Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения оптимизационных задач в медицине. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

В ячейке I9 будем считать значение целевой функции — общее время проведения всех анализов. Ее значение представляет собой сумму произведений двух матриц: матрицы распределения анализаторов по видам анализов (С3:G7) и матрицы времени выполнения анализов (С13:G17). Дальнейшая работа выполняется в диалоговом окне «Поиск решения» (рис. 17).

Рис. 17. Диалоговое окно «Поиск решения»

В этом окне устанавливаются целевая ячейка (I9), изменяемые ячейки (C3:G7), указывается направление поиска (минимизация). Далее вводятся ограничения: C3 = двоичное, ..G7 = двоичное (таких ограничений будет 25 по числу ячеек изменяемой матрицы), C8=1, D8=1, E8=1, F8=1, G8=1, H3=1, H4=1, H5=1, H6=1, H7=1 (таких ограничений будет 10 — сумма строк и столбцов). Ограничение двоичных переменных позволяет ограничить переменную либо нулем (данная работа не выполняется конкретным сотрудником), либо единицей (работа выполняется). Ограничения на значения сумм столбцов и строк позволяет соблюсти условия того, что каждый из сотрудников может выполнять только один вид работ и каждая работа будет выполнена только одним сотрудником. В нашем случае мы используем линейную модель. Результаты оптимизации представлены на рис. 18.

Рис. 18. Результаты оптимизации

Выделенные ячейки соответствуют распределению видов анализов между анализаторами. Значение целевой функции, равное 11, — минимальное значение времени выполнения всех анализов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 3

1. В чем заключается задача о назначениях?

2. Какие исходные данные необходимы для решения

такой задачи?

3. Почему целевая функция может стремиться и к мини-

муму, и к максимуму? От чего это зависит?

4. Сколько ограничений необходимо задать?

5. Как определяется целевая функция?

6. Какие дополнительные ограничения можно задать

к такой задаче?

7. Что такое квадратичная задача о назначениях?

ГЛАВА 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Под транспортными задачами объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Такие задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены известным симплексным методом. Однако обычная транспортная задача имеет большое число переменных и решение ее симплексным методом очень громоздко. С другой стороны, матрица системы ограничений транспортной задачи весьма своеобразна, поэтому для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить последовательность опорных решений, которая завершается оптимальным решением.

Например, у нас есть сеть поставщиков лекарств, где хранятся медикаменты. Также имеется сеть аптек, которым требуется определенное количество лекарств. При этом на каждом складе поставщика различный объем запасов этих товаров. Кроме того, так как расстояние между различными аптеками и складами разное, то и отличается стоимость перевозок с определенного склада в определенную аптеку. Поэтому отличаются и тарифы − затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждой аптеке. Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы аптеки получили требуемое количество медикаментов с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Для решения транспортной задачи необходимо знать количество товара на каждом из складов и потребность каждой аптеки (магазина) в этом товаре. Плюс следует знать все тарифы. Если тарифов нет, то можно с помощью различных интернет-сервисов определить соответствующие расстояния между поставщиками и потребителями и по среднему расходу топлива определить затраты (тарифы).

Есть у транспортной задачи и свои недостатки. Подразумевается, что перевозить мы будем только один вид товара, что бывает крайне редко. Плюс к этому, общая стоимость перевозок определяется как произведение тарифов на количество перевезенного товара. Таким образом, общая стоимость зависит от количества, а товар вполне может быть и малогабаритным. В этом случае если мы везем две, три или даже пятьдесят небольших коробок, то стоимость перевозки не должна отличаться. Поэтому транспортную задачу целесообразно использовать в следующих случаях:

– мы имеем несколько поставщиков и несколько потреби-

телей;

– перевозится только один вид груза;

– мы развозим крупногабаритный товар, только одна

единица которого (контейнер, поддон, большой коробок) помещается в автомобиль.

Но некоторые недостатки транспортной задачи можно обходить и применять ее в некоторых интересных случаях. Например, речь идет об аптечной сети. Руководители решили закрыть несколько нерентабельных аптек и открыть несколько новых. При этом весь ассортимент старых аптек надо перевести в новые. Новые аптеки могут находиться совсем в других местах. Их количество может отличаться от количества закрываемых. Подразумевается, что некоторые группы препаратов можно группировать в крупные короба.

Или другой пример. Имеем крупную розничную сеть по продаже крупногабаритного товара (например, ортопедическое оборудование). В некоторых магазинах есть категории товаров, которые «залеживаются». А другие магазины, наоборот, чувствуют потребность в этом товаре. Математическая модель транспортной задачи следующая:

Z = ΣΣXijCij, при условиях:

ΣXij = Ai, i = 1, 2, … m;

ΣXij = Bj, j = 1, 2, … n;

Z → min,

где Z — затраты на перевозку грузов; X — объем груза;

ijji

cvu 

C — стоимость (тариф) перевозки единицы груза; A — запас поставщика; B — запрос потребителя; m — число поставщиков; n — число потребителей.

Решение задачи методом потенциалов происходит в несколько этапов:

 определение опорного решения;

 применение к найденному опорному решению самого

метода потенциалов;

 проверка единственности решения.

Определение опорного плана, в свою очередь, можно выполнить несколькими способами:

 метод северо-западного угла;

 метод минимального элемента.

Опорный план определяется достаточно несложно. Методом северо-западного угла заполняем сначала верхнюю левую ячейку. Количество груза, которое в нее записываем, равно меньшому числу из двух: потребности первого магазина и запасам первого склада. Далее двигаемся как бы по диагонали (вниз и вправо), последовательно заполняя ячейки. В итоге последней заполняется нижняя правая ячейка.

В методе минимального элемента первой заполнятся ячейка с минимальным тарифом. Дальше последовательно заполняется следующая из незаполненных ячеек с минимальным тарифом. При этом и в первом, и во втором методе, если мы заполнили ячейку количеством груза, которое полностью «покрывает» запас склада или потребность магазина, то строку (столбец) мы заполняем только одним числом, остальные ячейки строки (столбца) будут пустыми. Алгоритм метода потенциалов:

1. Построение первоначального опорного плана.

2. Определение потенциалов строк (пунктов отправления (ui)) и столбцов (пунктов назначения (v)). Потенциалы находят, решая систему уравнений:

, где с

— тарифы,

стоящие в заполняемых клетках таблицы. Для нахождения

решения системы один из потенциалов приравнивается произвольному числу (например, u1 = 0) и последовательно

находятся значения всех остальных потенциалов. Удобнее в конце последовательно выписать все найденные потенциалы.

3. Проверка оптимальности плана. Проверяем выполнение условия оптимальности:

(где нет количества груза). Вычисляем ij =

ui  v j  C

для всех свободных клеток

ui  vj  C

—

оценки свободных переменных для оптимального базиса. Если все оценки свободных переменных для оптимального базиса



 0, то получаемый план является оптимальным, иначе —

к шагу 4.

4. Выбор свободной переменной (выбор клетки, в которую необходимо послать переменную). среди 

0. Если таких клеток несколько, то для заполнения



i0j0

 max ij

выбирается клетка, имеющая минимальный тариф.

5. Построение цикла пересчета для выбранной свободной клетки i0j0. Циклом в таблице условий ТЗ называется ломаная линия, которая начинается в свободной клетке и вершины которой (кроме начальной) расположены в занятых клетках, а звенья параллельны строкам и столбцам. После построения цикла его вершины последовательно отмечаются знаками «+» и «−», причем свободной клетке приписывается знак «+».

6. Определение величины перераспределения груза. d  min xij , где xij — перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченных знаком «−». Клетку, которой соответствует d, обозначим через i1j1.

7. Сдвиг по циклу пересчета (перераспределение грузов). В выбранную для заполнения свободную клетку (i0,j0) заносится значение d. Одновременно это число прибавляется к значениям перевозок, стоящих в клетках со знаком «+», и вычитается из значений перевозок, стоящих в клетках со знаком «−». Таким образом, клетка (i0,j0) становится занятой, а i1j1 — свободной.

8. Переход к шагу 2.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1 В2 В3 В

1 2 4 1 50

2 3 1 5 30

3 2 4 4 10

Потребности

Приведем несколько примеров решения транспортных задач. Имеем три пункта отправления (склада) и четыре пункта назначения. Потребности и запасы в грузах соответствующих пунктов отправления и назначения представлены в табл. 10. Также в этой таблице на пересечении строк и столбцов приведены тарифы (стоимость перевозки одной единицы груза).

Таблица 10

Составим таблицу транспортной задачи. Начальный план перевозок определим методом северо-западного угла (табл. 11). Для удобства тарифы будем записывать в правом верхнем углу, а количество груза — по центру.

Таблица 11

Затем определяем потенциалы пунктов отправления и потенциалы пунктов назначения. Для этого составляем уравнения для занятых клеток таблицы:

U1+V1 = 1, U1+V2 = 2, U2+V2 = 3, U2+V3 = 1, U2+V4 = 5, U3+V4 = 4.

Пусть U1 = 0, тогда V1=1, V2=2, U2=1, V3=0, V4=4, U3=0.

Вычислим оценки

= 0 + 0 – 4 = −4, Δ

= 0 + 1 − 3 = −2, Δ



для всех свободных клеток

= 0 + 4 – 1 = 3, Δ

= 0 + 2 – 2 = 0, Δ

таблицы:

= 1 + 1 – 2 = 0,

= 0 + 0 – 4 = −4.

Выбираем максимальную положительную оценку. Это оценка



= 3. Следовательно, на следующем шаге будет

заполняться клетка с индексом 14. Составим цикл пересчета для данной клетки и пометим его вершины последовательно знаками «+» и «–».

Определим величину перераспределения груза как минимальную из величин, стоящих в минусовых клетках. Это 10 единиц. Прибавляем данную величину к величинам перевозок, стоящим в клетках со знаком «+» и вычитаем ее из величин перевозок, стоящих в клетках со знаком «–» (табл. 12).

Таблица 12

Составляем систему уравнений для определения потенциалов и последовательно находим из нее значения всех потенциалов.

U1+V1=1, U1+V2=2, U1+V4=1, U2+V2=3, U2+V3=1, U3+V4=4.

Пусть U1=0, тогда V1=1, V2=2, U4=1, U2=1, V3=0, U3=3.

Вычислим оценки



ij для всех свободных клеток таблицы:

Δ13=0+0−4= −4, Δ21=1+0−2= −1, Δ24=1+1−5= −3,

Δ31=3+1-3= 1, Δ32=3+2−2= 3, Δ33=3+0−4= −1.

Максимальная положительная оценка перераспределения груза равна 10 (табл. 13).

Получили следующую таблицу (табл. 14).

= 3.

Таблица 13

Таблица 14

Величина

U1+V1=1, U1+V2=2, U1+V4=1, U2+V2=3, U2+V3=1, U3+V2=2.

Пусть U1=0, тогда V1=1, V2=2, U4=1, U2=1, V3=0, U3=0.

Вычислим оценки

Δ13=0+0−4= −4, Δ21=1+1−2= 0, Δ24=1+1−5= −3,

Δ31=0+1−3= −2, Δ33=0+0−4= −4, Δ34=0+1−4= −3.



для всех свободных клеток таблицы:

Все оценки неотрицательны. Следовательно, полученный план перевозок является оптимальным.

Оптимальный план: F = 30*1+20*1+20*3+10*1+10*2 = = 140.

Оптимальный план мы рассчитываем, находя сумму произведений количества груза и соответствующих тарифов.

Рассмотрим еще один пример. Имеется три пункта отправления и четыре пункта назначения. Исходные данные (запасы, потребности и соответствующие тарифы) приведены в табл. 15. Для удобства по аналогии с предыдущим примером тарифы в таблице укажем в правом верхнем углу, а количество груза укажем по центру. Первоначальный опорный план составим с помощью метода минимального элемента.

Таблица 15

U1 +V2 = 2, U1 +V4 = 1, U2 +V1 = 6;

U2 +V3 = 5, U3 +V1 = 3, U3 +V2 = 2.

Возьмем U1 = 0 и последовательно найдем значения остальных потенциалов. Получим

U1 = 0, U2 = 3, U3 = 0, V1 = 3, V2 = 2, V3 = 2, V4 = 1.

Вычислим оценки



= 0 + 3 – 4 = −1,



= 3 + 1 – 6 = −2,



для всех свободных клеток таблицы



= 0 + 2 – 3 = −1,



= 0 + 2 – 6 = −4,



= 0 + 1 – 3 = −2.

= 3 + 2 – 3 = 2,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]