Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

§ 34. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассмотрим, как можно решить уравнение Лапласа в сферической

геометрии. Пусть имеется задача в сферической системе координат

, φ:

=0u

(=1)= (θ, φ)ur 

Будем искать решение этой задачи в виде ряда



=()(θ,φ)

ufrY



lml

=0 =

lm l



Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю члены ряда с

одинаковым

и m по отдельности, получим уравнение для f:







1(1)









. (34.1)

Решение этого уравнения имеет вид

скольку при

=0r

решение также должно удовлетворять уравнению

Лапласа, то необходимо оставить только

lm lm

результатам предыдущего параграфа функция линомом от станты

, y, z, т. е. регулярной в нуле. Для того чтобы найти кон-

a , используем граничные условия. Имеем



(=1)= 1 (θ, φ)= (θ,φ)

ur a Y



lml

=0 =



lm l

 

либо

, так как согласно

(θ, φ)



является по-

Используя ортогональность сферических функций (§33), получаем

(2 1) ( )!

llm



=(θ, φ)(θ,φ)sinθθφ

aYdd

lm l

4π ()!

π2 π









. (34.2)

Решим уравнение Пуассона

=uq

(1) (,)ur

. (34.3)

(1)

. По-

Для этого представим u в виде

выше решение задачи (34.1), а чае граничного условия жим

u и

по сферическим функциям:



=()(θ,φ)

ufrY



lml

=0 =



(=1)=0ur . Для того чтобы найти 2u , разло-

lm l

=uu u , где 1u – рассмотренное

u – решение уравнения



;

=()(,)

qQrY



lml

=0 =

lm l





=uq в слу-

Для

имеем формулу вида (34.2), а для

,lm

1(1)

Представив

,lm



1(1/2)



rr r

Граничное условие для



rfQ







в виде





rZrQ



lm lm







1/2



=()

rZr

имеет вид

,lm

lm lm

, получим уравнение

lm lm





получим уравнение

,()lm

1/2

. (34.4)

(=1)=0

. Сравнивая

уравнения (34.4) и (22.4), видим, что для решения этой задачи можно разложить

,,,1/2,

lm lmn l nl

где

– n-й корень

,μnl

=(μ )

1/ 2

,lm

aJ r



в ряд по функциям Бесселя

,lm



. Таким образом, условие

1/ 2l



;

lnl



1/2

=(μ )



lm lmn l nl

,,,1/2,



(μ )

1/ 2 ,

(=1)=0

вы-

полнено.

Подставляя эти разложения в уравнение (34.4) и используя уравне-

ние (22.4), получим

μ =

ag

nl lmn lmn

,,, ,,

или

=/μ

ag

lmn lmn nl

,, ,, ,

Коэффициенты

можно найти, используя ортогональность

,,lmn

функций Бесселя (§ 25):

=(μ )

,, , 1/2 ,

lmn lm l nl



((μ ))

1/2 ,

lnl



1/2

rQJ rrdr





Таким образом, функция

u может быть записана в виде ряда

1/2



lmn l nl l



Поскольку

=(μ )

uarJ rY



2,, 1/2,

nlm

представима в виде произведения

1/ 2l



ном, содержащий только четные степени мый ряд будет регулярным и

u будет удовлетворять уравнению Пуас-

, то при

1/2l



на поли-

=0r

рассматривае-

сона во всех точках области.

Рассмотрим решение задачи об эволюции распределения тепла в шаре при заданных внутренних источниках и температуре на границе. Математическая постановка задачи имеет вид

=(,θ, φ,)

uuqr t ;

Представим

в виде

граничными условиями

с граничными условиями

(=0)ut .

Для поиска чая через

– коэффициенты разложения

(,)

u используем метод разделения переменных. Обозна-

коэффициенты разложения функции

,lm

(=1)= (θ, φ,)ur t

=uu u , где 1u – решение уравнения Лапласа с

(=1)=ur  , а 2u – решение уравнения

uuqu

22 1

=0u и начальными условиями

;

(=0)= (,θ, φ)ut u r .

u по сферическим функциям,

(=0)=ut u

qu , а через

получим



lm lm



trr





1(1)

rfQ

 



lm lm

Применяя метод разделения переменных по отношению к перемен-

1/2

ным

и t и сделав замену

ставимо в виде ряда по функциям



lm lm

, легко видеть, что

(μ )

1/2



(1/2)



. Поскольку

(μ )

,lm

пред-

искомая функция должна быть регулярной в нуле и равняться нулю при

, необходимо взять только функции Бесселя положительного ин-

=1r

декса, а в качестве

– нули соответствующей функции Бесселя

,μnl

В итоге выражение для



=()(μ )(θ, φ)

uTtrJrY

 

2,,1/2,

nlm l

=0 =0 =



u будет иметь вид



nlm l nl l

1/ 2



;

 

()= (τ) τ

Ttae e b e d

,, ,, ,,

nlm nlm nlm

μμ μτ

Как обычно, коэффициенты

1π2π



 

00 0

Коэффициенты

1π2π



 

00 0

nlm

()(μ )sinθθφ

uuJ rYrdr dd

nlm

()(μ )sinθθφ

2π((μ ))

lnll

01 1/2,

,,nlm

qu J rY r dr dd



связаны с правой частью

2π((μ ))

tl nl l



11/2,

22 2

,, ,

nl nl nl



,,nlm

21 (||)!

llm





1/2 ,



lnl

21 (||)!

llm







1/2 ,

lnl



находятся из начальных условий

(||)!





3/2

(||)!





3/2



Задача 1. Как изменятся решения всех рассмотренных в этом пара-

графе задач, если граничное условие задано на сфере

=rr?

Задача 2. Как изменятся решения всех рассмотренных в этом пара-

графе задач, если искать решение в слое, ограниченном двумя сферами с одним центром?

ЧАСТЬ III

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ III

Приведенные выше решения уравнения теплопроводности в виде рядов и интегралов полезны для анализа общих свойств этого решения, оценок, поиска асимптотик, а также в случаях, когда число членов этих рядов мало. Кроме того, подобного типа решения могут входить в какие-либо другие формулы для решения более общих задач. Дальнейшие преобразования формул Однако в большинстве случаев решения подобного рода мало информативны: ряды с большим количеством членов, содержащих интегралы от сложных функций, не позволяют составить представление о поведении полученного решения. Вычисление этих рядов и интегралов с помощью компьютера также не является эффективным методом решения обсуждаемых мени или от самого решения делает рассмотренные выше методы неприменимыми.

шения уравнения теплопроводности является метод конечных разностей. Ниже будут описаны наиболее типичные конечно-разностные схемы. Заметим, что приведенные в предыдущих параграфах аналитические решения ния программ и исследования точности получаемых численно решений.

задач. Наконец, зависимость коэффициентов от координат, вре-

Намного более эффективным и широко используемым методом ре-

в виде рядов могут быть использованы для тестирова-

могут приводить к более простым выражениям.

§ 35. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Изложим качественно, без привлечения точных определений, основные положения теории разностных схем.

Будем интересоваться решением уравнения

= χ

в конечном числе точек по вами, введем сетку по

в этих точках. Приближенные значения решения уравнения в этих точ-

ках

разностной схемы

будем вычислять, например, с помощью формулы (конечно-

, или схемы):

nn n nn



uu u uu

ii i ii

Эта схема позволяет вычислить значения

1nt

по значениям

в предыдущий момент времени с помощью про-

стой формулы явным образом: кие схемы называются

явными. Значения

мени известны из начальных условий к уравнению.

Можно искать



с помощью схемы

1111

nn n nn



uu u uu



ii i ii

В этом случае для поиска ных алгебраических уравнений, в которую вовлечены все точки по

Простой формулы для

явными

. В случае схемы (35.3) матрица системы линейных уравнений

содержит только три ненулевые диагонали и может быть легко решена численно с помощью алгоритма просто

прогонки).

uu (35.1)

txx

и t: ==

xih,

==τ

tt n

. Иными сло-

и t с шагами h и τ соответственно и узлами



= χ

uu u uuh

= χ





nn n nn



= τχ(2 )/

ii i ii



необходимо решать систему линей-



. (35.2)



в момент времени



в начальный момент вре-

. Та-

. (35.3)



не существует. Такие схемы называются не-

трехдиагональной прогонки (или

Возникает вопрос: какова точность получаемого решения?

Насколько нения

димости

близко к решению исходного дифференциального урав-

(, )

ux t

в узлах сетки? Иными словами, возникает вопрос о схо-

решения конечно-разностного уравнения к решению диффе-

ренциального уравнения. Можно ожидать, что чем меньше шаги сетки

и τ, тем точнее будет решение. Если различия между

будут равны

(,τ )

разностной схемы

, то говорят, что порядок сходимости конечно-

равен m и n по h и τ соответственно. Чем выше

(, )

ux t

порядок сходимости, тем сильнее уменьшается погрешность вычисления при уменьшении шагов сетки. Например, если в случае одной переменной порядок сходимости первый, то уменьшение шага в два раза приведет к уменьшению ошибки в два раза, а в случае второго порядка – в четыре. Если сходимость имеет второй вый по

, то при достаточно малых шагах различия между точным

порядок по h и пер-

и численным решениями приблизительно выражаются формулой

. Здесь A и B – некоторые не зависящие от шагов сетки числа.

hB

При этом

и B могут зависеть от конкретного решения.

Сходимость и порядок сходимости связаны с порядком аппроксимации конечно-разностной схемы и ее устойчивостью. Ниже приведем примеры, раскрывающие эти понятия, не давая их точных определений.

Аппроксимация характеризует, насколько соотношения между

близки к соотношениям между

(, )

ux t

при различных i и n локально.

Типичная процедура определения порядка аппроксимации, например, схемы (35.2) для уравнения (35.1), состоит в следующем. Подставим

в уравнение (35.2) вместо

величины

(, )

ux t

, где

(,)uxt

является

решением дифференциального уравнения (35.1). Оценим, насколько точно выполняется в этом случае равенство (35.2). Если отличие состав-

ляет мации

(,)

Oh 

m по

, то говорят, что схема (35.2) имеет порядок аппрокси-

n по

. Для производства этой оценки в случаях не-

прерывных функций и достаточного количества непрерывных производных достаточно разложить в ряд Тэйлора, например, в точке

функцию

ux t ux t ux t u u

ii itnttn

 .

xt xt

nn n



(, )=(, τ)= ( , ) | τ | τ / 2 ...

Аналогичные разложения необходимо произвести и в других узлах. Учитывая, что производные от решения уравнения связаны между собой этим уравнением, получаем, что для схемы (35.2)

m , =1

n ,

т. е. порядок аппроксимации этой схемы по пространству второй, а по времени – первый. Заметим, что в других случаях для определения порядка аппроксимации могут понадобиться связи между производными от

более высокого порядка, которые можно получить дифференциро-

ванием исходного уравнения (35.1). Например,

= χ =( ) =χ

uu u u

tt xxt t xx xxxx

Аппроксимация может быть условной. В этом случае при подстановке решения дифференциальной задачи в узлах сетки в разностное

(τ /)Oh

уравнение возникают члены, например, вида

. Соответственно

для получения все более точного решения необходимо уменьшать шаги

τ / h

сетки таким образом, чтобы стремилось к нулю отношение

Аппроксимация характеризует, насколько конечно-разностная схема хорошо приближает исходное уравнение локально. Однако за большое количество шагов по времени конечно-разностное решение может значительно отклониться от решения дифференциальной задачи. Причем чем меньше шаг по времени, тем больше надо сделать шагов по времени, чтобы достичь желаемого момента. На каждом из этих шагов накапливаются отклонения. Чтобы этого не происходило, схема должна

устойчивой.

быть

Опишем стандартную процедуру выяснения устойчивости схемы с постоянными коэффициентами. В этом случае можно разложить решение конечно-разностной схемы в ряд, состоящий из слагаемых вида

nnji

= ρ



с различными . Здесь j – мнимая единица, а n в правой



части – степень, а не индекс. Подставим это выражение в конечно-разностную схему. В результате получим выражение для множителя пере-

хода

в зависимости от  . Очевидно, что если | ρ|1 для всех  ,

то малые возмущения не будут нарастать со временем (с увеличением индекса

). Подобное исследование полностью аналогично исследова-

нию на устойчивость посредством разложения по плоским волнам

γtjkx



(

ρ = e

γτ

kh

) в случае дифференциального уравнения. В слу-

чае конечно-разностных схем более правильным требованием устойчивости является

| ρ |1 τC , где

не зависит от шагов сетки. Однако

этих деталей касаться не будем.

Множитель перехода зависит от

 и параметров сетки

и τ.

Например, в случае схемы (35.2) имеем

ρ 14(χτ /)sin(/2)h 

Условие устойчивости в этом случае эквивалентно

скольку

sin ( / 2) 1,

это дает

τ /(2χ).h

(35.4)

ρ 1

. По-

Такие схемы называются условно устойчивыми.

В случае схемы (35.3) множитель перехода

ρ =1 (4χτ /)sin(/2)h







независимо от шагов сетки меньше единицы. Такие схемы называются абсолютно устойчивыми. Как правило, неявные схемы более устойчивы, чем явные.

Существуют также абсолютно неустойчивые схемы. Проводить расчеты по ним нельзя: растущие неустойчивые гармоники приводят к появлению нефизических колебаний.

Изложенный выше метод определения устойчивости называется спектральным признаком устойчивости. Он

применим к схемам с постоянными коэффициентами. В случае схем с зависящими от координат коэффициентами или нелинейными схемами часто применяют принцип замороженных коэффициентов. Он заключается в следующем. Пусть некоторый параметр, например коэффициент теплопроводности

изменяется в пределах

для схемы (35.2), полагая

наиболее жесткое ограничение на шаг по времени:

(χ : χ ) . Вычислим множитель перехода

min max

χ = const

. В неравенстве (35.4) возьмем

τ /(2χ )h

max

Многочисленные примеры показывают, что это ограничение действительно обеспечивает устойчивость схемы (35.2) при непостоянном

коэффициенте χ. Подобный подход к определению устойчивости схем с непостоянными коэффициентами часто дает правильную оценку усло-

вий устойчивости этих схем.

Если условие устойчивости позволяет проводить расчет с большим шагом по времени, то для получения решения в необходимый момент требуется меньше расчетного времени. Однако практика показывает, что при использовании абсолютно устойчивой схемы (35.3) при

шаге по времени, во много раз превышающем ограничение (35.4), страдает точность расчетов. Это можно показать, сравнивая декремент конечно-раз-



ностной схемы

γτln ρ



и точного решения. Качественно это можно

понять из следующих нестрогих соображений. В схеме используются узлы сетки, удаленные друг от друга на расстояние нению теплопроводности за время

ние

. Соответственно если

χτ

тепло диффундирует на расстоя-

τ / χh

, то изменение решения при

. Согласно урав-

переходе с одного временного шага на другой будет определяеться не только соседними узлами. Поэтому ограничение (35.4) носит физический характер, и шаг по времени при использовании даже абсолютно устойчивой схемы будет требовать ограничений вида (35.4) из соображений точности расчета. Однако в случае неявной схемы (35.3) шаг по времени

может быть существенно больше (например, в два раза; это зависит от конкретного решения), чем в случае явной схемы. Для больших задач это может оказаться существенно.

Известна

основная теорема теории разностных схем, связыва-

ющая аппроксимацию, устойчивость и сходимость. Она состоит в том, что если схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком аппроксимации

, , ...

nm по различным перемен-

ным и устойчива, то при стремлении шагов сетки к нулю конечноразностное решение будет сходиться к решению исходной задачи. Причем, порядок сходимости

симации:

nn , amm , ... .

будет не хуже порядка аппрок-

,,...nm

При анализе численных решений необходимо также учитывать ошибки округления, связанные с тем, что число представляется в компьютере конечным количеством цифр. При очень малых шагах конечноразностной сетки ошибки округления могут сильно уменьшить точность решения вплоть до его полного несоответствия конечно-разностной схеме.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]