Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Найти распределение температуры внутри жидкости. Для простоты рас-
x
смотреть плоскую задачу. Тогда уравнение и граничные условия на
стенке примут вид
vu u u
координата вдоль трубы;
()
yxxyy
(0,) cos()ux y C ky
,
– координата в глубь жидкости.
, Здесь y –
Задача 5. Найти установившееся решение в однородной полубеско-
нечной среде при граничном условии
( 0, ) sin( ) cos(3 )ux t A t B t
§ 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
ПО ПОТОКУ ТЕПЛА ЧЕРЕЗ ЕГО ГРАНИЦУ
Рассмотрим задачу, в которой, как и в задаче о скин-эффекте, требуется найти распределение температуры внутри среды по свойствам теплового процесса на границе. Это задача об определении распределения
температуры в полубесконечном стержне по потоку тепла через его границу.
Пусть на границе
()qt
поток тепла
, а температура стержня в далеком прошлом была равна
нулю. Математическая постановка такова:
=,=0: /=(),=:=0
uu x ux qt t u
txx
Идея решения следующая. Решим задачу в случае мгновенного импульса тепла, т. е.
()qt
в виде
=0x
полубесконечного стержня задан известен
. (15.1)
()=δ()qt t . Затем представим произвольную функцию
.
(τ)δ( τ) τqtd
и найдем решение для случая произвольной
(15.2)
()qt
в виде интеграла, поль-
зуясь линейностью уравнения теплопроводности.
В случае импульса тепла задача эквивалентна задаче о распространении импульса тепла в неограниченном стержне от точечного источника. Действительно, условие
/=δ()ux t
означает, что через конец
стержня мгновенно проводится количество тепла, равное единице. В задаче же о безграничном стержне с условием
()=2δ()ux x
при
41
=0t
(15.3)
в начальный момент времени в одной точке сконцентрировано количе-
x
ство тепла
2δ() =2,xdx
половина которого распространяется в одну
сторону, а половина – в другую. Причем в случае условия (15.3) такое
распространение на малых временах происходит мгновенно. Поэтому
можно считать, что за бесконечно малое время через сечение, беско-
=0x
нечно близкое к
, пройдет поток тепла, равный единице. Таким об-
разом, задача о распространении тепла в неограниченном стержне
с начальным условием (15.3) эквивалентна задаче с граничным условием (15.1) при
()=δ()qt t
. Согласно §7 решение задачи с условиями
(15.3) имеет вид
2
t
/(4 )
uxt
(,)=
e
.
t
Тогда с учетом формулы (15.2) и линейности уравнения теплопроводности, решение задачи (15.1) имеет вид
2
/(4( τ))
xt
t
(,)= τ
uxt d
(τ)
qe
π( τ)
t
. (15.4)
В частности, на самой поверхности
=0x
температура меняется по
закону
t
(τ)
(=0,)= τ
ux t d
q
π( τ)
t
. (15.5)
Задача 1. Проверить непосредственным дифференцированием, что
выражение (15.4) является решением задачи (15.1).
Задача 2. Получить из выражения (15.4) формулу для скин-эффекта
ω
(
=itqe
).
42
§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
x
В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
ПО ТЕМПЕРАТУРЕ ЕГО ГРАНИЦЫ
Если на краю полубесконечного стержня задана его температура как
функция времени, то математическая постановка задачи имеет вид
=,=0
uu x : 0()= ()ut u t ,
txx
=t
=0u
:
. (16.1)
Решение этой задачи сведем к предыдущей задаче (15.1). Для этого
(,)uxt
заметим, что если функция
удовлетворяет уравнению теплопро-
водности, то этому же уравнению удовлетворяет и функция потока тепла
(,)= /qxt u x
Формула (16.2) описывает распределение функции
. Дифференцируя выражение (15.4) по x, получаем
2
xt
t
(τ)
(,) / = τ
qxt u x d
xq e
2π ( τ)
/(4( τ))
1/2 3/ 2
t
. (16.2)
(,)qxt
, которая
удовлетворяет уравнению теплопроводности, через ее значения на границе
() ( =0,)qt q x t . Если в формулу (16.2) вместо (,)qxtподставить
(,)uxt
, то мы получим решение задачи (16.1). После элементарных пре-
образований это решение примет вид
2
/(4( τ))
xt
(,)= τ
uxt d
x
2 π
Дифференцируя формулу (16.3) по
t
(τ)
ue
0
( τ)
t
и устремляя x к нулю, полу-
3/2
. (16.3)
чаем выражение для потока тепла на границе:
t
(τ)
u
0
( τ)
t
3/2
.
1
(=0,)= τ
qx t d
2 π
Взяв этот интеграл по частям, получим
t
(τ)/ τ
du d
0
π( τ)
t
.
(=0,)= τ
qx t d
Эта формула представляет собой обращение интегрального соотношения (15.5).
43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ЧАСТИ I
Перечислим наиболее важные моменты, рассмотренные в первой части настоящего учебного пособия.
Прежде всего, наличие теплопроводности (вязкости, проводимости
и т. п.) приводит к уменьшению градиентов, к сглаживанию исследуемых величин. Математически это выражается, в частности, в принципе
максимума.
Большую помощь при построении решений уравнения теплопроводности в случае неограниченной и полубесконечной
фундаментальное решение – решение однородного уравнения теплопроводности в неограниченной области в случае начального распределения в виде дельта-функции.
Мощным методом для решения задач теплопроводности также является метод разделения переменных, который по существу сводится
к разложению решения в ряд по гармоническим функциям, зависящим
только от пространственной координаты
ным условиям. Коэффициенты этого ряда зависят лишь от времени
и находятся с помощью обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка, которое получается подстановкой упомянутого ряда
в уравнение. Начальные данные для этих коэффициентов находятся
с помощью разложения в ряд начальных условий для уравнения теплопроводности.
Достаточно простым оказывается решение ряда важных
жений задач об определении решения уравнения теплопроводности по
значению температуры или теплового потока на границе. Подчеркнем,
что в приведенных в §§ 14–16 задачах (в частности, в задаче о скин-эффекте) решение предполагается установившимся – в том смысле, что
начальные условия предполагаются заданными в бесконечно далеком
прошлом.
Важным моментом является постановка
тактной границе сред с разными теплофизическими характеристиками
(непрерывность температуры и теплового потока).
и удовлетворяющим гранич-
граничных условий на кон-
области оказывает
для прило-
44
ЧАСТЬ II
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ПУАССОНА В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
§ 17. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ
УРАВНЕНИЯМИ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
В предыдущей части были описаны методы решения различных одномерных задач в плоской (декартовой) геометрии. Далее мы рассмотрим методы решения уравнения теплопроводности в многомерном случае в плоской, цилиндрической и сферической системах координат. При
этом очень полезными оказываются функции Бесселя, полиномы Лежандра и присоединенные полиномы Лежандра. Свойства этих функ
ций также будут изучены достаточно подробно.
Уравнения Лапласа и Пуассона в одномерном случае вырождаются
в обыкновенное дифференциальное уравнение вида
22
//=du dx adu dx f
,
-
и f – некоторые функции x и u. Поэтому в первой части насто-
где
a
ящего учебного пособия эти уравнения не рассматривались. В многомерном случае уравнения Лапласа и Пуассона являются уравнениями
в частных производных. Для их решения эффективно используется метод разделения переменных. Применение этого метода аналогично его
применению к решению уравнения теплопроводности. Более того, для
решения уравнения теплопроводности
умение решать уравнения Лапласа и Пуассона. По этой причине в настоящем учебном пособии материалы по решению уравнений теплопроводности, Лапласа и Пуассона объединены.
Существует широкий класс физических явлений, описываемых
уравнениями Лапласа и Пуассона. Прежде всего это стационарные
может оказаться необходимым
45
явления, описываемые уравнением теплопроводности. Действительно,
x
уравнение
=tuuf переходит в уравнение Пуассона
=uf
при
=0
u . Уравнение Лапласа
t
=0u
– это частный случай уравнения
Пуассона.
Из других задач, приводящих к уравнению Пуассона, отметим задачи поиска электрического и гравитационных потенциалов по распределению заряда и массы соответственно, а также задачи равновесия упругих тел. В последнем случае это уравнение можно рассматривать как стационарные решения различных вариантов волнового
уравнения.
Уравнение
Пуассона возникает при решении уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости. Действительно, возьмем дивергенцию от
уравнения движения
, ρ, p и ν – скорость, плотность, давление и вязкость жидкости со-
где
u
ответственно. В результате, учитывая, что
ν =const
, получаем для p уравнение Пуассона
Здесь индексы
ρ(())= ν
t
= ρ
p
i
и k пробегают значения от 1 до 3 и соответствуют
ik
p uuu u, (17.1)
uu
ki
,
ik
div = 0u
.
x
и полагая
ρ =const
x-, y- и z-компонентам векторов.
Возможен другой подход. Согласно правилам векторного анализа
имеем
,
[[ ]]=( )()= /2()
uu uu uu
Подставим отсюда
uu u
kk
k
()uu
в формулу (17.1) и применим оператор
2
.
ротора к получившемуся выражению. С учетом того, что ротор от градиента равен нулю, для завихренности
ρ(rot[])=ν
Ω u ΩΩ. (17.2)
t
46
=rot ω u
получим уравнение
Поскольку
f
которого вектора
определен с точностью до градиента некоторой функции. Действи-
тельно, при добавлении к
скорости не изменяется, поскольку ротор от градиента равен нулю. По-
этому на
например, чтобы
Таким образом, для того чтобы найти поле скорости несжимаемой жидкости, необходимо решить уравнение (17.2) совместно с уравнением
Пуассона
div = 0u
Ψ
необходимо наложить условие калибровки. Потребуем,
=ΨΩ
, то u можно представить в виде ротора от не-
Ψ
, который имеет смысл функции тока. Вектор
Ψ
градиента произвольной функции поле
div = 0Ψ . Тогда имеем =rot =rot rot Ω u ΨΨ.
.
Ψ
Глава I. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ПУАССОНА
В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 18. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В СЛУЧАЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим решение задачи
uuuu
t
222
= χχχ (, ,,)
123
222
xyz
xyzt
; (18.1)
=( , , ); < , , <rxyz xyz
=0: = ( )tuur.
Здесь мы учли, что вещество может быть анизотропным: скорость
распространения тепла в различных направлениях различна. Такая ситуация может иметь место, например, в кристаллах или замагниченной
плазме.
Решение задачи (18.1) полностью аналогично решению одномерной
задачи, рассмотренному в § 7. По существу для перехода от одномерного
случая к многомерному необходимо выполнить следующие замены:
0
47
;
k
x
x
x
x
x
на
=( , , )
kkkk
yz
;
ik x ik y ik z ik y
ikx
e
i
kr
на
ee eee
xyz y
==
ik x
x
ik z
z
;
dx
2222
где
= χχχ
qk kk
123
dxdydz d r
на
yz
3
;
2π
на
(2π)
3/2
;
2
kt
на
2
qt
,
.
Поскольку
2
q t ik x ik y ik z
edkdkdk
22
ktik x ktik z
χ ( ζ ) χ ( ζ )
xx x z z z
=,
13
edke dkedk
( ζ )(ζ )(ζ )
xxy yzz
2
ktik y
χ ( ζ )
yy y
2
yz
xyz
=
вместо формулы (7.8) получим
(, ,,)= (ζ ,ζ ,ζ )( ζ , ζ , ζ ,) ζζζ
uxyzt u P x y z td d d
t
τζζζ(ζ ,ζ , ζ , τ)( ζ , ζ , ζ , τ)
ddddf Px y z t
0
где функция
P
03
xyz xyz x y z
yz x y z x y z
(,)= (,χ )(,χ )(,χ )Prt Px tPy tPz t,
3123
является фундаментальным решением одномерной за-
3
,
дачи (7.9).
Таким образом,
(, ,,)=
Pxyzt e
3
1
3
(4π ) χχ χ
t
123
222
ty tz t
/(4χ )/(4χ )/(4χ )
123
.
48
§ 19. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
f
x
y
X
x
Z
X
Z
X
И ПУАССОНА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
В СЛУЧАЕ ОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Найдем решение задачи
222
uuuu
=(,,,)
t
222
xyz
xyzt
; (19.1)
где коэффициенты
=0: =
uu , 0=xx : 11=xuu ; (19.2)
10
x
,
=0: =
uu
20
y
=0: =
zu u , 0=zz: 31=zuu ; (19.4)
предполагаются постоянными.
mn
30
z
=0t
:
=yy:
=(,,,)uuxyzt, (19.5)
0
=yuu
0
; (19.3)
21
Как и в одномерном случае, будем искать решение в виде ряда
где
является решением уравнения
n
(, ,,)= () () () ()
uxyzt u tX xY yZ z
nml n m l
,,
nml
222
/=λ
dX dx X
nxnn
с краевыми условиями (19.2). Соответственно
число этой краевой задачи с номером
. Для
n
, (19.6)
λ
– собственное
n
Y и
m
имеем анало-
l
гичные краевые задачи с условиями (19.3) и (19.4) и собственными
числами
и
являются ортогональными и образуют полный набор. Можно
l
и λzl. Как было указано в § 11, функции
λ
ym
,
Y
n
m
также считать, что эти функции нормированы на единицу, т. е.
xyz
000
222
dx Y dy Z dz
nml
000
. Этого всегда можно добиться с помо-
1
щью соответствующего постоянного множителя. Приведем пример:
в случае нулевых граничных условий
49
=(2/ ) sin(π /)
Z
f
X
Z
X
Z
Xx nxx
n
1/2
00
=(2/ ) sin(π /)
l
,
1/ 2
zlzz
00
=(2/ ) sin(π /)
Yy myy
m
1/ 2
00
,
,
где
, l – целые положительные числа.
m, n
Дальнейший ход решения полностью аналогичен одномерному случаю, разобранному в § 11. Разложим
и
u в ряд по
0
n
,
Y и
m
l
Пусть
xyz
000
φ ()= ( , , , )
tfxyztXYZdxdydz
nml n m l
000
и
xyz
000
u u x y z X Y Z dxdydz
00
nml n m l
000
(, , )
– коэффициенты этого разложения. Подставим ряд (19.6) в уравнение
(19.1), умножим получившееся выражение на
n
Y и
m
и проинте-
l
,
грируем по области решения, учитывая ортогональность собственных
функций. В результате для
du
nml
dt
2222
где
λ = λλ λ
nml xn ym zl
2
= λφ()
ut
nml nml nml
.
()
ut получим следующую задачу:
nml
=0t
,
:
=
uu,
nml nml
0
Решение этой задачи имеет вид
22 2
tt
λλ λτ
=(τ) τ
uue e ed
nml nml nml
0
nml nml nml
t
0
.
.
Задача. Как изменится приведенное выше решение задачи (19.1)–
(19.5), если вместо уравнения (19.1) использовать уравнение теплопро-
водности в анизотропной среде (18.1)?
Решение уравнения Пуассона
=uf
(19.7)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]