Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
или
A
A
X
X
A
B
B
A
X
X
A
X
=( )/2Bqq .
12
При
ется стационарным решением задачи (11.1), (11,2). При
qq стационарное решение невозможно, так как в стержень посту-
и
12
= γ =0f и постоянных
u , 2u , 1q , 2q функция
1
явля-
xB
==0
12
пает нескомпенсированный поток тепла и температура неограниченно
2
растет или падает. Заметим, что в этом случае функция
xBx Bt
2
является одним из решений задачи (11.1), (11.2).
Изучим теперь более подробно функции
(11.6) можно представить в виде
nnnnn
=cos(λ )sin(λ )
AxBx
. Решение уравнения
n
. После
подстановки этого выражения в формулу (11.9) получаем уравнения на
и
n
:
n
λ (sinλ cos λ )= ( cosλ sin λ )
nn n n n n n n n
Подставляя
λ =
nn n
AB A B. (11.13)
из формулы (11.12) в уравнение (11.13), получаем,
n
A , (11.12)
1
2
что для ненулевого решения необходимо выполнить условие
λ ()
12
Для функции
tg λ =
с учетом (11.12) имеем
n
=cos(λ )sin(λ )
Ax x
nn n n
n
n
2
λ
n
. (11.14)
12
1
λ
n
. (11.15)
Коэффициент
определяется нормировкой
n
, которая может
n
быть произвольной.
Проведем анализ уравнения (11.14). Прежде всего отметим, что если
число
λ
является решением уравнения (11.14), то (λ) также является его решением. При этом собственная функция (11.15) не зависит
от знака
корнями уравнения (11.14). Функция
. Поэтому можно ограничиться только неотрицательными
n
tg
31
изменяется от
n
до
и периодична. При положительных
X
X
X
X
X
вой части уравнения (11.14), монотонно меняется от 0 до
изменяющемся от 0 до
до . Поэтому уравнение (11.14) имеет бесконечное число кор-
12
12
ней. Случай, когда хотя бы один из коэффициентов
и 2 функция, стоящая в пра-
1
при
,
n
, и от до 0 при λn, изменяющемся от
или 2 равен
1
нулю, читателям предоставляется разобрать самостоятельно.
Заметим, что одно из собственных значений
нулю только в случае, когда оба коэффициента
Докажем ортогональность
. Для этого преобразуем вытекающее
n
λ
может равняться
n
и 2 равны нулю.
1
из формулы (11.8) равенство, используя интегрирование по частям
(штрихом обозначаем производную):
11
0= ( λ )(λ )=
mn nn nm mm
00
=( ) ( ) (λλ)
XXX XX XXdx XXdx
mn nm nm mn n m nm
22
XXdxXX Xdx
11
1
0
00
22
.
Подставляя в это выражение граничные условия (11.9), получаем
22
(λλ)=0
nmnm
1
λλ
При
имеем
nm
XXdx
nm
0
Можно доказать также полноту функций
точно широкий класс функций возможно разложить в ряд по
1
XXdx
0
, что и требовалось доказать.
=0
.
, т. е. то, что доста-
n
.
n
32
§ 12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА
X
A
A
x
B
A
B
В ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОМ СТЕРЖНЕ
И В СТЕРЖНЕ С НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ ТОРЦОВ
Рассмотрим случай теплоизолированного стержня. Математически
это соответствует случаю
Из уравнения (11.14) имеем, что
Соответственно согласно формуле (11.12)
ственные функции имеют вид
==0 в разобранной выше задаче.
12
tg λ =0
, т. е. = π
n
=0
B . Таким образом, соб-
n
n , =0,1,2,...n .
n
В случае
=cos(π ).
n
= γ =0F решение задачи (11.4)–(11.6) будет иметь вид
=cos(π ),
wA Ae nx
1
=()
wxdx
00
0
0
n
=1
,
nx
2
nt
(π )
n
1
=2 ( )cos(π )
w x nx dx
n
0
0
.
Если на торцах стержня поддерживается нулевая температура, т. е.
при
=0w
имеем, что
и
=0x
=
n. Однако тогда =0
n
, что соответствует
=1
, , то мы также
12
A , и в случае
n
= γ =0F
решение
задачи (11.4)–(11.6) будет иметь вид
=sin(π )
wBe nx
1
2
nt
(π )
n
,
1
=2 ( )sin(π )
w x nx dx
n
0
0
.
Заметим, что для решения задач, разобранных в этом параграфе,
проще не использовать предельные переходы в уравнении (11.14),
а сразу записывать уравнения
и
n
, соответствующие рассматрива-
n
емым граничным условиям.
Задача 1. Рассмотрев случай постоянного коэффициента теплообмена через боковую поверхность стержня
(γ =const
в уравнении (11.1)),
выяснить, при каких условиях тепло в большей степени рассеивается через торцы, а в каких – через боковую поверхность стержня.
33
Задача 2. Решить задачу о распространении тепла в тонкой тепло-
x
x
изолированной проволоке, свернутой в кольцо.
Задача 3. Как изменятся приведенные в
§
12 формулы, если коэф-
фициент теплопроводности и размер области отличны от единицы?
Задача 4. Растворенное вещество с начальной концентрацией
=constc диффундирует из раствора, заключенного между плоско-
0
стями
и
=
границы
ное время выравнивания? Рассмотреть случаи
и
=0x
. Определить процесс выравнивания концентрации, полагая, что
l
=0x
, в растворитель, ограниченный плоскостями
=xh
и
непроницаемы для вещества. Каково характер-
=
l
hl, hl, lh l
Задача 5. На один из торцов стержня падает тепловой поток интен-
сивностью
туре
q
. Другой торец поддерживается при постоянной темпера-
u . Начальное распределение температуры –
1
()ux. Найти распре-
0
деление температуры в произвольный момент времени.
§ 13. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА
В СЛУЧАЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ,
ЗАВИСЯЩЕГО ОТ КООРДИНАТ.
СЛУЧАЙ РАЗРЫВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Если теплоемкость, плотность и теплопроводность среды зависят от
координат, то уравнение теплопроводности имеет вид
ρ =div(χ )
cu u f.
t
В одномерном случае имеем
=xh
.
uu
ρ = χ
cf
txx
.
В общем случае решение этого уравнения затруднено. Однако возможна ситуация, когда коэффициенты
, ρ, χ кусочно-постоянны:
c
например, если стержень состоит из двух последовательно соединенных
стержней с разными термодинамическими свойствами. Производная от
разрывной функции, строго говоря, не определена. Поэтому область,
34
в которой ищется решение, разбивается на участки с постоянными ко-
x
x
x
x
X
эффициентами
, ρ и χ, а в точках разрыва ставятся граничные усло-
c
вия. Эти условия вытекают из физических соображений и имеют вид:
1) непрерывности температуры;
2) непрерывности потока тепла, т. е. функции
χ /ux
при переходе
через точку разрыва. Таким образом, градиент температуры в точке разрыва изменяется скачком.
Изложим путь решения следующей задачи. Стержень единичной
ξ
длины составлен из двух стержней длиной
емкость, плотность и теплопроводность
ветственно. На концах стержня
=0x
c ,
и
1 ξ
и
ρ , 1χ и
1
1
=1
поддерживается нулевая
, имеющих тепло-
c ,
ρ , 2χ соот-
2
2
температура. Определить закон распространения тепла.
Решение этой задачи
а на отрезке
ξ <<1
u
– через
на отрезке
u . Для 1u имеем:
2
0< <ξx
обозначим через
1
,u
2
2
=0: = ( )tuux,
10
2
2
=0: = ( )tuux.
20
,
,
для
u :
2
uu
11
ρ = χ ,0<<ξ
cx
11 1
t
=0: =0xu,
1
uu
22
ρ = χ , ξ <<1
cx
22 2
t
=1: = 0xu ,
2
Условия непрерывности температуры и потока тепла в точке разрыва
зависеть только от
= ξx
имеют вид
Как обычно, ищем
во всей области. Для этого необходимо, чтобы
t
=,χ /=χ /uu u x u x .
1211 22
() ( )
в виде ряда
u
TtX x
nn
. Функция
T должна
n
являлось решением следующих уравнений:
22 2 2
adX dx X
1
/=λ
nnn
35
при
0< <ξx
; (13.1)
n
x
X
A
x
x
x
X
X
x
X
X
X
22 2 2
adX dx X
2
/=λ
nnn
при
ξ <<1
; (13.2)
22
= χ /( ρ ), = χ /( ρ )aca c
1111 2222
, (13.3)
с граничными условиями
Здесь
χ (ξε)=χ (ξε)
λ
– собственные значения, которые определяются из граничных
n
(0)= (1)=0
XX , (13.4)
nn
(ξε)= (ξε)
XX, (13.5)
nn
XX
. (13.6)
12
nn
условий.
Из уравнений (13.1) и (13.2) следует, что функции
cos(λ /) sin(λ /)
nn nn
cos(λ /)β sin(λ /)
nn nn
Для того чтобы
xa B xa при
11
axa при
22
=0
X при
n
=0x
и
=1
0< <ξx
, необходимо взять следу-
имеют вид
n
;
ξ <<1
.
ющую комбинацию синусов и косинусов:
()=sin(λ /)
xxa при
nn
()= sin(λ (1 ) / )
xxa при
nnn
1
0< <ξx
2
;
ξ <<1
.
Подставляя эти выражения в формулы (13.5) и (13.6), получим два
линейных уравнения для вычисления коэффициента
λ
разрешимости даст значение
Покажем ортогональность функций
.
n
. Условие ортогональности
n
. Условие их
n
в данном случае заключается в следующем:
ξ
ρρ=0
cXXdxc XXdx
11 2 2
mn mn
0 ξ
Для этого умножим уравнение (13.1) на
чившееся выражение от 0 до
1
, если
и проинтегрируем полу-
m
ξ
. Уравнение (13.2) также умножим на ,
36
. (13.7)
nm
m
но проинтегрируем получившееся выражение от ξ до 1. Сложив ре-
X
зультат, с учетом формулы (13.3) получим
ξ
2
λρ ρ =
cXXdxc XXdx
11 2 2
nmn mn
0 ξ
1
ξ
= χχ
12
XXdx XXdx
mn mn
0 ξ
Перепишем это выражение, поменяв индексы
ξ
2
λρ ρ =
cXXdxc XXdx
mnm nm
11 2 2
0 ξ
ξ
= χχ
12
XXdx XX dx
nm nm
0 ξ
1
1
. (13.8)
и n местами:
m
1
. (13.9)
Вычитая (13.9) из (13.8), имеем
ξ
22
(λλ) ρρ=
nm mn mn
ξξ
= χχχχ.
X X dx X X dx X X dx X X dx
1212
mn mn nm nm
0 ξ 0 ξ
cXXdxc XXdx
11 2 2
0 ξ
11
1
Взяв интеграл в правой части этого выражения по частям и учитывая
граничные условия (13.4)–(13.6), получаем, что эта правая часть равна
нулю. Поскольку
λλ
при
nm
это означает, что выполняется
,nm
условие (13.7).
2
λ
t
T обычным образом имеем выражение
Для
n
=
TTe
nn
n
, где
T
0
0n
находятся из начальных условий с помощью свойства ортогональности
.
n
Задача 1. Как изменится решение задачи о распространении тепла
в стержне с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности,
37
если в качестве граничных условий задать
X
X
u и 2u – постоянные? Как будет выглядеть стационарное решение
где
1
этой задачи? Рассмотреть случаи
χχ и
12
(=0)=ux u, 2(=1)=ux u ,
χχ .
21
1
Задача 2. Найти стационарное распределение температуры вдоль
стержня, состоящего из двух частей, если на одном конце стержня задана температура, а на другом – поток тепла.
§ 14. СКИН-ЭФФЕКТ
Рассмотрим задачу об установившемся периодическом во времени
распределении тепла в полубесконечном стержне, на конце которого
температура меняется периодическим образом:
(=0,)= cos(ω )ux t C t
. (14.1)
Само уравнение имеет вид
= χ
uu. (14.2)
txx
Подчеркнем, что нас не интересует процесс установления периодического решения. Поэтому начальные условия в данной задаче не имеют
значения.
Для решения этой задачи запишем фомулу (14.1) в комплексном виде:
ω
it
(=0,)=
ux t Ce
Соответственно решение ищем в виде
это выражение в формулу (14.2), получаем уравнение для
χ = ω
iX
.
ω
it
=()
uCeXx
.
. Подставляя
()Xx :
Вводя величину
δ =2χ / ω
,
перепишем это уравнение в виде
2
1
i
=
δ
.
X
38
(1 ) /δ (1 ) /δ
x
ix ix
Соответственно
XCe Ce
Нас интересуют конечные при больших
фициент
C надо положить равным нулю. Следовательно, решение
2
комплексной задачи имеет вид
=
12
ω (1 ) / δ
it ix
=
uCe
.
решения. Поэтому коэф-
. Поскольку уравнение
является линейным с вещественными коэффициентами, то решение задачи (14.1) будет соответствовать реальной части от этого выражения,
или
/δ
x
uCe tx
=cos(ω / δ)
.
Анализируя это выражение, видим, что решение затухает в глубь ма-
δ
териала на расстояниях порядка
. Причем затухание тем сильнее, чем
больше частота возмущения и меньше коэфициент теплопроводности.
Фаза колебания по сравнению с фазой на конце стержня (при
также меняется на расстоянии порядка
Решение задачи (14.1), (14.2) с начальными условиями
()ux можно представить в виде
0
будем иметь уравнение (14.2), граничное условие
/δ
x
ное условие
задачи для
=() cos(/δ)
wux Ce x
0
стремится к нулю при
w
δ
.
(, 0)uxt
/
x
uwCe tx
cos( / )
(0)0wx
и началь-
. Как мы видели в §10, решение
.
t
0x
. Для w
Решим более сложную задачу, предполагая, что граничное условие
имеет вид (14.1), но стержень составлен из двух стержней, один из которых – конечный
конечный
муле (14.1) положим
(0 < < )xh
(< < )hx
с теплопроводностью
с теплопроводностью
1C
. В комплексном виде решение будет иметь
χ , другой – полубес-
1
χ . Для краткости в фор-
2
вид
(1 ) /δ (1 ) /δ
ix ix
=( )
uCe Ce e
12
11
ω
it
при
0< <xh
,
)
при
;
<<hx
.
,
δ =2χ / ω
11
(1 ) /δ
ix
=
uCe e
3
δ =2χ / ω
ω
it
2
22
39
Здесь мы исключили растущую на бесконечности компоненту. Од-
нако на участке
чины
C , 2C и 3C найдем из условия (14.1), которое дает
1
0< <xh
необходимо учитывать обе гармоники. Вели-
=1CC ,
12
условия непрерывности температуры
χ /ux
в точке
=xh
(см. §13), откуда
(1 ) /δ (1 ) /δ (1 ) /δ
ih ih ih
Ce C e Ce
123
(1 ) / δ (1 ) /δ (1 ) / δ
δ = δ
Ce Ce Ce
12 1 23
11 2
ih ih ih
11 2
.
В последнем уравнении учтено, что
и непрерывности потока тепла
u
=
χ / χ = δ / δ
12 1 2
22
,
.
Из последних двух уравнений находим
δδ
12
=
CeC
21
δδ
12
2δ
1
=
Ce C
31
δδ
12
2(1 ) /δ
ih
(1 ) ( δδ)/(δδ )
ih
1
21 12
,
.
Тогда из первого уравнения имеем
1
=1
Ce
1
δδ
12
δδ
12
2(1 )/δ
hi
1
.
Задача 1. Проанализировать полученное решение, рассмотрев раз-
личные предельные случаи отношений
δ / δ и 1/ δh .
12
Задача 2. Оценить глубину погреба. Необходимые данные взять из
справочников.
Задача 3. Оценить глубину проникновения переменного магнитного
поля в медь и алюминий при частотах 50 и 1000 Гц. Необходимые данные взять из справочников.
Задача 4. Жидкость течет со скоростью
вдоль трубы, температура
v
стенки которой меняется по гармоническому закону с расстоянием.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]