yz
. (38.2)
Подставляя это решение в формулу (38.1), получаем выражение для
множителя перехода
22 2
где
ξ 4sin ( / 2)/
и
ξ
.
z
xx
Требование устойчивости
ρ =1 (ξξξ)τ
. Аналогичные выражения имеются для
h
222
xyz
| ρ |1 дает
,
ξ
y
(38.3)
max
,,
xyz
222
xyz
2
или
τ
2χ
1
222
hhh
xyz
104
.
Простейшей и весьма эффективной неявной схемой расщепления
x
y
в двумерном случае является схема продольно-поперечной прогонки.
По сути, она сводится к тому, что промежуток времени
два промежутка и на первом из них применяется прогонка по
втором – по
:
uu
nn
uu
,,
ij ij
1/2
nn
,,
ij ij
=
τ /2
11/2
=
τ /2
1/2
nn
uu
xy
1/ 2 1
nn
uu
xy
, (38.4)
. (38.5)
делится на
τ
, а на
Порядок аппроксимации, как и в случае явной схемы, имеет вид
22
Oh h
xy
либо исключить члены на полуцелом шаге (члены с
нить решение (38.2) выражением для полуцелого шага
Подставляя его и (38.2) в формулы (38.4), (38.5) и исключая
. Для выяснения устойчивости схемы (38.4)–(38.5) можно
,,τ
1/ 2nu
), либо допол-
nn
uu
ij ij
1/ 2
= ρ
,1/2,
ρ , полу-
1/2
чим выражение
2
1 ξτ/2
y
.
Очевидно, что это
2
1 ξτ/2
ρ =
| ρ|
x
22
1 ξτ/2 1 ξτ/2
xy
всегда меньше единицы и схема абсолютно
устойчива.
Трехмерный аналог схемы продольно-поперечной прогонки имеет
вид
1/3
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
=
τ /3
2/3 1/3
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
τ /3
12/3
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
τ /3
=
xy z
=
xyz
1/3
nnn
uuu
xyz
1/3 2/3 1/3
nnn
uuu
2/3 2/3 1
nnn
uuu
, (38.6)
, (38.7)
. (38.8)
.
105
В этом случае при совершении одного полного шага по времени
вдоль каждого направления расчет производится один раз неявно, с
большим запасом устойчивости, и два раза явно – с малым запасом
устойчивости. В результате схема получается условно устойчивой. Выражение для множителя перехода имеет вид
22 22
1 ξτ/3 ξτ/3 1 ξτ/3 ξτ/3
ρ =
yz xy
222
1 ξτ/3 1 ξτ/3 1 ξτ/3
xyz
22
1 ξτ/3 ξτ/3
xz
. (38.9)
Если каждый из сомножителей в этом выражении будет по модулю
меньше единицы, то и
| ρ|
будет меньше единицы. Поскольку сомножи-
тели заведомо меньше единицы, то обсуждаемое условие сводится
1
к тому, чтобы они были больше
(τ /3)(ξξξ)2
222
yzx
(τ /3)(ξξξ)2
, что дает
,
(τ /3)(ξξξ)2
222
xyz
222
xzy
.
,
Сравнивая эти условия с условием устойчивости (38.3) для явной
схемы, видим, что они дают возможность использовать шаг по времени
по крайней мере в три раза больше, чем в случае явной схемы. При этом
количество операций для перехода от
n
t
1nt
к
для схемы (38.6)–(38.8)
примерно в три раза больше, чем в случае явной схемы.
Анализ выражения (38.9) проведен с запасом. Реальные ограничения
на шаг по времени мягче. Поэтому трехмерный аналог схемы продольно-поперечной прогонки позволяет вести расчет с большим шагом
по времени, чем утроенный шаг явной схемы. То есть определенный выигрыш в скорости счета есть, но он значительно меньше, чем в случае
абсолютно устойчивых схем.
Примером абсолютно устойчивой схемы для уравнения теплопроводности является схема стабилизирующей поправки. Она заключается
1nu
в том, что
вычисляется несколько раз, каждый раз с использова-
нием неявной схемы (прогонки) по новой координате, что приводит
к повышению устойчивости схемы. В трехмерном случае схема выглядит так:
1/3
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
=
τ
1/3
nnn
uuu
xyz
, (38.10)
106
2/3
x
E
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
=
τ
1
nn
uu
,, ,,
ijk ijk
=
τ
1/3 2/3
nnn
uuu
xy z
1/3 2/3 1
nnn
uuu
xy z
, (38.11)
. (38.12)
Уравнения (38.10)–(38.12) можно переписать в очень удобном для
создания программы виде, который отражает название метода:
0
nn n
= τ()
uu u
,, ,,
ijk ijk x y z
. (38.13)
Используя формулу (38.13), можно переписать уравнение (38.10) в
виде
1/3 0
nn nn
(τ )( ) =
Eu u u u
,, ,,
ijk ijk
. (38.14)
Вычитая уравнение (38.10) из (38.11) получим
2/3 1/3
nnnn
(τ )( ) =
yijkijk
Eu u u u
,, ,,
. (38.15)
Вычитая уравнение (38.11) из (38.12) получим
12/3
nn n n
(τ )( ) =
zijkijk
Eu u u u
,, ,,
. (38.16)
Здесь
1/3nu
мени
– единичный оператор. Подчеркнем, что обозначения
2/3nu
,
n
t
не имеют никакого отношения к решению в моменты вре-
0 τ
,
n
t
(1 / 3)τ
,
n
t
(2 / 3)τ
.
0nu
,
В принципе, обсуждаемые функции можно рассматривать как приближенное решение в момент
дольно-поперечной прогонки (38.6)–(38.8) величины
гут рассматриваться как решения в моменты
1nt
. Заметим, что в случае схемы про-
1/3nu
1/3nt
2/3nt
,
.
2/3nu
,
мо-
Схема стабилизирующей поправки имеет порядок аппроксимации
222
(,,,τ)
Oh h h
xyz
. Применение спектрального метода для исследования
устойчивости приводит к выражению
107
2222222222223
x
1 ξξτξξτξξτξξξτ
ρ =
xy xz yz xyz
222
(1 ξτ)(1 ξτ)(1 ξτ)
xyz
.
Отсюда видно, что
| ρ |1 , т. е. данная схема абсолютно устойчива.
Заметим, что схема стабилизирующей поправки может быть
успешно применена при наличии скрестных производных, возникающих при использовании некоторых систем координат или выделенных
направлений (магнитное поле, кристаллическая решетка). Подробности
см. в книге Н. Н. Яненко [20].
Возможна ситуация, когда вдоль одной координаты градиенты решения особенно
велики. Тогда вдоль этой координаты конечно-разностная сетка будет иметь мелкий шаг, что при использовании явной схемы
приведет к маленькому шагу по времени. Аналогичная ситуация возникает при решении задачи в цилиндрической системе координат вблизи
оси (азимутальная координата). В таких случаях эффективно использовать неявную схему вдоль этого проблемного направления
. По остальным координатам можно вести вычисления явно. Тогда множитель перехода будет иметь следующий вид (полагаем, что проблемной является
координата
):
1(ξξ)τ
ρ =
1 ξτ
22
yz
2
x
,
что дает
τ 2/max(ξξ)
22
yz
,
то есть с точки зрения устойчивости ограничений на шаг по времени со
стороны проблемной координаты нет.
Задача. Провести подробный вывод формул этого параграфа.
108
§ 39. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
j
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат
z
имеет следующий вид (производные по
не рассматриваем, так как
с точки зрения вычислений они не представляют трудности):
11
uuu
trr r
=
r
22
r
2
. (39.1)
φ
Трудности решения уравнения (39.1) состоит следующем.
1. Наличие членов с
0r
.
Решение этой проблемы состоит в вычислении
=( 1/2)
rih
по
1/ 2
ir
nn
uu
1/2, 1/ 2,
ijij
1
,
τ
1/ r
, которые стремятся к бесконечности при
в полуцелых узлах
u
= 0,1, ...i
1
=
r
i
1/ 2
uuu
1
22
rh
1/ 2 φ
i
. Схема может иметь вид
mm mm
uuruur
lll
1/2, 1 1/2, 1/2, 1
ij ijij
3/2, 1/2, 1 1/2, 1/2,
ijiji ijiji
2
h
r
2
. (39.2)
Значение
(= ).
rih Заметим, что, полагая
ir
мы практически полагаем, что
мени в схеме (39.2) не конкретизируются;
в схеме (39.2) не используются, поскольку
u
1/ 2,
mm
uurh
/0ru r
ijijir
1/ 2, 1/ 2,
при
– шаг сетки по φ.
h
φ
r
=0=0i
/=0
0r
. Индексы по вре-
при
=0i
,
Если уравнение (39.1) входит в какую-либо систему уравнений, ре-
шение которой требует вычисление
в целых узлах, то можно предло-
u
жить схему
1
nn
uu
,,
ij ij
τ
mm mm
uur uur
1
1, , 1/2 , 1, 1/2
ij iji ij iji
=
r
i
lll
uuu
1
22
rh
i
2
ij ij ij
,1 , ,1
109
2
h
r
φ
в узлах = 1, 2,...i . В центре координат
j
j
=div
:
1
nn
uu
=0 =0
ii
τ /2
=
jh h
0
j
0
2
=1
j
rr
=0i
реализуем выражение
mm
uu
=1, = 0
ij i
,
где
– число узлов по φ:
0
=2π /
0 φ
.
h
Заметим, что в случае неявных схем при такой аппроксимации уравнения в центре возникает система линейных уравнений с матрицей
с тремя диагоналями и дополнительным ненулевым столбцом. Эта система решается методом Гаусса (модифицированным методом прогонки).
r
2. Коэффициенты схемы (39.2) зависят от
. Поэтому применение
спектрального метода при анализе устойчивости невозможно. Если воспользоваться принципом замороженных коэффициентов, то член
22 2
/ φr
в случае явной схемы дает ограничения на шаг по времени вида
τ <minhr
Минимальное значение =/2
rh . Таким образом, условие устойчи-
вости явной схемы имеет вид
22
φ
r
τ <rCh h
.
22
(C– некоторая постоянная).
φ
Расчеты подтверждают это утверждение. Безусловно, такое сильное
ограничение на шаг по времени неприемлемо. Решение проблемы заключается в использовании неявных по
φ
схем (
=1ln
в (39.2)) или
схем расщепления (§ 38).
3. Стандартное исследование схемы (39.2) на аппроксимацию пока-
φ
зывает, что остаточные члены, связанные с производными по
224 4
вид
чений
φ
/2
h , а регулярное решение в окрестности центра координат
r
. Поскольку r в данной схеме может достигать зна-
/ φrh u
имеют
в декартовых координатах ведет себя как
=cosφ sin φC Ax By C Ar Br
110
, (39.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]