Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения уравнения теплопроводности. Учебное пособие
.pdf
§ 2. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
x
Для того чтобы решить задачу о распространении тепла в какомлибо теле, необходимо знать начальное распределение температуры в
этом теле, т. е. функцию
димо также задать закон, по которому оно обменивается теплом с окружающей средой через границу, т. е. задать граничные условия. Нередко
поток тепла, уходящий через границу тела, пропорционален разности
температур этой границы
()=( )TT
т. е.
qn . Здесь
0
области пространства, занятой телом, в окружающую среду.
Если рассматривается неограниченная среда, то, например, на температуру накладывается требование, чтобы она стремилась к заданной
величине при
r
.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные условия на
примере одномерной задачи, когда все величины зависят только от
область, в которой ищется решение, является отрезком
зически это соответствует тонкому стержню с теплоизолированной бо-
ковой поверхностью и теплообменом только через торцы стержня. В достаточно общем виде эти условия имеют вид
(, =0)Ttr . Если тело ограничено, то необхо-
T
и температуры окружающей среды
n
– нормаль к границе, направленная из
0< <xx . Фи-
=0x
:
/=( )Tx TT q ;
111
T ,
0
, а
0
Величины
=xx :
q и 2q отвечают за поток энергии, связанный, напри-
1
/= ( )Tx TT q . (2.1)
0
222
мер, с падением на торцы стержня электронного пучка. Коэффициенты
и 2 полагаются положительными. Знак «минус» во втором
1
случае связан с тем, что поток направлен слева направо. Таким образом,
поток тепла направлен от горячего тела к холодному.
Условия (2.1) при
11 1
=0Tq ,
22 2
=0Tq называются однород-
ными. В противном случае условия (2.1) называются неоднородными.
Задача. Найти стационарное распределение тепла в стержне в случае граничных условий (2.1). Всегда ли существует стационар? Найти
решение задачи при
t
в случае отсутствия стационара.
11
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Учитывая, что уравнение теплопроводности описывает, в частности,
процесс диффузии, можно понять, что эволюция искомой функции во
времени при
шении максимумов и увеличении минимумов
Рассмотрим в качестве примера одномерный случай. В точке пространственного максимума вторая производная отрицательна. Таким
образом,
Аналогичная ситуация имеет место в точке минимума.
Как легко проверить, одним из решений уравнения
22
χ /Tx
Из этого решения видно, что сглаживание происходит тем быстрее,
чем больше коэффициент
мущения (больше
Из формулы (3.1) также видно, что коэффициент χ не может быть
отрицательным, поскольку в этом случае решение неограниченно растет. Более того, сколь угодно малое возмущение, имеющее достаточно
малый пространственный размер, может за конечное время вырасти до
сколь угодно большой амплитуды. Разумеется, подобные задачи лишены физического смысла.
Еще одно свойство
что в отсутствие внутренних источников тепла (правой части) изменение средней по объему температуры определяется тепловым потоком
через границу этого объема, что легко показать интегрированием уравнения по последнему. В частности, если поток через границу области
равен нулю, то средняя температура сохраняется.
=0Q будет заключаться в сглаживании решения, умень-
T
.
/=λ /<0,Tt Tx
22
т. е. T уменьшается со временем.
в одномерном случае является функция
2
kt
= const sin( )
Tekx
χ
и меньше пространственный масштаб воз-
k
).
χ
. (3.1)
уравнения теплопроводности заключается в том,
/=Tt
Задача. При каких значениях
параметров граничных условий (2.1)
средняя температура в стержне не изменяется со временем?
12
§ 4. ЛИНЕЙНОСТЬ УРАВНЕНИЯ
x
x
x
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Легко видеть, что уравнение теплопроводности линейно по начальным данным, граничным условиям и правой части. А именно: если
u являются решениями задач
и
2
=
uu f ;
11 1
txx
=0t
:
=uu;
110
u
1
то функция
=0x
:
=
uuq;
10101
x
=0x
:
=
uuq;
20202
x
=uucu
31 2
=0x
=xL
uu f ;
22 2
=0t
(=const)c
=
uu fcf ;
33 12
txx
=0t
:
:
uuqcq ;
3030102
x
:
uuqcq .
3312
=xL
:
=
uuq ;
111
=
txx
:
=uu:
220
=xL
:
=
uuq ,
222
будет решением задачи
=uu cu ;
310 20
=
=
LLL
LL
LL
Подчеркнем, что свойство линейности имеет место только в случае,
когда входящие в задачу коэффициенты
и L не зависят от иско-
0
мого решения.
13
§ 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА, ЕДИНСТВЕННОСТЬ,
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Верна следующая теорема. Пусть функция u – решение) задачи
= χuu
t
;
на промежутке времени
цей
. Утверждается, что максимум u как функции t и r достигается
=0t
либо при
, либо на границе . Аналогичное утверждение можно
|= ( ,)ut
r ; (5.1)
(=0)= ()ut u r
0< <tT
0
в односвязанной области с грани-
сделать о минимуме решения.
Под максимумом понимается максимум
менных,
t
и r. Физически эта теорема достаточно очевидна. Действи-
u как функции двух пере-
тельно, эволюция решения направлена в сторону размазывания решения: пространственный максимум уменьшается со временем, т. е.
в точке своего пространственного максимума решение не может иметь
максимума по времени.
Математически это видно из следующих нестрогих соображений.
Если пространственный максимум достигается внутри области,
то в точке
/=χ /<0ut ux
максимума
22
/=0ux
, а для того, чтобы u была точкой максимума по
обеим переменным, необходимо
стигать максимума и на границе
уменьшаться при приближении к этой границе, т. е.
22
и
/<0ux
/=0ut
=tT
, так как для этого u должна не
. Согласно уравнению
. Функция u не может до-
/ut
должна быть
больше либо равна нулю. Это также несовместимо с условием пространственного максимума и связи между пространственными и временной
производными, накладываемой уравнением. Узким местом приведенных рассуждений является то, что в окрестности максимума вторые производные по пространству могут быть равны нулю. Строгое доказательство можно найти в [1].
Из
принципа максимума следует единственность решения и его устой-
чивость по начальным данным и граничным условиям. Действительно,
14
если
x
u и 2u – решения задачи (5.1), причем начальные данные и гра-
1
ничные условия таковы, что
||uu при
12
=0t
и
r
, то это же
условие будет выполняться повсюду в области, что и является определением устойчивости. В частности, при
совпадать:
||0uu. Это говорит о единственности решения за-
12
ε =0
решения
u и 2u будут
1
дачи (5.1).
Задача. Рассмотрим следующую ситуацию. Нагреем концы стержня
до некоторой температуры (выше начальной температуры стержня)
и подождем, пока температура выравняется. После этого начнем охлаждать концы. В результате максимум температуры будет достигаться
в центре стержня. Причем если времени после охлаждения прошло немного, то
максимальная температура будет больше начальной. То есть
теорема о максимуме не верна. В чем ошибка этих рассуждений?
§ 6. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В БЕЗРАЗМЕРНОЙ ФОРМЕ
Во многих случаях уравнение (1.6) удобно нормировать следующим
образом. В качестве масштаба длины выбираем характерный размер области, в которой ищется решение
2
личину
нормируем на величину
/ χl
, T – характерную разность температур
χρ /cT l
l
, в качестве масштаба времени – ве-
T , функцию
0
2
. Тогда (1.6) примет вид
0
Q
=TTQ
t
.
Причем пространственный масштаб задачи и характерная разность
температур будут порядка единицы.
Задача. Как нужно преобразовать координату и время, чтобы свести
решение уравнения
=
uu на отрезке
ния
txx
=
uDu на отрезке
txx
0< <1x
?
<<
xx к решению уравне-
12
15
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ
x
x
x
x
x
СТЕРЖНЕ. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Получим решение уравнения
=
uu f (7.1)
txx
в неограниченной по
предполагая, что при
области с начальным условием
(,=0)= ()uxt u x , (7.2)
производные
0
u достаточно быстро
0
стремятся к нулю. Для этого применим метод Фурье.
Умножим уравнение (7.1) на
ченное выражение по
. При этом интеграл
(2π)
=
Iuedx
xx
e
и проинтегрируем полу-
ikx
1/2
ikx
преобразуем, используя формулу интегрирования по частям и учитывая, что
(,)vkt
где
u и
u стремятся к нулю при
ikx ikx
=|() =
Iue ik ue dx
xx
=( ) | ( ) = (,)
ikx ikx
ik ue ik ue dx k v k t
является фурье-образом функции
(,)= (,)
vkt uxte dx
1
2π
:
(,)uxt
, (7.3)
:
.
22
ikx
В целом для
(,)vkt
получаем уравнение
/= φ(,)vt kv kt
16
2
(7.4)
с начальными условиями
f
φ
и
где
v являются фурье-образами
0
()= ()
vk uxe dx
00
1
2π
Уравнение (7.4) – обыкновенное дифференциальное уравнение по
поскольку оно не содержит производных по
(,=0)= ()vkt v k , (7.5)
ikx
,
0
и
u :
0
φ(,)= (,)
kt f xte dx
1
2π
k
. Величина k выступает
ikx
. (7.6)
t
здесь в роли параметра. Решение (7.4) имеет вид
22 2
kt kt k
(,)= () φ(,) τ
vkt v ke e k e d
Подставляя в эту формулу
22
kt kt
(,)= (ζ) ζτ(ζ,) ζ
vkt u e d de f e d
ee
0
2π 2π
0
v и
0
ik k ik
ζτζ
t
0
φ
из выражений (7.6), получаем
t
τ
.
2
.
0
Используя это выражение, с помощью обратного преобразования
Фурье находим
uxt vkte dk
1
2π
Вычислим интегралы по
(,)= (,)
1
2π
t
τζ(ζ, τ)
ddf dke
0
1
2π
ζ (ζ)
du dke
0
k
. Они имеют вид
ikx
2
( ζ )
ktikx
2
( ζ )(τ)
ik x k t
. (7.7)
2
kaikb
=
Ie dk
Выделяя в показателе экспоненты полный квадрат и делая замену
=( /(2))qakiba
, получаем
,
.
17
b
x
x
x
i
2
ba
/(4 )
e
=
Iedq
a
a
2
b
i
2
2
q
a
.
Здесь интеграл берется вдоль прямой комплексной плоскости
Im = / (2 )qb a
имеет особенностей в полосе
Req
ния, взяв интеграл вдоль прямой
. Подынтегральная функция является аналитической, не
0Im<constq
и стремится к нулю при
в этой полосе. Поэтому можно изменить путь интегрирова-
Im = 0q
, что приводит к хорошо из-
вестному интегралу, равному
В итоге для
Функция
(,)= (ζ)( ζ,) ζτζ (ζ, τ)( ζ, τ)
uxt u Px td d d f Px t
u из выражения (7.7) получаем
0
P
называется фундаментальным решением и имеет вид
π
. Таким образом,
2
ba
=(/)
Iae
/(4 )
.
t
0
2
t
/(4 )
Pxt
(,)=
e
. (7.9)
t
4π
Задача 1. Непосредственным вычислением проверить, что
ляется решением уравнения
δ()
Здесь
всюду, кроме точки
δ() =1xdx
– дельта-функция, которая по определению равна нулю
=0x
.
Задача 2. Проверить, что
=
uu с начальными данными 0= δ().ux
txx
, где она стремится к бесконечности. При этом
(,) =1Pxtdx
при любом t.
. (7.8)
(,)Pxt
яв-
Задача 3. Описать поведение
в зависимости от времени
t
.
(,)Pxt в фиксированной точке по
18
Задача 4. Проинтегрировав уравнение =
x
x
g
g
x
пределах, убедиться, что при
t
сит от
.
lim 0
u
x
x
uu по
txx
интеграл
в бесконечных
(,)uxtdx
не зави-
Задача 5. Как будет выглядеть фундаментальное решение, если ко-
эффициент теплопроводности отличен от единицы?
Задача 6. Найти решение задачи
22
L
/
=
uAe
0
, где A и L – некоторые константы.
=
uu при начальных данных
txx
Задача 7. Непосредственным вычислением показать, что выраже-
ние (7.8) является решением уравнения теплопроводности с соответствующими начальными данными и при
t
что производная по
t
от функции
0
(,τ) τ
td
lim 0
xu
по определению производ-
. Указание: учесть,
ной равна
δ
tt
( δ, τ) τ (,τ) τ
gt d gt d
00
lim =
δ 0
δ
tttt
( δ, τ) τ ( δ, τ) τ ( δ, τ) τ (,τ) τ
gt d gt d gt d gt d
0000
lim =
δ 0
δ
tt t
1
δ 0
td dgtt d
t
=lim δ ( δ, τ) ττ=(,) τ
δ
δ
(,τ)(,τ)
gt gt
tt
00
.
Задача 8. Как изменится решение (7.8), если вместо уравнения (7.1)
взять уравнение
функцией
и t?
=()
uu uu f , где
txx
*
=const
, а
u является
*
В заключение этого параграфа сделаем одно замечание. При получении решения (7.8) мы предполагали (см. выражение (7.3)), что решение
19
стремится к нулю при
x
g
x
x
можно пользоваться также при
lim = 0
x
). Для доказательства этого заметим, что входящие в вы-
u
x
. Однако полученной формулой
lim = const 0
xu
(но по-прежнему
ражение (7.8) интегралы вида
и их производные по
(ζ) ζ
, полученные формальным дифференцирова-
2
( ζ )/(4)
xt
ed
нием подынтегральной функции, сходятся при любой стремящейся на
g
бесконечности к постоянному значению функции
в значение интеграла от точек
1/2
нии
рес
t
, экспоненциально мал. Поэтому для представляющих инте-
и t вместо исходной функции g, отличной от нуля на бесконеч-
ζ
, расположенных от x на расстоя-
. Причем вклад
ности, можно использовать функцию, стремящуюся к нулю при
2
( ζ)/(4) 1xt
и совпадающую с g в противном случае. Для этой
стремящейся к нулю на бесконечности функции применимы рассуждения, приводящие к выражению (7.8).
§ 8. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассмотрим решение уравнения (7.1) в случае отсутствия источника
тепла
||>1x
(=0)f
. Подставляя эти функции в выражение (7.8), получаем решение
и начальных данных
нашей задачи в виде
(,)= ( ζ,) ζζ
uxt Px td e d
=1u
0
11
11
1
4π
t
||<1x
при
2
xt
( ζ)/(4)
и
.
=0u при
0
Преобразуем этот интеграл, сделав замену
μ =( ζ)/ 2xt
. Полу-
чим
(1)/2
xt
(,)= μ =
uxt e d
1111
π 22
(1)/2
xt
2
μ
xx
2
20
tt
, (8.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]