Методы решения оптимизационных задач в медицине. Учебное пособие

Современное управление, требующее принятия решений, имеющих не только большое стоимостное выражение, но и различные социальные последствия, должно быть обеспечено разнообразным инструментарием, позволяющим осуществлять выбор из имеющихся вариантов, если не наилучшего решения, то, во всяком случае, предпочтительного с точки зрения лица принимающего решение. Необходимость изучения методов оптимизации и теории принятия решений в инженерных направлениях и специальностях обусловлена как минимум двумя факторами. Во-первых, большинство специалистов рано или поздно становятся руководителями и, следовательно, вынуждены принимать управленческие решения. Во-вторых, инженерная деятельность предполагает принятие многочислен­ных технических и технологических решений (при проектиро­вании наилучшей конструкции медицинской техники, в случае выбора оптимальной последовательности обработки потоков задач и оптимального режима функционирования медицинских аппаратов и систем и во многих других ситуациях). Сегодня оптимизационные задачи и задачи принятия решений модели­руются и решаются в самых различных областях техники. Существенно значение оптимизации и для медицины.

Учебное пособие имеет следующую структуру.

В первой главе рассматривается задача производственного плана и ее решение симплексным методом. Вторая глава посвящена решению задачи производственного плана средства­ми EXCEL. В третьей главе рассматривается целочисленное линейное программирование и решается задача о назначениях средствами EXCEL. Четвертая глава посвящена транспортной задаче и способам ее решений. Пятая глава анализирует задачу коммивояжера, алгоритм ее решения и оптимизации. Шестая глава посвящена методам решения многокритериальных задач. В конце каждой главы представлены контрольные вопросы, призванные закрепить пройденный материал.

Задача производственного плана состоит в определении количества производимого товара для получения максималь­ной прибыли. В случае если ресурсы не ограничены, то решение задачи не представляет сложностей: больше производится — больше прибыль. Но если видов произво­димой продукции даже не два, а три, четыре или больше. А еще предприятие может быть ограничено в ресурсах. То есть известны значения каждого из ресурсов, которое нельзя превысить. Причем ресурсами могут выступать различные показатели: затраты времени, сырье (металлы, дерево, пласт­массы, керамика и т.д.), финансы, информация и т.п.

Для производства гальванизаторов, УВЧ и «Дарсонваль»­аппаратов требуются трансформаторы, фильтры и усилители. Будем считать, что стоимость различных трансформаторов равна. Равна стоимость и различных фильтров. Аналогично и для усилителей. Для производства одного гальванизатора требуется 2 трансформатора, 4 фильтра и 4 усилителя. Для производства одного аппарата для дарсонвализации требуется 3 трансформатора, 2 фильтра и 4 усилителя. Для производства одного УВЧ-аппарата требуется 6 трансформа­торов, 4 фильтра и 8 усилителей. Общее количество трансфор­маторов равно 240. Всего имеется 200 фильтров. Запас усилителей производится — 160.

Требуется определить, в каком количестве производить аппараты для терапии, чтобы получить максимальную прибыль. Симплекс-метод подходит для решения таких задач. Его алгоритм состоит в следующем:

–

–

только среди положительных коэффициентов ведущего столбца определяются соотношения правых частей ограни­чений к соответствующим положительным коэффициентам. Среди этих отношений выбирается минимальное, и соответ­ствующая строка объявляется ведущей. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки находится ведущий элемент;

–

пересчет симплекс таблицы: ведущая строка делится на ведущий элемент (начиная со столбца b), вся остальная часть таблицы пересчитывается по правилу «прямоугольника». Для того чтобы определить значение элемента в новой таблице по этому правилу, нужно найти отношение разности произведений диагонали, составленной из ведущего элемента и самого элемента в предыдущей таблице и другой диагонали (чтобы получился прямоугольник в таблице) к ведущему элементу.

Мы в дальнейшем более подробно изучим это правило на примере;

Таблица 3

на второй итерации

приравниваются к нулю. Теперь подставим значения для найденных переменных в целе­вую функцию и найдем ее значение 4*40 = 160. Оптимальный

план можно записать так:

1

Вывод: необходимо производить только гальванизаторы

(в количестве 40 штук) для получения максимальной прибыли.

Для производства ЭКГ, ЭЭГ и ЭМГ аппаратов требуются трансформаторы, фильтры и усилители. Будем считать, что стоимость различных трансформаторов равна. Равна стоимость и различных фильтров. Аналогично и для усилителей. Для производства одного ЭКГ требуется 5 трансформаторов, 1 фильтр и 4 усилителя. Для производства одного ЭЭГ требу­ется 2 трансформатора, 6 фильтров, а усилителей не требуется. Для производства одного ЭМГ требуется 3 трансформатора, 2 фильтра и 3 усилителя. Общее количество трансформаторов равно 25. Всего имеется 20 фильтров. Запас усилителей — 18.

Требуется определить, в каком количестве производить аппараты ЭКГ, ЭЭГ и ЭМГ, чтобы получить максимальную прибыль.

в правых частях ограничений есть отрицательные числа, то

ственно меняются и знаки неравенств на противоположные. Далее избавляются от знаков неравенств: если стоял знак ≤ , то к соответствующему ограничению прибавляется новая допол­нительная переменная, а если был знак ≥, то новая дополнительная переменная вычитается. Так как этих дополнительных переменных нет в целевой функции, то на общую прибыль они не будут нести влияния.

6.

Далее определим оценки — последняя строка таблицы. Например, оценка для переменной x2: 0*2+0*6+0*0−(−5) = 5. У нас получились три положительных оценки. Выбираем максимальную (9). Значит, столбец x3 является ведущим. Определим ведущую строку, для чего найдем соотношения: 25 : 3 = 8,3, 20 : 2 = 10, 18 : 3 = 6. Поэтому третья строка (x6) является ведущей, так как именно в ней отношение получилось минимальным. Значит, выделенный элемент (3) является ведущим.