Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
где
x
x
z
2
()= μ
zed
2
μ
π
0
(8.2)
– функция, называемая интегралом ошибок. Изучим ее свойства.
Очевидно, что эта функция нечетная:
()= ( )zz. При малых
z
также очевидно разложение
асимптотическое поведение
() 2 / πzz
при больших z, преобразуем формулу
. Для того чтобы выяснить
(8.2) следующим образом:
2
=1 μ =1
22 1
()= μμ=1 =
zeded
22 22
μμ
ee ee
22
μμ
ππ π
0
11
π μπ π
z
То есть при
1z
имеем
zz
z
dO
22
μ
2
z
e
1
z
π
zz
z
.
μ
de
μ
.
z
Таким образом, интеграл вероятности при больших значениях аргумента экспоненциально приближается к единице.
Задача 1. Проанализировать решение задачи (8.1), используя
свойства функции
(1)/ =/ 1/
tx t t
. Учесть, что на больших временах в выражении
величина
1/ 1t
, но
/xt
может быть
любым.
Задача 2. Как изменится решение задачи (8.1), если
<<
резке
xx, а коэффициент теплопроводности равен
12
=uu на от-
0
χ
?
21
§ 9. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
x
X
ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
СВЯЗЬ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ С ЗАДАЧАМИ
ОБ ИМПУЛЬСАХ ТЕПЛА
Фундаментальное решение
(,)Pxt
описывает эволюцию распреде-
ления температуры в длинном стержне, очень маленький (в пределе бесконечно малый, точечный) участок которого в начальный момент времени нагрет до очень высокой (в пределе бесконечно большой) температуры (тепловой импульс). Причем тепловая энергия, заключенная
в этом импульсе и пропорциональная интегралу по пространственной
координате от температуры,
является конечной, несмотря на то что она
заключена в малой области пространства. В реальном физическом случае эта энергия распределена по конечному участку стержня. Однако
если мы интересуемся достаточно большими (по сравнению с начальным размером импульса) расстояниями и временами (за которые ширина реального конечного импульса должна существенно увеличиться
по
сравнению со своим начальным значением), то такой импульс может
считаться точечным.
Заметим также, что стержень можно рассматривать как бесконечный в момент времени, когда возмущение от импульса не успевает существенно изменить температуру его концов либо если изменение температуры, связанное с наличием импульса, к этому моменту уменьшается до
такой степени, что им можно пренебречь.
Задача. В каком случае начальное распределение температуры вида
22
/
L
=
uAe
0
в стержне длиной
можно считать точечным, а стер-
0
жень – бесконечным?
Получим решение уравнения (7.8) с помощью фундаментального решения. Для этого решение задачи (7.1), (7.2) представим в виде суммы
решений следующих задач:
/= /ut ux
11
22
,
(,=0)= ()uxt u x
10
и
/= / (,)ut uxfxt
22
22
22
,
(,=0)=0uxt .
2
Для решения первой задачи представим
f
f
f
()ux в виде суммы беско-
0
нечного числа дельта-функций, т. е. в виде интеграла
()= (ζ)δ( ζ) ζux u x d
00
.
Поскольку решением однородного уравнения теплопроводности в
случае начального условия
δ( ζ)x
является функция
( ζ,)Px t
, то в
силу линейности однородного уравнения теплопроводности по начальным данным имеем
(,)= (ζ)( ζ,) ζuxt u Px td
10
. (9.1)
Для того чтобы решить вторую задачу, представим
(,τ)δ( τ) τ
а не
xtd
0
, потому что по смыслу функция f определена при
. Здесь нижний предел интеграла равен нулю,
в виде (,)
По той же причине имеют смысл только положительные значения
xt
>0.t
τ.
В силу линейности уравнения теплопроводности с нулевыми начальными условиями по правой части функцию
u можно представить
2
в виде
где
Здесь
(,,τ)vxt
– решение задачи
/= / (,τ)δ( τ)vt vx fx t
играет роль параметра.
τ
(,)= (,,τ) τuxt vxt d
2
0
22
(,=0,τ)=0vxt
, (9.2)
, (9.3)
.
Найдем решение этой задачи. Поскольку в начальный момент времени
=0v
и дельта-функция при
< τt
также равна нулю, то
=0v
при
< τt
.
23
В момент времени
f
x
ственно в этот момент
нейшем при
мент
= τεt
> τt
дельта-функция опять равна нулю. Рассматривая мо-
(где
= τt
дельта-функция отлична от нуля. Соответ-
также станет отличной от нуля. Однако в даль-
v
ε 0
– бесконечно малая величина) как начальный,
можно написать, что решение
(,,τ)= (ζ,=τε, τ)( ζ, τ) ζvxt v t Px t d
v
при
> τt
будет иметь вид
. (9.4)
= τεt
ε
ε
. Для этого проинтегрируем выраже-
v
=(,=τε, τ)
dt v x t
t
τε<<τεt
. Поскольку
.
=0v
при
Найдем
в момент
v
ние (9.3) по времени в пределах
< τt
, то
По свойствам дельта-функции
τε
τε
τε
.
будет пропорциона-
vdt
x
ε 0
.
(,τ)δ( τ)=(,τ)
xtdtfx
τε
Поскольку
лен
ε , соответственно он будет стремиться к нулю при
ограничена, то интеграл
v
Из изложенного видим, что результат интегрирования выражения (9.3) по времени в пределах
τε<<τεt
при
ε 0
имеет вид
(,=τε, τ)= ( ,τ)vxt f x . (9.5)
Заметим, что это значение
(,=τε,τ)vxt
Из уравнений (9.4) и (9.5) при
> τt
действительно ограничено.
имеем
(,,τ)= (ζ, τ)( ζ, τ) ζvxt f Px t d
24
.
Соответственно (см. формулу (9.2)):
f
t
(,)= τζ (ζ, τ)( ζ, τ)
uxt d df Px t
2
0
. (9.6)
В этом выражении пределы интегрирования по
нечные, поскольку
=0v
при
< τt
.
изменены на ко-
τ
С учетом вышеизложенного, записывая решения задачи (7.1), (7.2)
в виде
=uu u , где
12
u и 2u определяются формулами (9.1) и (9.6),
1
получаем формулу (7.8).
§ 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА
В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
Рассмотрим распространение тепла в полубесконечном стержне
с теплоизолированной боковой поверхностью. Будем полагать, что этот
процесс описывается одномерным уравнением теплопроводности на
луче
решение предполагается ограниченным, а при
можно использовать условие теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру
воляют выписать решение с помощью полученного выше решения задачи о неограниченном стержне. Это случай теплоизолированного
конца стержня
конца стержня поддерживается постоянной
условия и правая часть будут симметричны, т. е.
ным, т. е.
Таким образом, это решение будет удовлетворять граничному условию
задачи о теплоизолированном полубесконечном стержне.
>0x
. Граничные условия в этом случае таковы. На бесконечности
=0x
во многих случаях
u , вида
1
/=( )ux uu .
1
Ниже мы рассмотрим два важных для практики случая, которые поз-
(0
, т. е.
/=0ux
) и случай, когда температура
, т. е.
=uu).
1
Действительно, если в задаче о неограниченном стержне начальные
()=(),uxux
00
(,)=(,)
xt f xt
, то решение задачи, очевидно, тоже будет симметрич-
(,)=(,)uxt uxt
. Отсюда следует, что
/=0ux
при
=0.x
25
Понимая под
f
f
x
u и
0
функции, продолженные на полуось
симметричным образом, из уравнения (7.8) имеем
0
(,)= (ζ)( ζ,) ζuxt u Px td
t
τζ (ζ, τ)( ζ, τ)=
ddfPxt
00
0
0
0
<0x
где
в интегралах от
=(ζ)(,ζ,) ζζ (ζ, τ)(,ζ, τ)
uPxtdddf Pxt
0
000
(,ζ,)= ( ζ,) ( ζ,)Px t Px t Px t
. При получении выражеия (10.1)
до 0 была сделана замена переменной ζ на ζ
и учтена четность функций
t
u и
0
.
, (10.1)
Задача 1. Непосредственным вычислением показать, что формула
(10.1) действительно удовлетворяет уравнению, начальному и гранич-
ному условиям задачи о теплоизолированном полубесконечном стержне
с теплоизолированным концом.
Аналогично в случае, когда температура конца полубесконечного
стержня поддерживается равной нулю, начальные и граничные условия
можно продолжить на отрицательные значения
Разбивая в решении уравнения (7.8) интеграл от
гралы от
до 0 и от 0 до и используя нечетность соответствую-
нечетным образом.
до на инте-
щих функций, получаем
t
, (10.2)
где
(,)= (ζ)(,ζ,)ζτζ (ζ, τ)(,ζ, τ)
uxt u P x td d d f P x t
(,ζ,)= ( ζ,) ( ζ,)Px t Px t Px t
000
0
.
Если температура конца полубесконечного стержня равна не нулю,
а какой-либо другой постоянной
дущей, рассмотрев функцию
u , то можно свести задачу к преды-
1
=wuu .
1
Решим задачу об остывании полубесконечного стерженя. Математически эта задача соответствует начальному условию
()= =constux u
00
26
и граничному условию
x
x
=1u и
0
(=0)=0ux
( = 0) = constux
. Подставим это
и с учетом формулы (7.9) получаем
uxt e d e d
(,)= ζζ
11
1/ 2 1/ 2
tt
(4π )(4π )
00
22
xt xt
( ζ)/(4) ( ζ)/(4)
. Для определенности положим
u и
0
=0f
в уравнение (10.2),
.
Сделав в первом выражении замену
μ =(ζ )/ 4xt
, получаем
(,)= μμ=
uxt e d e d
11
ππ
0/4
1
= μ =
==(/4)
π
/4
xt
( / ( 4 )) ( / ( 4 ))
xt xt
xt xt
/4 /4
000
μ =(ζ )/ 4xt
22
μμ
xt
2
μ
ed
, а во втором
t
.
2
Здесь
– интеграл вероятностей (8.2).
Задача 2. Исследовать полученное решение.
Задача 3. Как изменится это решение в случае произвольных значе-
ний температур и коэффициента теплопроводности?
§ 11. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА
В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ.
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим следующую задачу:
=0: = ( ) , =1: = ( )
uuuqxu uuq , (11.2)
xx
= γ()
uu uu f, (11.1)
txx e
111 2 22
(,=0)= ()uxt u x . (11.3)
0
27
В этой задаче учтены теплообмен с окружающей стержень средой
f
x
x
F
с температурой
сти температур с коэффициентом
рез торцы стержня, погруженные в среду с температурами
которые также падают потоки энергии
u , который предполагается пропорциональным разно-
e
γ
; источник тепла f; теплообмен че-
u и 2u , на
1
q и 2q , связанные, например,
1
с электронным пучком. Мы решим эту задачу для случая, когда
могут быть функциями
ями только
t
, а
и 2 – постоянные. Для краткости предполагается,
1
и t, величины γ,
u , 2u , 1q и 2q – функци-
1
что длина стержня равна единице.
Решение этой задачи можно разбить на следующие этапы.
1. Заменой
=()()uwAtxBt
сводим эту задачу к следующей за-
даче с однородными граничными условиями:
= γ
ww wF, (11.4)
txx
и
u
e
где
= γ()//
f Ax B u xdA dt dB dt ,
0x
:
ww ,
e
=
x
(,=0)= ()wxt w x , (11.6)
Физический интерес представляют неотрицательные
=1
:
=
1
ww , (11.5)
0
2
x
=(=0)wuAt x (=0)Bt .
00
и 2 , что
1
соответствует передаче тепла от горячего тела к холодному. Случай
==0 и
12
qq является особым. В этом случае, для того чтобы
12
свести задачу к задаче с однородными граничными условиями, можно
сделать замену
F f Ax Bx u xdA dt x dB dt B
=()()uwAtxBtx
= γ()//2
00
22
= ( =0) ( =0)wuAt xBt x
2. Задачу (11.4)–(11.6) будем решать
, который заключается в следующем. Ищем решение этой задачи в
ных
2
. Соответственно будем иметь
e
2
.
методом разделения перемен-
,
виде ряда
=()()
wTtXx
nn
=0
n
28
, (11.7)
где
X
X
X
X
X
X
X
T – функция только времени, а
n
стве
возьмем собственные функции оператора
n
ными условиями такими же, как для функции
– функция только x. В каче-
n
22
/ddx
с гранич-
. Таким образом, рас-
w
сматриваемый нами ряд будет автоматически удовлетворять граничным
условиям (11.5). Для
мы имеем следующую краевую задачу:
n
222
/=λ ,
dX dx X
nnn
(11.8)
где λ
n
=0x
:
/= , =1: /=
dX dx X x dX dx X, (11.9)
nn n n
– собственные числа.
12
3. Подставим ряд (11.7) в уравнение (11.4) и проинтегрируем полу-
чившееся уравнение, умножив его на
111
dT
n
nn
=0 =0
mn n n mn m
dt
000
=(λγ).
X dx T X X dx FX dx
2
Как покажем ниже, функции
при
nm . С учетом этого получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка для
dT
m
dt
22
= λγ() , = .
TtTFFFXdxXdx
mm m m m m m
T :
n
Для решения уравнений (11.10) необходимо знать значение
:
m
ортогональны, т. е.
n
11
00
1
XXdx
nm
0
(11.10)
(=0)
Tt .
m
=0
Для того чтобы получить его, подставим ряд (11.7) в начальное условие (11.6), умножим на
n
и проинтегрируем получившееся выражение:
m
Tt XXdx wXdx
nmn m
=0
11
(=0) =
00
0
или
11
(=0)=
Tt uXdx Xdx
mmm
0
00
29
2
. (11.11)
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно,
A
A
A
A
что решение задачи (11.10) и (11.11) имеет вид
()= ( =0)exp λγ()τ
Tt Tt t d
mm m
exp λγ(τ) τ (η)exp λη γ(τ) τη
tt
22
tdF dd
mmm
00 0
Рассмотрим первый этап более подробно. Найдем коэффициенты
B
и
. Подставив выражение для w в граничные условия (11.2), полу-
t
2
0
η
.
A
чим:
wA wBu q,
wA wABu q.
x
=( )
x
=( )
111
222
Для того чтобы эти выражения привести к виду (11.5), необходимо,
чтобы
A
и B удовлетворяли системе линейных уравнений:
=
Buq ,
1111
(1 ) =
22222
Buq .
В случае, когда хотя бы один из коэффициентов
или 2 строго
1
больше нуля, эта система разрешима.
Если
ком случае система разрешима только при
может быть любым (например,
==0 , то определитель этой системы равен нулю. В та-
12
=0B
12
). Если
=qq . Тогда 1=
qq , то решения этой
12
q , а
B
системы не существует, и для того, чтобы свести задачу (11.1)–(11.3)
к задаче с однородными граничными условиями, можно сделать замену
=()()uwAtxBtx
(11.2), видим, что для того, чтобы при
(11.5), необходимо, чтобы
2
. Подставляя это выражение в граничные условия
==0 для
12
A
и B удовлетворяли системе линейных
иметь условия
w
уравнений
=, 2=
qABq
12
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]