Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
то функция R должна быть колеблющейся: достигнув, например, макси-
R
R
мального положительного значения, она должна возвратиться в нуль.
22
В максимуме
/=0,dR dr
должно позволять выполняться условиям
>0R
. Представив уравнение (22.3) в виде
/<0.dR dr
Таким образом, уравнение
/=0,dR dr
22
/<0,dR dr
22
dR dR
1 ν
22
rdr
dr r
видим, что это возможно только при
= λ
λ <0.
2
,
2
В случае неограниченной области интерес представляют ограничен-
ные на бесконечности решения. Пренебрегая в уравнении (22.3) чле-
1/ 0r
нами
, получим уравнение
ставляют собой экспоненту при
22
/=λdR dr R
λ >0 и синус или косинус при 2λ <0.
2
. Его решения пред-
2
Поскольку экспонента может неограниченно расти, интерес представляет случай
В случае
λ <0.
2
λ <0 удобно ввести обозначение
2
2
μ = λ
. Тогда уравне-
2
ние (22.3) примет вид
1 ν
ddR
rR
rdr dr
Будем искать решение этого уравнения в виде
= μzr
. Для
()wz
получим уравнение
1 ν
ddw
zw
zdz dz
2
2
μ =0
2
r
2
1=0
2
z
. (22.4)
, (22.5)
()= ()
rwz, где
которое называется уравнением Бесселя.
Аналогичным образом при
1 ν
ddw
zdz dz
λ >0 получаем уравнение
2
2
zw
1=0
2
z
61
, (22.6)
которое называется модифицированным уравнением Бесселя. Заметим,
что если аналитическая функция
(22.5), то функция
()wiz , где
i
()wz является решением уравнения
– мнимая единица, является решением
уравнения (22.6).
§ 23. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ
Будем искать решение уравнения (22.5) в виде
σ 2
Тогда
( ) = ( ...)wz z a az az
01 2
0
2 σ 2
=(σ(σ 1) (σ 1)σ (σ 2)(σ 1) ...zw z a a z a z
σ 2
()= ( σ (σ 1) (σ 2) ...)zw z z a a z a z
01 2
01 2
;
Подставим эти выражения в уравнение (22.5) и соберем коэффициенты при одинаковых степенях
связь между
a :
k
1
((σ 2) ν )=0aa
20
z
. В результате получим следующую
22
(σν)=0a
0
((σ 1) ν )=0a
22
22
, (23.1)
,
,
…
((σ ) ν )=0
an a
nn
Из формулы (23.1) следует, что
иметь разный знак,
σ = ν
=
a
n
22
. (23.2)
2
σ =|ν | или, полагая, что
. С учетом этого из уравнения (23.2) имеем
aa
22
nn
22
(ν ) ν
n
(2ν )
.
nn
.
может
62
Коэффициенты
J
ν
ν
J
x
x
=2nk
, для коэффициентов с четными индексами получим рекуррент-
ное соотношение
что дает
a с нечетным n положим равными нулю
n
a
2( 1)
k
=,
a
2
k
=
a
2
k
2
k
2(ν )(ν 1)...(ν 1) !
2
2(ν )
k
(1)
kk k
kk
a
0
.
1
. Полагая
Коэффициент
a в принципе может быть любым. Однако в силу
0
традиций и устоявшейся связи между различными специальными функциями полагают
1
=
a
0
ν
2(ν 1)
где
– гамма-функция2. С учетом этого рассматриваемое решение w,
которое принято обозначать
=
J
ν
(/2)
z
Функции
называются функциями Бесселя порядка ν. Индекс ν
ν
, можно записать в виде
ν
kk
(1)( /2)
(
kk
(1)( /2)
(
kk
=0
k
=0
ν
k
,
2 ν
z
1) ( 1)
kk
2
z
1) ( 1)
. (23.3)
может быть как положительным, так и отрицательным.
1
Ряд, составленный из нечетных членов, совпадает с рядом, состав-
22
ленном из четных. Действительно, из условия
ν 13 ν 2
( ...) ( ...)zazaz zaaz
чаем
σ = ν 1
2
()=
, и w имеет вид
1
xt
tedt
0
(1)=()
,
xx , (1)=!nn
13 13
((σ 1) ν )=0a
1
полу-
.
63
Из уравнения (23.3) видно, что при нецелых ν и
J
J
J
J
J
J
J
N
N
ν
, а
z
ν
ν
. Поэтому
z
ν
и
ν
линейно независимы, и общее
ν
решение уравнения Бесселя может быть представлено в виде
0z
функция
В случае целых
Поскольку
то первые
=wCJ CJ
это не так. Действительно, если
ν
=
J
n
=0
k
()m
при
1n
членов этого ряда равны нулю, и этот ряд можно пере-
= 0, 1, 2, ...m
.
1 ν 2 ν
(1)(/2)
(1)(1)
kn k
kkn
2
z
.
стремится к бесконечности,
ν = n
, то
писать в виде
()= =
Jz
n
=
kn
kkn
(1)( /2)
(1)(1)
kn k
2
z
=0
s
ns sn
(1) (/2)
sn s
(1)(1)
2
z
n
(1) ()
n
z
.
Соответственно в этом случае второе линейно независимое решение
необходимо построить специальным образом. В качестве такого решения можно взять функцию Неймана, определяемую как
()cos(νπ)()
zJz
Очевидно, что
и
(0)Nz z
ν
()=
Nz
ν
ν
ν
. При ν, стремящемся к некоторому целому числу ,m
νν
и
при нецелых ν линейно независимы
ν
в формуле (23.4) имеем неопределенность типа
подразумевается функция, полученная из функции (23.4) предель-
m
ным переходом
ν 0
При
ν m
имеем
. Изучим этот случай более подробно.
sin(νπ)
. (23.4)
0/0
. В этом случае под
2
.
и учи-
2
, из формулы
Представляя
тывая, что
sin(νπ) πν ,
ν 2
(/2) =exp(ν ln ( / 2)) 1 ν ln( / 2) ( ν )zzzO
1/ ( ν 1) 1 / ( 1) ν (1)/(1)kkkk
cos(νπ)=1 (ν )O
(23.3) получим
64
() (1νln( / 2))Jz z
ν
x
ν
2
zk
1
,
где
=0
k
– производная от -функции.
kk
(1)( /2) ( 1)
kk k
(1)(1) (1)
Подставляя эти выражения в формулу (23.4) и переходя к пределу
ν 0
, видим, что этот предел существует, причем при
0z
имеется
асимптотика
Nz z
=0
m
В случае
ν 0m
sin(νπ)(1)πε,cos(νπ)=( 1) (ε )
представим ν в виде
mm
Из формулы (23.3) имеем
() (/2)(/2)
Jz z z
ν
m
1 ε
Используя равенство
( ) ( / 2) ( / 2)
Jz z z
1
m
ν
=0 =
kkm
(1 ) ( ) = π /sin(π )
ражения (23.7) сделаем замену:
( ε 1) =
km
π ( ε ) π ( ε )
sin(π( ε ))
2
() ln( /2)
.
π
ν = εm
ε
=0
k
(1)
km
(1)
km
m
(1)( /2)
( ε 1) ( 1)
km k
kk
(1)( /2)
z
(1)(1)
km k
, (23.6)
ε
kk
2
z
xx
mk mk
mk
(1)sin(νπ)
, где
2
. (23.5)
O
2
. (23.7)
, в первой сумме вы-
k
ε 0
. Тогда
.
Во второй сумме выражения (23.7) заменим индекс суммирования
=skm
на
. Тогда выражение (23.7) примет вид
65
J
J
J
() (/2) (/2) sin(νπ)
Jz z z
mm
(1) ( /2)( /2)
ε 0
При
отсюда имеем (точно выписываем только члены нулевого и
первого порядков по
() ( /2) sin(νπ)
Jz z
ν
2
m
m
zz
):
ε
ε
ε
s
m
1
k
=0
=0
(1)(/2)
( ε 1) ( 1)
ssm
m
1
π ()(1)
k
=0
(/2)
π ( ε )( 1)
mkk
ss
z
(/2)
z
mk k
k
z
2
.
2
k
mm
(1)(/2)(/2) 1 ε
zz
ε
s
=0
ss
(1)( /2) ( 1)
(1)( 1) (1)
ssm s
2
zs
. (23.8)
Подставляя выражения (23.5), (23.6) и (23.8) в формулу (23.4) и пе-
ε 0
реходя к пределу
деть, что при
Поскольку вблизи нуля
, видим, что предел существует. Легко также ви-
0z
m
(2 / )
()
Nzm
m
Nz
m
π ()
m
и
z
.
m
, то по крайней мере в
z
m
окрестности нуля эти функции линейно независимы. Можно показать,
что они линейно независимы при любых
шение уравнения Бесселя целого индекса
()= () ()
wz CJ z CN z
12
mm
z
. Таким образом, общее ре-
m можно представить в виде
.
Отметим еще одно свойство функции Бесселя целого порядка, кото-
()cos(φ)
рое состоит в следующем. Линейная комбинация функций
и
()sin(φ)
rn может быть разложена в степенной ряд по декартовым
n
координатам
()cos(φ)=Re ( )
Jr n Jre
nn
=cos(φ)xr
=sin(φ)yr
и
φ
in
, используя формулу (23.3), имеем
. Действительно, например, для
rn
n
66
()cos(φ)=Re =
J
J
ν
ν
J
ν
J
Jr n re ar
nk
=Re ( ) ( ) =Re ( ) ( )
re ax y xiy ax y
φ 22 22
in k n k
=0 =0
kk
22
kk
φ 2
nin k
2
=0
k
Это важное свойство, так как решение различных уравнений мате-
=0r
матической физики на оси
()cos(φ)
rn и ()sin(φ)
n
rn, должно также удовлетворять этим урав-
n
, полученное разложением по функциям
нениям, т. е. быть регулярным.
§ 24. СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ
РАЗЛИЧНОГО ПОРЯДКА
Можно показать, что
.
d
dz
zz
d
()=
zzJ
dz
J
ν 1
=
ν
νν
ν 1
, (24.1)
. (24.2)
Для доказательства равенств (24.1), (24.2) используем представление
функций Бесселя в виде ряда (23.3) и дальнейшего почленного дифференцирования. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях
убеждает нас в правильности равенств (24.1), (24.2). Действительно,
ν 22
= ( ... ...)
Jza az az
ν 0, ν 1,ν ,ν
ν 122
= ( ... ...)
Jza az az
ν 10,ν 11,ν 1,ν 1
n
n
n
,
n
.
Соответственно
J
d
ν
=2 4 ... 2 ...
ν
dz
z
J
ν 1
= ( ... ...)
ν
z
azaz az
az a z naz
1,ν 2, ν ,ν
0,ν 11,ν 1,ν 1
321
321
n
n
n
n
,
.
67
z
Таким образом, надо показать, что
ν
J
J
ν
J
na a
,
nn
1,ν 1
при
=1, 2,...n
2=
Подставляя значения коэффициентов из ряда (23.3), получаем, что необходимо доказать равенство
nn
2(1) (1)
n
22(1)1
nn
22 ( 1)( 1) 2 2 ()( 1( 1)1)
nn n n
1
или
.
11
21 21
nn
2(1)/2()
nn n
=
что, очевидно, верно.
Из равенств (24.1), (24.2) имеем
ν
=
ννν1
JJ
z
,
ννν1
Следовательно,
ν 1 ν 1 ν
=
JJ
Аналогично
ν
=NNN
ννν1
z
В случае полуцелых
,
ν
ν
=NNN
ννν1
z
функции Бесселя выражаются через элемен-
тарные функции. Действительно, при
(22.5) при помощи подстановки
=uu
. Таким образом, общее решение уравнения Бесселя в этом слу-
()= ()/wz u z z
чае будет иметь вид
sin cos
=
wC C
zz
12
zz
,
ν
JJ
=
z
2
. (24.3)
.
z
,
ν 1 ν 1 ν
ν =1/2
из уравнения Бесселя
=NN N
получим уравнение
.
2ν
.
z
Сравнивая разложение этой функции в ряд Тейлора с разложением
1/2 1
t
(23.3) и учитывая, что
(1 / 2) = = π
tedt
0
68
, убеждаемся в том, что
1/ 2
J
J
z
π
2
=sin
z
,
1/2
2
=cos
z
π
z
.
Используя формулу (24.3), можно получить выражения для других
функций Бесселя полуцелого порядка.
§ 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ, НОРМИРОВКА
И ПОЛНОТА ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Ортогональность функций Бесселя состоит в следующем. Пусть
dJ r l
μμ и
12
γ
, h и l – некоторые числа) при
(μ /)
ν
. (25.1)
dr
=rl
,
μ = μ или 2μ = μ
1
ν >1
. (25.2)
μ являются корнями уравнения (
и
2
=rl
:
γ (μ /) =0
Jrlh
ν
То есть при подстановке в уравнение (25.1)
имеет место равенство. Тогда при
l
(μ /) (μ /) =0
rJ r l J r l dr
ν 1 ν 2
0
Для доказательства используем тождества
2
1 ν
d
rdr dr
1 ν
d
rdr dr
(μ /)
dJ r l
ν 1
rJrl
(μ /)
dJ r l
ν 2
rJrl
μ
μ
2
1
22
lr
2
2
2
22
lr
(μ /)=0
ν 1
(μ /)=0
ν 2
; (25.3)
. (25.4)
μ
1
Домножим тождество (25.3) на
(μ /)rJ r l , а (25.4) – на
ν 2
(μ /)rJ r l
ν 1
и вычтем получившиеся выражения друг из друга. Результат проинте-
r
грируем по
от 0 до l. В итоге получим
69
22
J
μμ
12
l
(/) ( /)
0
rl r J rl r dr
12
dd
dr dr dr dr
l
2
l
dJ rl dJ rl
(μ /) (μ /) =
rJ r l J r l dr
ν 1 ν 2
0
(/) (/)
21
.
Взяв интеграл в правой части по частям, получим
22
μμ
12
l
2
l
(μ /) (μ /) =
rJ r l J r l dr
ν 1 ν 2
0
(/) ( /)
rJ r l rJ r l
12
(/) (/)
dJ r l dJ r l
21
dr dr
l
. (25.5)
0
Используя два первых члена разложения (23.3), легко показать, что
ν >1
при
том равенства (25.1) при
правая часть выражения (25.5) при
=rl
равна нулю. Таким образом, при
правая часть выражения (25.5) также
μμ получаем равенство (25.2).
12
=0r
равна нулю. С уче-
Вычислим квадрат нормы функции Бесселя, т. е. интеграл
l
(μ /) (μ /)
rJ r l J r l dr
νν
0
Для этого используем выражение (25.5), в котором положим
μ = με и устремим ε к нулю. С учетом того, что правая часть выра-
2
=0r
жения (25.5) при
l
rJ r l J r l dr
νν
0
(μ /) ((με)/)
rJ r l rJ r l
νν
dJ r l dJ r l
ν >1
и
(μ /) (μ /) =
((με)/) (μ /)
равна нулю, получим
lim
ε 0
dr dr
.
2
l
22
μ (με)
ν
μ = μ ,
. (25.6)
=
rl
1
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]