Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
в случае однородных граничных условий (19.2)–(19.4) также можно ис-
f
кать в виде ряда
=()()()
uuXxYyZz
,,
nml n m l
,,
nml
ряда в уравнение (19.7) для
22 2
(λλ λ)=
xn ym zl n m l n m l
u
,,nml
ufXYZdxdydz
получим
xyz
000
,,
000
. После подстановки этого
.
Случай, когда все коэффициенты
в (19.2)–(19.4) равны нулю, –
mn
особый.
Интегрируя уравнение (19.7) по объему, получаем, что для разрешимости задачи в этом случае необходимо выполнение равенства
xyz
000
.
000
fdxdydz
=0
Если это равенство имеет место, то задача разрешима. Легко проверить, что решение
в этом случае определено с точностью до кон-
u
станты.
Полученным результатам можно дать следующую физическую интерпретацию. Решение данной задачи описывает стационарное распределение температуры в теле с теплоизолированными границами при
наличии постоянных во времени источников тепла
. Если полное ко-
личество выделяемого в теле тепла не равно нулю, то стационарное распределение невозможно: тело будет нагреваться или охлаждаться со
временем как целое. Существование в противном случае нескольких решений, отличающихся друг от друга на постоянную, связано с тем, что
стационарное распределение тепла в случае теплоизолированных границ
определяется не только источниками тепла, но и первоначальным
количеством тепла, запасенным в теле.
51
§ 20. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
x
x
x
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
В СЛУЧАЕ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В этом параграфе покажем, как может быть решено уравнение
Лапласа
=0u
в случае неоднородных граничных условий
=0x
:
=( )
uuuq,
10 10 10
x
=( )
uuuq ; (20.1)
0y
=yy:
0
0z
=zz:
0
11 11 11
x
:
=( )
uuuq
:
uuuq . (20.3)
20 20 20
y
=( )
uuuq
y
uuuq,
z
z
21 21 21
=( )
30 30 30
=( )
31 31 31
=
x :
0
,
; (20.2)
Эта задача имеет самостоятельный интерес, но может быть использована и для решения уравнений теплопроводности и Пуассона в случае
неоднородных граничных условий (20.1)–(20.3). Величины
u , 11q могут зависеть от
11
u , 31q – от
31
енты
. В случае постоянных mn поставленная выше задача может
mn
, y. Аналогичную зависимость могут иметь коэффици-
y
, z;
u , 20q , 21u , 21q – от
20
u , 10q ,
, z;
10
u , 30q ,
30
быть решена различными способами, один из которых описан ниже.
Прежде всего следует различать случай, когда хотя бы один из коэффициентов
=0
.
mn
В случае, когда хотя бы один из коэффициентов
в (20.1)–(20.3) отличен от нуля, и случай, когда все
mn
отличен от
mn
нуля, представим искомое решение в виде суммы функций
=uw w w, где
123
w удовлетворяет однородным граничным условиям (19.3) и (19.4)
этом
1
w , 2w и 3w – решения уравнения Лапласа. При
1
52
по y и z и неоднородным граничным условиям (20.1) по x. Функция
x
x
Z
Z
x
Z
x
w удовлетворяет однородным граничным условиям (19.2) и (19.4)
2
по
и z и неоднородным граничным условиям (20.2) по y. Функция
w удовлетворяет однородным граничным условиям (19.2) и (19.3)
3
по
и y и неоднородным граничным условиям (20.3) по z.
В свою очередь,
w (поиск 2w и 3w аналогичен) будем искать в
1
виде ряда
.
Функции
Y ,
m
=()()()
wWxYyZz
1
определены в предыдущем параграфе. Подставив
l
ml m l
,
ml
этот ряд в уравнение Лапласа, обычным образом получаем
2
222
где
λ = λλ
ml ym zl
(см. § 19).
и
l
, а
Граничные условия для
dW
dx
и λzl – собственные числа для функций
ym
W имеют вид
ml
=0x
:
dW dx W Q
ml ml ml
=
x :
dW dx W Q
0
ml ml ml
2
ml
= λ
ml ml
2
/=
/=
, (20.4)
W
10 10
11 11
,
. (20.5)
Величины
yz
00
=( )
QuqYZdydz
ml m l
10 10 10 10
00
QuqYZdydz
и
являются коэффициентами разложения по
yz
00
=( )
ml m l
11 11 11 11
00
Y и
m
неоднородной ча-
l
сти граничного условия (20.1).
Если
WCe Ce
ml
λ 0ml , то общее решение уравнения (20.4) имеет вид
λλ
ml ml
=
12
x
. Подставляя это решение в граничные условия
Y
m
53
(20.5), получаем систему из двух линейных уравнений для коэффициен-
D
x
x
тов
C и 2C . Легко видеть, что определитель этой системы
1
пропор-
ционален
2
(λ )sh(λ ) λ ()ch(λ )
ml ml ml ml
При
λ 0ml определитель
01 11 0 01 11 0
0D
, поэтому система разрешима.
.
x
Напомним, что из физических соображений имеет смысл рассматривать
только неотрицательные коэффициенты
Если
WCxC . Подставляя это решение в граничные условия (20.5), по-
ml
λ =0
ml
=
12
, то общее решение уравнения (20.4) имеет вид
.
mn
лучаем
CCQ
1102 10=ml
Определитель этой системы равен
,
(1 ) =
CxCQ
111021111
. Таким обра-
10 11 10 11 0
зом, система разрешима, если хотя бы один из коэффициентов
ml
.
, 11
10
отличен от нуля.
В § 11 было показано, что в задаче
2
dY
2
dy
собственное число
==0 . Вспоминая определение λ
01
λ =0
только в случае, если
ml
если хотя бы один из коэффициентов
циенты
W приводить не будем.
C и 2C могут быть легко найдены. Конечные выражения для
1
ml
= λ
2
Y
, =0y :
λ
/=dY dy Y , =1y : 1/=dY dy Y
0
может равняться нулю только в случае, если
(см. § 19), заключаем, что
ml
====0 . Таким образом,
20 21 30 31
отличен от нуля, то коэффи-
mn
Рассмотрим теперь решение уравнения Лапласа в случае, когда
в граничных условиях (20.1)–(20.3) все
=0
. Физически этот случай
mn
соответствует задаче поиска стационарного распределения температуры при заданных потоках тепла через границы области. Ясно, что
стационарное распределение температуры существует, только если
54
полный поток тепла равен нулю. Иначе температура тела будет непре-
x
x
рывно расти или падать. При этом температура определена с точностью
до постоянной, которая определяется начальным количеством тепла
в теле.
Математически это выражается в том, что решение уравнения
Лапласа в случае граничных условий
=0x
=0y
=0z
:
=
uq ,
x
:
=yuq
:
=
uq ,
z
10
20
,
30
=
x :
=yy:
=zz: 31=
=
uq; (20.6)
0
0
0
11
x
; (20.7)
=yuq
21
uq (20.8)
z
определено с точностью до константы и что решение существует только
в случае, если
123
=0QQQ . (20.9)
Здесь
yz
00
xy
00
00
,
=( )
Qqqdydz
11011
00
=( )
Qqqdxdy
33031
xz
00
=( )
Qqqdxdz
22021
00
. (20.10)
,
Для того чтобы убедится в последнем, достаточно проинтегрировать
уравнение Лапласа по объему и учесть граничные условия (20.6)–(20.8).
Предположим, что условие (20.9) выполнено. Будем искать решение
уравнения Лапласа с граничными условиями (20.6)–(20.8) в виде
=uw w w, где
123
w – решение уравнения
1
с неоднородным граничным условием по
y
виями по
и z:
=0,yy:
=/( )wQ xyz (20.11)
11000
(20.6) и однородными усло-
;
w
0
1=0y
=0,zz: 1=0
55
w . (20.12)
0
z
Функция
x
x
x
x
w находится из решения задачи
2
=/( )wQ xyz
22000
с неоднородным граничным условием по
виями по
Для
и z:
w имеем
3
=0,
x :
w ;
0
2=0x
=/( )wQ xyz
33000
=0,zz:
с неоднородным граничным условием по
виями по
и y:
=0x
,
:
w ;
0
3=0x
y
(20.7) и однородными усло-
w .
0
2=0z
z
(20.8) и однородными усло-
=0,yy:
0
w
3=0y
.
Найдем, например,
=() ()cos(π /)cos(π /)
wWx Wx myy lzz
10 0 0
Здесь сумма берется по всем
декса равны нулю:
w . Представим 1w в виде
1
ml
,
ml
и l, кроме случая, когда оба ин-
m
==0ml
. Такое решение будет автоматически удо-
. (20.13)
влетворять граничным условиям (20.12).
После подстановки выражения (20.13) в уравнение (20.11) получим
уравнения
2
dW
dx
2
ml
= λ
W
ml ml
2
2
dW
dx
222
,
λ =(π /) (π /)
ml
0
=/( )
Qxyz
2
my lz
00
1000
. (20.14)
,
с граничными условиями
yz
dW
:
ml
=(2 ) cos(π /)cos(π /)
yz q m y l z dydz
dx
00 10 0 0
=0x
00
1
00
56
,
yz
x
dW
dW
x :
0
ml
dx
0
=( )
yz q dydz
dx
=(2 ) cos(π /)cos(π /)
yz q m y l z dydz
00 11 0 0
dW
0
dx
00 10
yz
00
1
00
=( )
yz q dydz
00 11
00
1
00
; (20.15)
,
yz
00
1
00
. (20.16)
Функция
W может быть легко найдена, поскольку λ 0ml (см.
ml
разобранную выше задачу (20.4), (20.5)).
Общее решение уравнения (20.14) имеет вид
01 000 1 2
2
=/(2 )WQx xyz CxC
.
Граничное условие (20.15) дает
yz
00
=( )
Cyz qdydz
100 10
1
00
. (20.17)
Граничное условие (20.16) дает
yz
00
/( ) =( )
Qyz C yz qdydz
100 1 00 11
1
00
.
С учетом выражения (20.10) это уравнение дает то же значение
что и уравнение (20.17).
Величина
C является произвольной константой, с точностью до
2
которой определяется решение.
C ,
1
57
§ 21. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
B
f
f
И ПУАССОНА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Используя результаты § 20, можно построить решение задачи
=
uuf
t
с начальными условиями
ными условиями (20.1)–(20.3), причем
(20.3) могут зависеть также от времени
(=0)= (, ,)ut u xyz и неоднородными гранич-
0
q и mnu в условиях (20.1)–
mn
t
. Коэффициенты
по-
mn
прежнему полагаются постоянными.
Представим решение поставленной задачи в виде
является решением уравнения
условиями (20.1)–(20.3). Постоянная
условие (20.1)), если все коэффициенты
=wB
с неоднородными граничными
=( )/( )
QQ Q xyz
123 000
в граничных условиях
mn
(20.1)–(20.3) равны нулю. В противном случае
Решение задачи для
зависеть от
Для
t
как параметра.
v имеем уравнение
с начальными условиями
w изложено в § 20. В данном случае w может
*
*
=tvvf
,
=
fBw
=(,,,=0)vu wxyzt и однородными гра-
0
=uwv
=0B
.
t
, где w
(см.
ничными условиями (19.2)–(19.4). Решение этой задачи изложено в § 19.
Построим решение уравнения Пуассона
=uf
с неоднородными граничными условиями (20.1)–(20.3). Если хотя бы
один из коэффициентов
то решение этой задачи существует всегда. Если все
в условиях (20.1)–(20.3) отличен от нуля,
mn
=0
, то реше-
mn
ние существует только в случае
xyz
000
000
dxdydz Q Q Q
=
123
. (21.1)
58
Физически это означает равенство количества тепла, выделяемого
B
x
x
внутри тела, и потока тепла через поверхность этого тела.
wV
Решение этой задачи ищем в виде
=wB
нения
V
Для
имеем уравнение =VfB с однородными граничными усло-
с неоднородными граничными условиями (20.1)–(20.3).
. Здесь w – решение урав-
виями (19.2)–(19.4), решение которого дано в § 19. Здесь, как и выше,
=0B
в случае, если хотя бы один из коэффициентов
=( )/( )
нуля, и
QQ Q xyz
123 000
в случае, если все =0
отличен от
mn
. В силу
mn
условия (21.1) решение этой задачи существует. Оно определено с точностью до постоянной.
Глава II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ПУАССОНА
В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 22. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Уравнение =
r
где
, φ, z – цилиндрические координаты, связанные с декартовыми
координатами
Будем искать решение уравнения (22.1) в виде
uu в цилиндрической системе координат имеет вид
t
11
uuuu
trr r
=
r
22
22 2
rz
, (22.1)
, y, z следующим образом:
=cos
r
, =sinyr ,
=zz
.
() ( ) (φ)()TtRr Zz .
Это приводит к следующему уравнению:
1
TRd dR Z
=
T r dr dr Z
r
1
2
r
. (22.2)
Здесь штрих обозначает производную.
59
Поскольку входящие в уравнение (22.2) функции зависят только от
Z
Z
R
R
одной из координат, то оно распадается на следующие уравнения:
TT
,
0
1 ddR
rRR
rdr dr
Z
,
3
где
λ , 2λ , 3λ – некоторые постоянные, определяемые из граничных
1
1
2
r
,
023
,
1
,
2
условий. Например, если мы ищем решение задачи в цилиндре, на торцах которого поддерживается нулевая температура, т. е.
()0Zz z, то
0
sin( / )
nz z , а
0
(/)nz
30
риодические граничные условия. Соответственно
=cos( φ)n
0<φ < φ , причем на границах полагается
,
λ = n
0
Соответственно
2
.
1
0
2
1
. Если решение ищется в цилиндрическом секторе
(/)n
10
2
. В общем случае можно считать
Задача. Каков будет вид собственных функций
резом по радиусу, на котором полагается
Таким образом, для
R
получаем следующее уравнение:
1 ddR
rRR
rdr dr
2
2
r
0u
2
2
. По φ имеем пе-
=sin( φ)n
=0u
, то
=sin( πφ / φ )n .
для круга с раз-
?
. (22.3)
(0)Zz
либо
0
Изучим это уравнение подробнее.
Прежде всего заметим, что при
множителя
=1R
.
При
λ 0 знак 2λ может быть любым. Однако, как правило, гра-
2
ничные условия по
ν
=
r либо
=
r
r
таковы, что интерес представляет случай
Например, если граничные условия имеют вид
λ =0 с точностью до постоянного
2
ν
. Если к тому же
60
ν =0
0u
, то
при
=lnRr
либо
λ 0 .
2
=0r
и
rr ,
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]