Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский государственный университет науки и технологий
имени академика М. Ф. Решетнева
В. С. Жандун
А. А. Мацынин
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ВЕЩЕСТВА
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия для студентов бакалавриата
по направлению подготовки 03.03.02 «Физика»
очной формы обучения
Красноярск 2020
1
УДК 538.95(075.8)
ББК 22.37я73
Ж28
старший научный сотрудник В. А. Г
(Институт физики имени Л. В. Киренского –
обособленное подразделение ФИЦ КНЦ СО РАН);
доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. З
(Сибирский государственный университет науки и технологий
Рецензенты:
доктор физико-математических наук,
АВРИЧКОВ
имени академика М. Ф. Решетнева)
АХАРОВ
Жандун, В. С.
Ж28 Задачи по физике конденсированного состояния вещества :
учеб. пособие / В. С. Жандун, А. А. Мацынин ; СибГУ им.
М. Ф. Решетнева. – Красноярск, 2020. – 124 с.
Материалы пособия построены в соответствии с программой. Раасмотрены основные разделы «Физика конденсированного состояния вещества»: кристаллография и физика кристаллической решетки, упругие, тепловые, электрические и магнитные свойства металлов, полупроводников и диэлектриков.
Приведены примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов бакалавриата по направлению подготовки
03.03.02 «Физика» очной формы обучения.
УДК 538.95(075.8)
ББК 22.37я73
© СибГУ им. М. Ф. Решетнева, 2020
© Жандун В. С., Мацынин А. А., 2020
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .......................................................................................................... 4
1. Основы кристаллографии .......................................................................... 5
Теоретическая часть ................................................................................... 5
Примеры решения задач ............................................................................ 11
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 18
2. Дифракция в кристаллах ............................................................................ 22
Теоретическая часть ................................................................................... 22
Примеры решения задач ............................................................................ 26
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 29
3. Энергия связи в кристаллах ...................................................................... 32
Теоретическая часть ................................................................................... 32
Примеры решения задач ............................................................................ 38
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 45
4. Динамика кристаллической решетки. Фононы ....................................... 48
Теоретическая часть ................................................................................... 48
Примеры решения задач ............................................................................ 51
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 53
5. Тепловые свойства твердых тел ............................................................... 56
Теоретическая часть ................................................................................... 56
Примеры решения задач ............................................................................ 60
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 64
6. Упругие свойства кристаллов ................................................................... 67
Теоретическая часть ................................................................................... 67
Примеры решения задач ............................................................................ 71
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 72
7. Электроны в металлах. Электрические свойства металлов ................... 75
Теоретическая часть ................................................................................... 75
Примеры решения задач ............................................................................ 81
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 87
8. Зонная теория твердых тел. Полупроводники ........................................ 91
Теоретическая часть ................................................................................... 91
Примеры решения задач ............................................................................ 98
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 106
9. Магнитные свойства твердых тел ............................................................. 110
Теоретическая часть ................................................................................... 110
Примеры решения задач ............................................................................ 112
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 116
Заключение ..................................................................................................... 120
Библиографический список ........................................................................... 121
Приложение .................................................................................................... 122
3
ВВЕДЕНИЕ
Содержание учебного пособия по основам физики конденсированного состояния вещества соответствует программе курса «Физика
конденсированного состояния вещества», читаемого студентам бакалавриата СибГУ им. М. Ф. Решетнева, обучающимся по направлению
подготовки 03.03.02 «Физика».
Лучшим способом освоить теоретический материал является
применение полученных знаний на практике, в том числе с помощью
решения типовых задач. В этой связи в пособии каждый теоретический раздел, отвечающий основным направлениям физики конденсированного состояния вещества, сопровождается задачами различной
степени трудности, что позволит студентам закрепить пройденный
материал на конкретных примерах из различных областей физики
конденсированного состояния вещества.
В пособии есть как простые вычислительные задачи, необходимые для получения первоначальных навыков решения, так и достаточно сложные. К большинству задач приводятся лишь ответы, часть
задач дана с подробными решениями, что должно способствовать
развитию навыков решения задач в этой области физики конденсированного состояния вещества. В решениях использовалась преимущественно Международная система единиц СИ, хотя задачи, вынесенные для самостоятельного решения, подразумевают использование
и системы СГС.
Пособие состоит из девяти разделов. Первые два посвящены основам кристаллографии и дифракционным методам исследования
структур твердых тел; третий – рассмотрению типов связей в твердых
телах. В последующих разделах представлены задачи на колебания
атомов кристаллической решетки, упругие, тепловые, электрические
и магнитные свойства твердых тел.
В приложении приведены современные значения физических
констант, необходимых для решения задач.
Предложенное издание может считаться независимым учебным
пособием по физике твердого тела и в то же время оставляет достаточно широкие возможности для самостоятельной работы.
4
1. ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Теоретическая часть
Кристаллы – это вещества, в которых составляющие их частицы (атомы, молекулы) расположены строго периодически, образуя
геометрически закономерную кристаллическую структуру. Каждое
кристаллическое вещество отличается от других кристаллических
веществ по его атомной структуре. Вследствие закономерности и
симметрии структуры кристаллы однородны и анизотропны.
Кристалл называется однородным, если для любой точки, взятой
внутри него, найдется точка, совершенно идентичная по свойствам
первой и отстоящая от нее на некотором конечном расстоянии.
Идентичные точки (узлы), связанные с произвольно выбранной
точкой тремя некомпланарными векторами переноса (трансляциями),
образуют трехмерную периодическую решетку, охватывающую все
пространство кристалла. Идеальный кристалл можно построить путем бесконечного повторения в пространстве его структурной единицы, называемой элементарной ячейкой, выбор которой неоднозначен.
Все элементарные ячейки, составляющие решетку, имеют одинаковые
форму и объем. В общем случае элементарная ячейка имеет форму
параллелепипеда (рис. 1.1) и характеризуется шестью параметрами:
длинами ребер a, b, c и углами между ними α, β, γ. В элементарной
ячейке может содержаться один атом, тогда ее называют примитивной, или больше одного, тогда это ячейка с базисом.
с
β
a
α
b
γ
Рис. 1.1. Элементарная ячейка
При описании симметрии любого кристалла используется фундаментальное понятие решетки Бравэ, которое характеризует периодическую структуру, образуемую повторяющимися элементами кри-
5
сталла. Решеткой Бравэ называется множество точек в пространстве
cba
r
pnm
++=
cba
,
,
cba
,
,
cba
,
,
с радиус-векторами
, где
– тройка линейно не-
зависимых векторов, называемых основными векторами решетки. Три
вектора, которые позволяют построить бесконечную пространственную решетку, называются векторами трансляции. В зависимости от
отношения величин и взаимной ориентации основных трансляций
получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей
симметрии. Математически доказано, что всего существует 14 типов
таких различных по симметрии трансляционных решеток. Основными
решетками Бравэ являются примитивная, объемноцентрированная (ОЦ),
базоцентрированная (БЦ) и гранецентрированная (ГЦ) решетки
(рис. 1.2). Положение узла элементарной ячейки задается координатами, которые выражаются в долях длин векторов
, а начало
координат выбирается в вершине угла элементарной ячейки. Например, координаты атома, находящегося в центре элементарной
ячейки объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетки, равны
(1/2, 1/2, 1/2).
а б в
Рис. 1.2. Типы решеток Бравэ
a – объемоцентрированная решетка (ОЦ); б – базоцентрированная решетка (БЦ);
в – гранецентрированная решетка (ГЦ)
:
Во многих случаях можно считать, что кристалл представляет
собой систему из соприкасающихся твердых шаров. Минимуму энергии будет соответствовать такая структура, в которой шары наиболее
плотно упакованы. Плотность упаковки или коэффициент компактности определяется отношением объема частиц к объему элементарной
ячейки V. В случае частиц одного сорта кратчайший период а и соотношение между радиусом шаров R и а определяется контактом соседних шаров. Число ионов противоположного знака, которое составляет ближайшее окружение данного иона в кристалле, называется
6
координационным числом К. Значение координационного числа
определяется величиной отношения радиусов ионов противоположного знака rA/rB.
Следует отличать понятия «кристаллическая структура» и «кристаллическая решетка». Структура кристалла – это физическая реальность, характерное для данного твердого тела распределение частиц
в пространстве. Совокупность атомов, содержащихся внутри объема
элементарной ячейки, называют базисом. Пространственная решетка –
это математическая абстракция, используемая для описания симметрийных свойств кристалла. Справедливо следующее определение:
Решетка + Базис = Кристаллическая структура.
Наряду с трансляционной симметрией, связанной с переносом
тела как целого, кристаллы обладают также точечной симметрией.
Точечной группой симметрии называется множество точечных операций симметрии, совмещающих решетку саму с собой, к ним относят отражения в зеркальных плоскостях и повороты. Совокупность
элементов точечной и трансляционной групп симметрии образует
пространственную группу симметрии кристалла. Все возможные кристаллические структуры описываются 230 пространственными группами симметрии.
Полный набор элементов симметрии какой-либо материальной
фигуры называется группой (видом) симметрии этой фигуры, которая
определяет то или иное физическое явление в кристаллах. Принято
обозначать плоскость симметрии буквой Р, ось симметрии k-го порядка – Сk, зеркально-поворотную ось k-го порядка – Sk; центр симметрии (центр инверсии) – I. Порядок оси симметрии n = 360° / α, где
α – угол наименьшего поворота, приводящего фигуру в совмещение.
В кристаллографии существуют понятия кристаллографических
узлов, плоскостей и направлений. Положение любого узла решетки
относительно выбранного начала координат определяется заданием
трех его координат x, y, z:
x = ma; y = nb; z = pc, (1.1)
где a, b, c – параметры решетки; m, n, p – целые числа.
Числа m, n, p – называют индексами узла и записывают так:
[[mnp]]. Для отрицательного индекса знак минус ставится над индексом.
Для описания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат и любой узел, находящийся в этом
ряду (направлении, ребре). Индексы узла являются одновременно и
7
индексами направления. Индексы направления обозначают как [mnp],
они представляют собой три наименьших целых числа, характеризующих положение ближайшего узла, лежащего в данном направлении. Если ряд (или ребро) не проходит через начало координат, то необходимо мысленно перенести его в начало координат параллельно
самому себе (так как все параллельные направления в кристалле равнозначны).
Кристаллографическая плоскость (узловая плоскость) – это
плоскость, проходящая не менее чем через три узла решетки, не лежащие на одной прямой. Расположение атомных плоскостей имеет
значение, например, при описании дифракции рентгеновских лучей в
кристалле. Положение плоскости определяется заданием трех отрезков А, В, С, которые она отсекает на осях решетки. Система параллельных узловых плоскостей, расположенных на одинаковом межплоскостном расстоянии d друг от друга, образует семейство плоскостей. Любая пространственная решетка может быть представлена семействами узловых плоскостей неограниченным числом способов.
Семейство параллельных узловых плоскостей характеризуется тремя
взаимно простыми числами (hkl) – индексами Миллера, которые
удовлетворяют соотношению:
(a/x):(b/y):(c/z) = h / k / l,
где x, y, z – длины отрезков, отсекаемых плоскостью (hkl), ближайшей
к началу координат, на осях, параллельных ребрам элементарной
ячейки.
Индексы Миллера определяются следующим образом: 1) найдем точки, в которых данная плоскость пересекает основные координатные оси, и выразим их координаты в единицах постоянных решетки; 2) возьмем обратные значения полученных чисел и приведем их
к наименьшему целому, кратному каждому из чисел. Индексы Миллера, определяющие плоскость, заключаются в круглые скобки. Например, для плоскости, которая пересекает оси в точках с координатами 4, 1 и 2, обратные числа будут 1/4, 1 и 1/2; следовательно,
индексы Миллера для этой плоскости есть (142). Если плоскость
пересекает ось в области отрицательных значений координат, то над
соответствующим индексом Миллера ставится черта. Индексы Миллера (hkl), по существу, определяют кристаллографическую ориентацию плоскости, т. е. они задают семейство параллельных плоскостей.
Чтобы построить плоскость (hkl) нужно нанести на осях координат отрезки a/h, b/k, c/l, через полученные таким образом точки будет проходить плоскость семейства {hkl}, ближайшая к началу координат.
8
Положение любой плоскости кристалла (hkl) вполне определя-
[
]
bc
[
]
ca
[
]
ab
СВ,А,
cb,a,
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
===
()()(
)
===
(
)
()()()()(
)
c
b
и
а
с
и
и ,
a b
[
]
BC
[
]
CA
[
]
AB
ется углами, которые составляют нормаль к этой плоскости с осями
координат. Для кубического кристалла
h / k / l = cos α / cos β / cos γ. (1.2)
При анализе многих явлений в физике твердого тела играет
важную роль так называемая обратная решетка. Обратная решетка
представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или
иное явление в твердом кристаллическом теле. В отличие от реальной
кристаллической решетки никаких частиц в узлах обратной решетки
реально не существует, она является удобной абстракцией, позволяющей математически просто описывать определенные свойства
кристалла. Каждой кристаллической структуре соответствуют две
решетки: кристаллическая и обратная. Они связаны между собой соотношениями:
V
яч
;
B π=
,
2
abccabbca
2
A π=
где
шетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины,
а размерность векторов обратной решетки – [длина]–1.
Так как
будет
При построении обратной решетки векторы
кулярны соответственно
перпендикулярны парам векторов В и С, С и А, А и В. Векторы
c,b,a
прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:
– векторы обратной решетки;
V
;
яч
V
, то скалярное произведение
яч
cCbBaA
,
2
C π=
– векторы прямой ре-
1
, (1.4)
и обратно, векторы
, (1.3)
V
яч
. (1.5)
0====== AbaBCacABcCb
СВА
,,
перпенди-
где
V
яч
;
∗
b
π=
2
9
π=
2
a
∗
– объем элементарной ячейки обратной решетки,
V
яч
Свойства обратной решетки:
1) обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;
2) решетка, обратная обратной, есть исходная прямая решетка;
V
яч
;
∗
c
π=
2
, (1.6)
∗
V
яч
∗
V =
яч
V
1
яч
.
3) каждый узел [[
++=
ству параллельных плоскостей (
mnp]]*
обратной решетки соответствует семей-
hkl
) прямой решетки;
4) обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.
Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В
обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые
описываются векторами обратной решетки, образующих следующее
семейство:
CBAG lkh
hkl
, (1.7)
где h, k и l – целые числа.
Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка,
т. е. множество точек, удовлетворяющих условию (1.7), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетке, достаточно бывает
ограничиться конечным объемом обратного пространства.
Бриллюэна
представляет собой ячейку Вигнера–Зейтца в обратной
Зона
решетке. При построении ячейки Вигнера–Зейтца произвольно выбранный узел обратной решетки соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами; затем проводят плоскости,
перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину.
В результате получают замкнутую область пространства с центром
в выбранном узле, все точки которой лежат ближе у нему, чем к любому другому узлу решетки (рис. 1.3).
а б в
Рис. 1.3. Ячейка Вигнера–Зейтца:
а – двухмерный случай; б – для объемноцентрированной кубической
решетки; в – для гранецентрированной кубической решетки
Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом.
Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]