Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
то
x
nk
n
1(1)
Pkkknx
= 2 (2 1) ...(2 1)
n
n
2
2
kn
kn k
!( )!
2
kn
n
kn
2
kn
2
β
k
, (30.1)
x
где
nk
(1) (2)!
β =
k
n
2!( )!(2 )!
kn k k n
k
.
Сравнивая ряд (29.5), составленный из коэффициентов (29.8), и ряд
(30.1), видим, что для того, чтобы коэффициенты полинома
P удо-
n
влетворяли соотношению (29.8), необходимо совпадение соотношения
β / β
1
kk
с соотношением
при
2/mm
=2mkn
.
Из ряда (30.1) имеем
β
1
k
β (2 1 )(2 2 )
k
Из формулы (29.8) при
22 1
kn k
2
kn k
(2 )( 2 1)
=
=
knnn kn
(2 1)(2 2) β
nk k
2( )(2 1)
knk n
=2mkn
имеем
kn kn
.
β
.
Таким образом, наше утверждение верно.
§ 31. СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
1. Полиномы Лежандра нормированы таким образом, что (=1)=1
а
( = 1) = ( 1)
Px
n
11(1)...1
= ( 1) ( 1) ( 1) 2 = =1
Pxx x
n
nn nn
2! 2!
ndx ndx
n
. Действительно, в окрестности
nn
ddnn
nn nn
81
=1
имеем
n
Px ,
n
.
!
Аналогично при
x
x
x
11
= (1)(1) (2)(1)=(1)
Pxx x
n
2.
P имеет
n
dd
nn nn
2! 2!
ndx ndx
=1x
:
nn
простых нулей на промежутке
n
nn nn n
1< <1
. Без стро-
.
гого доказательства это можно понять из следующих соображений.
2
n
Функция
(1 )
имеет один максимум. Поскольку производная в
точке экстремума равна нулю, то после однократного дифференцирования этой функции получится функция, имеющая один нуль. Кроме того,
она будет иметь один максимум и один минимум. После второго дифференцирования число нулей возрастет до двух и т. д.
3. Легко видеть, что
щие
P , 1nP
n
и
P
. Они имеют следующий вид:
1n
=1P , 1=Px. Получим формулы, связываю-
0
(1) (21) =0
nP nxPnP
, (31.1)
11
nnn
1
PPP
=( )
nnn
n
21
11
. (31.2)
Для доказательства используем ряд (30.1). Докажем, например, формулу (31.1). Из ряда (30.1) имеем
1
nk
1
n
(1) =(1)
nP n x
1
n
(2 1) = (2 1)
nxP n x
nP n x
n
=
1
n
21
kn
1
n
2 !( 1 )!(2 1)!
kn k k n
n
2!( )!(2 )!
kn
2
1
n
2 !( 1 )!(2 1)!
21
kn
(1) (2)!
1
n
kn k k n
(1) (2)!
k
nk
(1) (2)!
n
kn k k n
1
nk
k
k
21
kn
kn
21
21
kn
.
;
Складывая эти выражения и группируя слагаемые с одинаковыми
степенями
, приходим к необходимости доказать равенство
82
;
nk
P
ν
P
( 1)( 1) (2 )!(2 1)(2 2)
nkkk
n
1
2 !( 1)( )!(2 1)!
nk nk
(2 1)( 1) (2 )! ( 1) ( )(2 )!
nknnkk
nn
2!()!(2)!2!(1)()!(2 1)!
knkkn kk nkkn
kk n k k n
1
=0
или
( 1)(2 1) (2 1) 2 ( )
nk n nnk
(2 1)! (2 )! (2 1)!
kn kn kn
=0
.
Последнее равенство доказать несложно. Аналогично доказывается
формула (31.2).
1
() () =0
4. Полиномы Лежандра ортогональны
PxP xdx
nm
1
nm . Докажем более общее утверждение.
Если
P и
ν
являются решениями уравнений
μ
,
при
d
соответственно, то
1
(1 )
dx dx
d
(1 ) μ =0
dx dx
() () =0PxPxdx
νμ
1
Действуем обычным образом. Умножаем уравнение (31.3) на
уравнение (31.4) – на
P , вычитаем получившиеся выражения друг из
ν
друга и интегрируем полученную разность от
dP
2
ν
xP
dP
μ
2
xP
при
=0
; (31.3)
ν
(31.4)
μ
νμ
.
1
, а
μ
до 1. Взяв часть инте-
грала, содержащую производные по частям, приходим к равенству
1
(νμ)()()=0PxPxdx
νμ
1
, которое доказывает наше утверждение.
5. Примем без доказательства утверждение о полноте полиномов
Лежандра, а именно, что любую непрерывную функцию можно разложить в ряд по полиномам Лежандра.
83
Качественно это утверждение можно понять из следующих сообра-
x
x
x
x
x
жений. Максимальная степень
любую степень
ξ
– некоторые коэффициенты. В свою очередь, достаточно широкий
m
можно разложить в конечный ряд
, содержащаяся в
P , равна
n
n
= ξ
m
. Значит,
n
n
mm
=0
P
, где
класс функций можно приблизить степенным рядом.
n
Из представления
n
= ξ
m
=0
следует и ортогональность
P
mm
P лю-
n
бому полиному меньшей степени.
6. Из ортогональности и полноты
P следует утверждение о том,
n
что полиномами Лежандра исчерпываются все непрерывные решения
уравнения Лежандра (29.4), а собственные значения
мать только значения
Действительно, в силу полноты
(29.4) при
на
P и интегрируя от
m
λ = λ можно разложить в ряд по
2
(1)nn.
P любое решение λP уравнения
n
P . Умножая этот ряд
до 1, в силу ортогональности получаем, что
1
все коэффициенты этого ряда равны нулю. Следовательно,
λ могут прини-
2
n
λ
0P при
λ (1)nn .
1
2
() =2/(2 1)
7. Имеем
одну из функций
Pxdx n
n
1
P , входящих в интеграл через 1nP
n
. Для доказательства этого выразим
и
P
, по фор-
2n
муле (31.1):
11 1
() () = =
PxPxdx P xP P dx xPP dx
nn n n n nn
11 1
21 1 21
nn n
nn n
12 1
.
В последнем выражении опять воспользуемся формулой (31.1), выразив
11 1
11 1
P через 1nP
n
() () = =
PxPxdx P P P dx P dx
nn n n n n
и
P
21 1 21
nn n n
nnn n
. Получим
1n
11 1 1
21 21 21
84
2
.
Продолжая эту процедуру далее, имеем
x
x
11
22
Pxdx Pxdx
() = ()
n
11
3
n
21
1
.
Поскольку
Эту процедуру нельзя продолжить до
ниях используется полином
ществует. Несмотря на это выведенная формула верна и для
11
скольку
11
8. Пусть
Обозначим через
ношение длин этих векторов
=Px, то
1
2
() 1 =2P x dx dx
0
r
и
r – некоторые векторы трехмерного пространства.
0
косинус угла между этими векторами, а через t – от-
1
2
Pxdx
() =
n
1
2
. (31.5)
n
21
=0n
P
, что для
1n
=0n
дает
P
, который не су-
1
.
||/| |rr. Тогда функцию 01/ | |rr , соот-
0
=0n
, по-
ветствующую электростатическому потенциалу точечного заряда, помещенного в точку
Функцию
r , можно представить в виде
0
21/2
(,)=(1 2 )xt xt t
(,)= ()
можно разложить в ряд
tPxt
n
=0
1/ | |= ( , )/ | |rr xt r .
n
. (31.6)
n
00
Для доказательства достаточно показать, что выражение (31.6) – это
ряд Тейлора, т. е.
n
1
Px
()=
n
n
!
n
t
. (31.7)
0
t
Согласно известной формуле теории функций комплексного переменного (ТФКП):
n
11(,ξ)
!2π
ni
= ξ
nn
t
0
t
85
x
d
ξ
,
1
где интеграл берется по контуру в комплексной плоскости, который
P
x
охватывает точку
ξ =0
. Сделав замену
ξ =2( )/( 1)zx z
2
, преобра-
зуем этот интеграл к виду
2
11 ( 1)
nn
2π
i
2( )
zx
n
z
dz
.
1
Здесь интегрирование идет по контуру, охватывающему точку
Это выражение соответствует n-й производной от функции
/(2 !)nn
в точке
, т. е. равно
=zx
P . Таким образом, формула (31.7) до-
n
(1)/
z
казана. Следовательно, верна и формула (31.6).
§ 32. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ
ЛЕЖАНДРА
Обратимся теперь к уравнению (29.3). Покажем, что число
жет принимать только значения
(1)nn
, причем
решения уравнения (29.3) можно взять функции
kk
Px x
()=(1 )
n
(32.1)
2/2
dP
n
k
dx
k
называются присоединенными полиномами Лежандра.
Для этого будем искать решение (уравнения 29.3) в виде
2/2
k
=(1 )
. Для
z
k
(1 ) 2 ( 1) (λ (1))=0
z получаем
k
2
xz xk z kk z
kk k
2
k
n
nk
, а в качестве
, где
. (32.2)
=zx
2
λ мо-
2
.
n
=km
Проинтегрируем равенство (32.2), положив в нем
. В резуль-
тате получим
2
(1 ) 2 (λ ( 1) ) =const
xz xmz m mzdx
mm m
2
86
. (32.3)
При получении уравнения (32.3) использовались формулы
22
(1 ) = (1 ) 2 const,
xzdx xz xzdx
mmm
Обозначив
=const
xz dx xz z dx
mmm
zzdxC
1=mm
, где константа C подбирается таким
.
образом, чтобы константа интегрирования в правой части выражения
(32.3) равнялась нулю, получим уравнение
2
(1 ) 2 (λ (1)) =0
xz xmz m mz
112 1
mm m
которое совпадает с уравнением (32.2) при
между решениями уравнения (32.2) при
=
zz
mm
.
1
=km
=1km
и
=1km
,
. Таким образом,
имеется связь
Продолжая процедуру интегрирования дальше, придем к выводу,
что решение уравнения (32.2) при
выражается через решение
z
0
=km
уравнения Лежандра:
2
(1 ) 2 λ =0xz xz z
0020
Однако это уравнение разрешимо только при
нием является полином Лежандра
Иных значений
λ в уравнении (32.2) быть не может, так как это
2
P . Таким образом,
n
.
λ =(1)nn и реше-
2
mm
=/
zdPdx
mn
означало бы, что существует решение уравнения Лежандра при
λ (1)nn (это решение строится посредством описанной проце-
2
дуры интегрирования), что невозможно. Поскольку
n
, то
kk
/=0
dP dx
n
при
>kn
. Поэтому в уравнении (32.2)
P имеет степень
n
nk
.
Таким образом, присоединенные полиномы Лежандра (32.1) удовле-
творяют уравнению
.
dk
(1 ) ( 1) = 0
xnn P
dx dx
k
dP
2
n
2
k
n
2
1
x
nk
,
.
87
§ 33. СВОЙСТВА ПРИСОЕДИНЕННЫХ
ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Присоединенные полиномы Лежандра ортогональны, а именно
1
при этом
kk
PPdx
nm
1
=0
, если nm , (33.1)
1
kk
PPdx
nn
1
2( )!
nk
=
(2 1)( )!
nnk
Действительно, согласно формуле (32.1) имеем
11
kk k
=(1 )
PPdx x dx
nm
11
kk
dP dP
2
dx dx
nm
kk
Взяв интеграл в правой части по частям, получим
1
kk
dP dP
kk
dx dx
d
mn
1
dx
2
удовлетворяет уравнению (32.2), которое
Функция
11
kk k
PPdx x dx
nm
11
zdPdx
kn
=(1)
kk
=/
можно переписать в виде
d
(1 ) ( ( 1) ( 1))(1 ) = 0
xnnkkxz
dx dx
dz
21 2
kk
k
Перепишем это уравнение, заменив в нем
d
(1 ) ( ( 1) ( 1) )(1 ) = 0
xnnkkx
dx
kk
dP d P
221
kk
nn
kk
dx dx
. (33.2)
.
. (33.3)
.
k
k
на
1k
, получим
1
.
1
88
Используя это равенство, продолжим выражение (33.3) следующим
x
x
образом:
11
kk
11
kk k
PPdx nn k k x dx
nm
11
=((1)(1))(1) =
nk nk x dx
=( 1)( ) (1 ) =
dP dP
mn
11
kk
dx dx
=( 1)( )
nk nk P P dx
1
21
1
kk
dPdP
k
dx dx
1
11
kk
mn
1
21
11
mn
11
kk
.
Продолжая эту процедуру понижения
111
kk
P P dx P P dx P P dx
nm nm nm
111
()! ()!
nk nk
=
()! ()!
nk nk
00
k
далее, в итоге получим
.
Отсюда с учетом ортогональности полиномов Лежандра и формулы
(31.5) получаем формулы (33.1) и (33.2).
2. В различных задачах часто используются так называемые сфери-
ческие функции
kkik
(θ, φ)= (cosθ)
YPe
nn
k
где
могут быть отрицательными, но ||kn .
|| φ
,
Используя формулы (33.1) и (33.2), имеем
π2 π
km
YY dd
00
3. Функция
nk
rY
пени декартовых координат
sin θθφ= δδ
nl kmnl
выражается через многочлен, содержащий сте-
n
, y, z вида
лые неотрицательные числа, причем
4π (||)!
nk
21(||)!
nnk
βγ
yz
βγ= n
.
, где , β , γ – це-
. Таким образом, эта
функция является регулярной в центре координат. Для доказательства
89
представим
2
(ξ 1)n
в виде ряда по степеням
22
nq
ξ
, =0,1,...,qn.
Тогда
kn
kk nknkq
(ξ)(1ξ )(ξ 1) = (1 ξ ) ξ
Pc
nq
d
2/2 2 2/2 2
d
ξ
kn
qnk
2
q
=0
,
где
важно. Соответственно для
– некоторые коэффициенты, конкретное значение которых не
c
q
ξ =cosθ
kknkq
(cosθ)(sinθ)(cosθ)
Pc
nq
имеем
2
qnk
=0
q
Используя это, имеем
2
qnk
nk nik k nk q
rY re c
nq
φ 22 2
kik k qnk q nk q
=(sinθ)(cosθ)=
re cr r
=( sinθ )(cosθ)=
re crr
=( ) ( )
xiy cx y z z
φ 2
(sin θ)(cosθ)=
2
qnk
=0
q
2
qnk
φ 22
ik q nkq
2
qnk
kqnkq
q
=0
=0
q
q
q
=0
q
222 2
q
Что и требовалось доказать.
nk
Таким образом, функции
являются регулярными (аналитиче-
rY
n
скими, не имеющими особенностей) при
2
.
=0r
.
.
Задача 1. Чему равен лапласиан от полинома
Задача 2. Выписать в явном виде полиномы
стеме координат для
=0,1,2n
и всех k.
90
nk
?
rY
n
nk
в декартовой си-
rY
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]