Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
где A, B, C – некоторые функции времени, то остаточные члены бу-
x
дут порядка
2
, т. е. аппроксимация будет условной.
/rhh
φ
Порядок сходимости может быть выше, чем порядок аппроксимации (§ 35). Точный анализ и расчеты многих авторов показывают, что
для большинства задач отличия точного решения уравнения (39.1) от
решения разностного уравнения (39.2) составляет
22
Oh h
r
Во многих случаях требуется вычислять не только саму функцию
,,τ
φ
.
u
но и ее градиент. Например, в гидродинамических задачах (см. § 17) или
задачах о движении заряженных частиц в потенциале, ими же создаваемом. В последнем случае движение частиц определяется электрическим
полем – градиентом потенциала. Возникающее в этих задачах уравнение Пуассона можно рассматривать как стационарный случай уравнения теплопроводности, которое можно решать с
помощью стационарного аналога уравнения (39.2). Градиенты можно вычислять с помощью
формул
,
ri j
() =
uu
u
1/ 2, 1/ 2,
ijij
h
r
, (39.4)
,
uu
ij ij
u
. (39.5)
() =
ij
φ 1/ 2, 1/ 2
1/2, 1 1/ 2,
h
φ
Связь между декартовыми и цилиндрическими компонентами гра-
диентов имеют обычный вид
()sin ()cos
uu
r
. В центре координат, учитывая выражение
()=()cosφ ()sinφ
uu u
xr
,
()=
φ
u
y
(39.3), можно воспользоваться формулой
j
0
()= cosφ
uu
4
hj
r
()= sinφ
,
uu
jj
1/2,
j
=1
0
yjj
Тщательный анализ показывает, что погрешность вычисления
связанная с выражением (39.3) с шагом
, имеет вид
h
φ
4
hj
r
j
0
1/2,
j
=1
0
2
φ
lnOh r
.
()
u ,
, т. е. уве-
r
личивается вблизи начала координат. Формула (39.5) дает погрешность
2
вычисления
/Oh r . При этом min = / 2
φ
rh . Еще более неприятным
r
111
является то обстоятельство, что в случае формул (39.2)–(39.5) декар-
товы компоненты градиента не стремятся к постоянным величинам при
0r
, а зависят от угла. То есть градиент в центре координат не имеет
определенного направления. При решении упомянутых выше физических задач это приводит к сильным нефизическим возмущениям
в окрестности центра координат, а нередко и к полному развалу численного решения.
Возможным решением обсуждаемой проблемы является решение
уравнения (39.1) и, если необходимо,
φ
ложения в ряд Фурье по
и взятие производных по φ точно. Однако
других уравнений, с помощью раз-
этот метод является громоздким и требует больше вычислений. Возникают также сложности при решении нелинейных задач.
Во многих случаях оказывается эффективным чрезвычайно простой
метод преодоления обсуждаемых проблем. Идея метода заключается
в следующем. Причиной этих проблем является недостаточно точное
φ
вычисление производных по
ложения (39.3), пропорциональных
в формулах (39.2), (39.5) от членов раз-
cosφ
и sin φ . Вычисление произ-
водных от членов разложения в ряд Тэйлора с более высокими степе-
r
нями
и (39.5), заменив
не создает трудностей. Поэтому перепишем формулы (39.2)
на
h
2sin( / 2)hh
φ
φφ
. Например, соответствующий
член в формуле (39.2) будет выглядеть как
lll
uuu
1
22
r
i
2
,1 , ,1
ij ij ij
2sin( / 2)
h
φ
.
Тогда производные от проблемных первых членов ряда Тэйлора будут вычисляться точно, а аппроксимация членов разложения более вы-
2
соких степеней останется по прежнему
Oh
.
φ
Проблемы, аналогичные описанным выше, возникают также при решении задач в сферических координатах в окрестности полюсов. Преодолеваются они аналогично.
112
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. –
Москва : Наука, 1976.
2.
Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции /
В. Я. Арсенин. – Москва : Наука, 1984.
3.
Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики /
М. М. Смирнов. – Москва : Физматгиз, 1961.
4.
Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – Москва :
Наука, 1986.
5.
Араманович И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Арамано-
вич, В. И. Левин. – Москва : Наука, 1964.
6.
Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. – Москва : Наука, 1982.
7.
Будак Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак,
А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. – Москва : Физматлит, 2003.
8. Свешников А. Б. Лекции по математической физике / А. Б. Свешников,
А. Н. Боголюбов, В. В. Кравцов. – Москва : Изд-во МГУ, 2004.
9.
Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической фи-
зики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – Москва : Высшая
школа, 1970.
10.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев. –
Москва : Физматгиз, 1966.
11.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владими-
ров.– Москва : Наука, 1982.
12.
Никифоров А. Ф. Специальные функции математической физики /
А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. – Москва : Наука, 1984.
13.
Кузнецов Е. А. Методы математической физики / Е. А. Кузнецов,
Д. А. Шапиро. – Новосибирск : НГУ, 2011.
14.
Бейтмен Г. Высшие трансценентные функции. Т. I. Гипергеометриче-
ская функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – Москва : Наука,
1973.
113
Бейтмен Г. Высшие трансценентные функции. Т. II. Функции Бесселя.
15.
Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – Москва : Наука, 1974.
16.
Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – Москва :
Наука, 1983.
17.
Годунов С. К. Разностные схемы. Введение в теорию / С. К. Годунов,
В. С. Рябенький. – Москва : Наука, 1973.
18.
Березин Ю. А. Моделирование нестационарных плазменных процессов /
Ю. А. Березин, М. П. Федорук. – Новосибирск, Наука, 1993.
19.
Жуков В. П. Конечно-разностная схема для решения двухжидкостных
МГД уравнений в цилиндрической системе координат / В. П. Жуков //
ЖВММФ. – 2005. – Т. 45, № 1. – С. 156–169.
20.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач мате-
матической физики / Н. Н. Яненко. – Новосибирск : Наука. Сибирское отделение, 1967. – 195 с.
114
Жуков Владимир Петрович
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2-е издание, исправленное и дополненное
Редактор Е.Е. Татарникова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
_________________________________________________________________________________
Подписано
Уч.-изд. л. 6,74. Печ. л. 7,25. Изд. № 25. Заказ № 204. Цена договорная
_________________________________________________________________________________
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
в печать 29.06.2023. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Учебное пособие
115
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]