Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
Обозначим через
J
J
f
f
только по
r
. Тогда
производную по всему аргументу
ν
(μ /)/ =(μ /) (μ /)dJ rl dr lJ rl
ν
, и правую часть вы-
ражения (25.6) можно переписать в виде
2
lim
l
22
ε 0
μ (με)
JJ J J
(με)(μ)(με) μ (με)(μ)
νν ν ν
Раскрывая в этом выражении неопределенность типа 0/0, по правилу
Лопиталя находим, что этот предел равен
2
l
(μ (μ)(μ)(μ)(μ) μ (μ)(μ))
JJ JJ JJ
νν νν νν
2μ
.
, а не
ν
.
Выражая с помощью уравнения Бесселя
122
как
(μ)=μ (μ)(1ν / μ )(μ)JJ J
νν ν
l
(μ /) (μ /) = ( (μ)) 1 (μ)
rJ r l J r l dr J J
νν ν ν
0
22
l
2
(μ)J
через
ν
, в итоге получаем
22
ν
μ
(μ)J
и
ν
2
.
Примем без доказательства утверждение о полноте функций Бес-
селя, а именно: функцию
классу функций, можно разложить в ряд
межутке
(0, )l
, где μk – корни уравнения (25.1).
, принадлежащую достаточно широкому
()= (μ /)
raJrl
ν
kk
=0
k
§ 26. НУЛИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Отметим некоторые свойства нулей функций Бесселя, т. е. свойства
чисел
Прежде всего отметим, что нули функций Бесселя, кроме
ляются простыми, т. е. если в точке
точке производная
, которые являются решением уравнения
νμk
функция
μ
0J
. Действительно, пусть в некоторой точке
ν
(μ)=0J .
ν
μ =0
(μ)=0J , то в этой
ν
(μ)J
ν
на про-
, яв-
71
μ 0
J
J
J
J
J
J
J
J
N
ν
ν
ν
N
J
равны нулю
точке равна нулю и
равенство нулю
,
ν
и
ν
. Тогда согласно уравнению Бесселя в этой
ν
. Дифференцируя уравнения Бесселя и учитывая
ν
и
ν
, получаем, что равна нулю и третья про-
ν
изводная. Продолжая эту процедуру далее, получаем, что все производные в этой точке равны нулю. Так как
– аналитическая функция, то
ν
это означает, что она тождественно равна нулю. Поскольку это не так,
то
(μ)0J
в точке, где
ν
ν
=0J .
Можно доказать, что если пронумеровать в порядке возрастания
нули
нуля
и
ν
k
число
, начиная с первого
ν
будет больше
νμk
μ 0k
, если
νμk
, то при заданном номере
ν
> ν
. Имеются следующие
асимптотические разложения:
Асимптотику
2
π
z
2
π
z
1/2
легко получить, сделав подстановку
Jz z
()=cos(
ν
Nz z
()=sin(
ν
,
Jz
ν
ν
π /2 π /4)
π /2 π /4)
;
.
=/wu z в уравнении Бесселя (22.5). В результате этой подстановки
получаем уравнение
2
ших
z
членом с
z
=(1(ν 1/4) )uzu
22
в этом уравнении, видим, что
. Пренебрегая при боль-
iz
ue
. Однако вы-
числение фазы экспоненты – более сложная задача.
§ 27. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Существует несколько интегральных представлений функций Бес-
селя. Приведем одно из них для функций Бесселя целого порядка:
π 2π
n
2π
11
ze d e d
()=
sin cos
iz in iz in
π 0
2π
n
i
.
72
Это представление используется, например, при решении задач о
рассеянии плоской волны на цилиндре. Согласно данному представлению эта волна в цилиндрической системе координат может быть представлена как
cos φφ
ikr m im m
e iJkre Jkr iJkr m
=()=()2()cos(φ)
mm
mm
==1
0
.
§ 28. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Рассмотрим решение уравнений теплопроводности, Лапласа и Пуассона в цилиндрической области в случае следующих граничных условий:
:
=rR
=(φ,)uu z; (28.1)
1
Есть еще одно условие: регулярность функции на оси
=0z
:
=(φ,)uu r, 0=zz: 3=(φ,)uu r. (28.2)
2
=0r
.
В случае уравнения теплопроводности необходимо задать начальные условия, а функции
u , 2u , 3u могут зависеть также от времени.
1
Решение этих задач представим в виде линейной комбинации решений
следующих четырех задач, которые решаются полностью аналогично
плоскому случаю.
Пример 1. Уравнение Пуассона
=0u
ными условиями
.
=uf
с однородными гранич-
В этом случае метод разделения переменных дает, что собственные функции по
левые граничные условия по
буют того, чтобы эти функции имели вид
cos( φ)m
. Для собственных функций по r получаем уравнение Бес-
селя индекса
функции Бесселя и Неймана. Регулярность решения при
z
и φ должны быть синусами или косинусами. Ну-
z
и условия периодичности по φ тре-
sin(π /)lz z ,
. Соответственно собственными функциями будут
m
0
sin( φ)m
=0r
исклю-
чает функции Неймана, которые имеют особенность в нуле.
73
,
Условие
J
f
f
R
вид
(μ /)
mmn
(= )=0ur R
rR, где μ
дает, что собственные функции по r имеют
– нуль функции Бесселя: (μ )=0
mn
ким образом, решение имеет вид
=(sin(φ)
uSm
nm l
=1 =0 =1
nml
J . Та-
mmn
cos( φ)) (μ /)sin(π /)
CmJrRlzz . (28.3)
nml m mn
0
Подстановка этого ряда в уравнение и использование ортогональности собственных функций дает следующие выражения для коэффициентов:
2
Sf
nml nml nml
R
2π
s
f
nml
00 0
R
2
rJ r R dr m d lz z dz
mmn
000
R
2
f
c
nml
00 0
R
2
rJ r R dr m d lz z dz
mmn
000
s
z
0
(μ /)sin(φ)sin(π /) φ
JrRm lzzrdrddz
mmn
(μ /) (φ) φ (π /)
z
0
(/)cos()sin(/)
JrRm lzzrdrddz
mmn
(/) () (/)
222
nml mn
,
/
(/)(/)
Cf
nml nml nml
2π
22
sin sin
2
22
cos sin
lz
Пример 2. Уравнение теплопроводности =
2
c
z
0
z
0
0
uuf с однород-
;
/
0
; (28.4)
0
0
; (28.5)
0
.
t
ными (нулевыми) граничными условиями и начальным условием
(,φ,,=0)= (,φ,)ur zt u r z .
0
Обычная процедура разделения переменных с учетом граничных
условий в этом случае дает те же собственные функции и собственные
значения, что и в предыдущем примере. После подстановки в уравнение
74
соответствующего ряда и использования условия ортогональности для
s
s
f
f
R
J
коэффициентов получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
/=λ
dC dt C f
nml nml nml nml
2
Начальное условие дает
c
;
(=0)=
Ct u
nml nml
/=λ
dS dt S f
nml nml nml nml
c
0
2
,
(=0)=
St u
nml nml
.
s
. Ре-
0
шение этих уравнений не составляет труда.
Здесь
nml
nml
,
u
0snml
,
– коэффициенты разложения f и
u
0cnml
u
0
c
,
в ряд (28.3), вычисляемые по формулам вида (28.4) и (28.5).
Пример 3. Уравнение Лапласа
при
и условиями (28.2) на основаниях цилиндра.
=rR
=0u
с однородными условиями
Процедура разделения переменных и учет однородных граничных
условий по
Для
r
и φ в этом случае позволяет искать решение в виде
=(()sin(φ)()cos(φ)) (μ /)
uSzmCzmJrR
nm
=1 =0
C (и аналогично для nmS ) имеем уравнение
nm
nm nm m mn
222
dC dz C
/
nm nm nm
22
,
(/)
nm mn
.
и граничные условия
где
u
2cnm
(μ /)
mmn
и
u
3cnm
rR и
c
(0)
Cz u
nm nm
,
()
Czz u
2
nm nm
– коэффициенты разложения в ряд вида (28.3) по
cos( φ)m
функций
u и 3u .
2
c
03
, (28.6)
Решение этой краевой задачи имеет вид
zz
где коэффициенты
()
C z Ae Be
nm
и B находятся подстановкой ()
A
nm nm
,
Cz в краевые
nm
условия (28.6).
Пример 4. Уравнение Лапласа
=0z
,
при
=zz и условиями (28.1) на поверхности
0
=0u
с однородными условиями
.
=rR
75
Разложение в ряд
s
R
J
I
=(()sin(φ)()cos(φ)) sin(π /)
uRrmRrmlzz
ml
=0 =1
sc
ml ml
(28.7)
0
приводит к необходимости решать уравнение (индексы
и c опус-
каем)
2
dR dR
dr
Решение этого уравнения представимо в виде линейной комбинации
модифицированных функций Бесселя
(22.6). Условие регулярности решения при
функцию с положительным индексом. Граничное условие при
1
ml ml
.
2
rdr
22 2
=( / (π /))
mr lz R
3
, удовлетворяющих уравнению
0
=0r
ml
оставляет только
=rR
окончательно дает
ππ
=
uI r I R
1
ml ml m m
u – коэффициенты соответствующего разложения функции 1u в
где
1ml
ll
zz
00
,
ряд типа (28.7).
Если мы хотим использовать исключительно функции Бесселя дей-
(μ /)
ствительного аргумента
(μ)=0
J ), то можно либо разложить функции Бесселя мнимого аргу-
m
=(μ /)
n
=0
мента в ряд
π
l
Ir AJ rR
mnmmn
z
0
rR (где μ
mmn
, либо поступить следующим
– корни уравнения
mn
образом.
Сведем решение искомой задачи о решении уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями по
шению задачи Пуассона с однородными граничными условиями по
неоднородными по
=(/)(()cos(φ)()sin(φ))
uw rR u z m u z m
z
. Для этого представим u в виде
m
=0
mc s
mm
11
r
и однородными по z к ре-
, (28.8)
r
и
3
Функции Бесселя мнимого аргумента
76
()=( ) ( )
ziJiz
νν
ν
.
где
N
u в ряд Фурье. Подставив этот ряд в уравнение Лапласа, для
и
u
1cm
1
– соответствующие коэффициенты разложения функции
u
1sm
чим уравнение Пуассона
22
m
=cos(φ)sin(φ)
wmm
r
m
Rdz dz
=0
m
cs
du du
11
mm
22
с граничными условиями
полу-
w
(=0)= (/ )( (=0)cos(φ)(=0)sin(φ))
wz r R u z m u z m
(= )= (/ )( (= )cos(φ)(=)sin(φ))
wzz rR u zz m u zz m
m
=0
01010
m
=0
(= )=0wr R ;
mc s
mm
11
mc s
mm
;
.
Решение этой задачи представляется в виде суммы решений уравнения Пуассона с однородными граничными условиями (пример 1) и за-
r
дачи Лапласа с однородными граничными условиями по
родными по
z
(пример 3).
и неодно-
Решение любой другой задачи с граничными условиями (28.1),
(28.2) может быть построено с помощью разобранных четырех задач.
Например, решение уравнения теплопроводности с условиями (28.1),
(28.2) можно сконструировать из решения уравнения теплопроводности
с однородными граничными условиями (пример 2) и решений уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями, разобранными в
примерах 3 и 4.
Заметим также, что
и на границе
=rr были поставлены некоторые граничные условия,
если бы область решения имела вид
0
то в решение были бы вовлечены также функции Неймана
<<rrR
0
.
Возни-
m
кающие при этом дополнительные коэффициенты в разложениях в ряд
находились бы из граничного условия при
=rr. В формулу (28.8) в
0
примере 4 в этом случае необходимо добавить также ряд со степенями
m
r
. Коэффициенты получающегося ряда должны быть изменены та-
ким образом, чтобы добиться равенства
(= )= (= )=0wr r wr R .
0
77
Г л а в а III. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
x
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ПУАССОНА
В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 29. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Уравнение =
r
где
, θ, φ – сферические координаты, связанные с декартовыми коорди-
натами
Будем искать решение уравнения (29.1) в виде
uu в сферической системе координат имеет вид
t
11 1
uu u u
=sinθ
trr
2
r
22 22
rr r
θθ
sin θθφ
sin
2
2
, (29.1)
, y, z следующим образом (θ отсчитывается от оси z):
=cosθzr
=sinθcos φxr
;
0r , 0 θπ
;
=sinθsin φyr
;
0 φ <2π
,
.
() ( ) (θ)(φ)TtRr
Это приводит к следующему уравнению:
11
TRd dR d d
=sinθ
Tdrdr dd
rr r
2
r
22 22
sin θ sin θ
θθ
1
Здесь штрих обозначает производную.
Поскольку входящие в это уравнение функции зависят только от од-
ной из координат, то оно распадается на следующие уравнения:
= λTT
1
sin θθ θ
dd
sin θ = λ
dd
;
= λ
sin θ
;
1
λ
1
2
; (29.2)
2
.
.
1
ddR
2
rr
rRR
22
dr dr
78
λ
2
= λ
,
где λ,
x
x
x
x
λ , 2λ – некоторые постоянные, определяемые из граничных
1
условий. Если рассматривать задачу о распространении тепла, например,
в шаре или неограниченной области, то решение должно быть периодич-
φ
ным по
. Поэтому
λ = k
линейной комбинацией
Вводя
=cosθx
, т. е.
1
2
(k – целое число), а функция является
cos( φ)k
и
/ θ =sinθ /,dd ddx
sin( φ)k
.
уравнение (29.2) можно
переписать в виде
dd k
(1 ) λ =0
=0k
При
уравнение (29.3) принимает вид
dx dx
dd
dx dx
2
x
(1 ) λ =0
x
2
2
2
2
1
x
2
. (29.3)
. (29.4)
Будем искать решение уравнения (29.4) в виде ряда по степеням
m
=
m
=0
. (29.5)
m
После подстановки этого ряда в уравнение (29.4) получим
mm m
(1) (1) λ =0
mm x mm x x
mm m
=2 =1 =0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
λ (1) (1)( 2) =0
22
mm m
2
mmm
2
.
, получим
mm m m
или
2
mm
(1)(2)
mm
. (29.6)
λ (1)
mm
2
=
Отсюда видно, что в разложении принимают участие только четные
или нечетные степени
где
– неотрицательное целое число, и начать ряд (29.5) с
n
четных
n
и с
=1m
. Видно также, что если положить
λ =(1)nn,
2
при нечетных n, то ряд (29.5) будет конечным,
79
:
=0m
при
так как
x
x
чений
при таких
2=0n
λ не существует.
2
λ . Ниже будет показано, что иных зна-
2
Таким образом, вместо (29.4) можно написать
dd
(1 ) ( 1) = 0.
dx dx
2
xnn
(29.7)
Уравнение (29.7) называется уравнением Лежандра.
Соотношение (29.6) можно переписать в виде
2
mmm
(1)(2) (1)(2)
mm mm
. (29.8)
(1) ( 1) ( )( 1)
nn mm m n n m
=
Заметим, что уравнение (29.4) второго порядка. Например, в случае
уравнения
щью граничных условий. В случае уравнения (29.4) при поиске
= λXX
, собственное значение λ обычно находится с помо-
λ ника-
2
ких граничных условий использовано не было. Реально некоторое дополнительное условие при поиске
вие ограниченности решения уравнения (29.4) на промежутке
Это связано с тем, что коэффициент
этом уравнении обращается в ноль на границах
λ все же использовалось, а именно усло-
2
11
2
при старшей производной в
1x
=1x
. В этом случае воз-
можны решения с особенностями на границах.
.
§ 30. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Покажем, что одним из полиномов, коэффициенты которого удовлетворяют соотношению (29.8) и, следовательно, уравнению (29.7), является полином
n
1
()= ( 1)
Px x
n
d
nn
2!
ndx
который называется полиномом Лежандра.
Действительно, поскольку
22
(1)=
n
nk
=0
k
nk
(1) !
kn k
!( )!
80
n
2
,
n
,
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]