Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
При однородном расширении
ε
ε
ε
6
2
3
гия будет равна
хх
=
yy
=
= δ / 3. Тогда энер-
zz
U =
1
2
)2(
δ+ СС
1211
или
1
U =
2
,
δB
где В – объемный модуль упругости для кубического кристалла,
1
В =
+ )2(
СС
. Величина, обратная объемному модулю упругости,
1211
есть сжимаемость: χ = 1 / В. Зная значения упругих постоянных кристаллов, можно определить скорости распространения упругих волн
(поперечных и продольных) и наоборот.
Примеры решения задач
Пример 6.1.
Кубический кристалл подвергнут растяжению
в направлении [100]. Найти выражение для коэффициента Пуассона
через упругие постоянные или модули упругости.
Решение
Закон Гука для анизотропного тела записывается таким образом:
S1 = s11T1 + s12T2 + s13T3 + s14T4 + s15T5 + s16T6;
S2 = s21T1 + s22T2 + s23T3 + s24T4 + s25T5 + s26T6;
S3 = s31T1 + s32T2 + s33T3 + s34T4 + s35T5 + s36T6;
S4 = s41T1 + s42T2 + s43T3 + s44T4 + s45T5 + s46T6; (6.12)
S5 = s51T1 + s52T2 + s53T3 + s54T4 + s55T5 + s56T6;
S6 = s61T1 + s62T2 + s63T3 + s64T4 + s65T5 + s66T6.
Для кубического кристалла закон Гука записывается как
S1 = s11T1 + s12T2 + s12T3;
S2 = s12T1 + s11T2 + s12T3;
S3 = s12T1 + s12T2 + s11T3; (6.13)
S4 = s44T4;
= s44T5;
S
5
S6 = s44T6.
71
Если существуют напряжения растяжения только вдоль оси
[100], то лишь Т1 ≠ 0. Тогда
S1 = s11T1; S2 = s12T1; S3 = s12T1.
Так как коэффициент Пуассона ν = –S2 / S1, то, следовательно,
ν = –s
/ s11.
12
Пример 6.2.
Кубический кристалл подвергнут гидростатиче-
скому сжатию. Показать, что величина, обратная сжимаемости
В = –V(dP / dV), связана с упругими постоянными соотношением
В = (с11 + 2с12) / 3.
Решение
В общем случае закон Гука для анизотропного тела записывается следующим образом: Sq = sqrTr (q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6), где Sq – компоненты тензора деформации; Tr – компоненты тензора напряжения.
При гидростатическом сжатии Т1 = Т2 = Т3 = –Р и Т4 = Т5 = Т6 = 0.
Тогда закон Гука перепишется таким образом:
S1 = –(s11 + s12 + s13) P;
S2 = –(s12 + s22 + s23) P;
S3 = –(s13 + s23 + s33) P;
S4 = –(s14 + s24 + s34) P; (6.14)
S5 = –(s15 + s25 + s35) P;
S6 = –(s16 + s26 + s35) P.
Объемная деформация определяется суммой S1 + S2 + S3. Тогда
S1 + S2 + S3 = –[s11 + s22 + s33 + 2(s12 + s23 + s13)] P. (6.15)
Так как для кубических кристаллов s11 = s22 = s
и s12 = s23 = s13,
33
то сжимаемость равна
χ = –(S1 + S2 + S3) / Р = 3 (s11 + 2s12). (6.16)
Поскольку с11 + 2с12 = 1 / (s11 + 2s12), то В = 1 / χ = (с11 + 2с12) / 3.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.1.
Показать, что скорость υ волны сдвига, распростра-
няющейся вдоль направления [110], когда частицы колеблются
72
в направлении
[
]
+
−
2
011
в кубическом кристалле, равна
ρ – плотность кристалла.
ρ−2
сс
1211
, где
Задача 6.2.
Найти соотношение между модулями упругости и
упругими податливостями кубического кристалла.
Ответ: С11 =
SS
1211
SSSS
+−
12111211
;
)2)((
C12 =
S
12
+−
;
)2)((
SSSS
12111211
1
C44 =
.
S
44
Задача 6.3.
Упругие постоянные бериллия С11, С33, С44, С12, С13
соответственно равны: 30,8 ⋅ 1010, 35,7 ⋅ 1010, 11,0 ⋅ 1010, –5,8 ⋅ 1010
и 8,7 ⋅ 1010 Н/м2. Бериллий имеет гексагональную решетку, для которой набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице
CCC
131211
CCC
131112
CCC
331313
С
= .
ij
C
44
000
000
000
00000
C
44
00000
1
00000
−
)(
CC
1211
Вычислить коэффициенты податливостей.
Ответ: S
S
≈ –0,11 ⋅ 10
13
11
–11 м2
≈ 0,37 ⋅ 10
/Н;
S
≈ 0,34 ⋅ 10
33
–11
м2/Н;
–11 м2
S
12
/Н;
≈ 0,11 ⋅ 10
S
≈ 0,9 ⋅ 10
44
–11
–11 м2
м2/Н;
/Н.
Задача 6.4.
S
при комнатной температуре соответственно равны 0,799 ⋅ 10
44
–0,312 ⋅ 10
–11
Податливости никеля (кубическая решетка)
и 0,84 ⋅ 10
–11
м2/Н. Определить модуль Юнга и модуль
S
,
S
11
12
–11
сдвига никеля в направлении [210].
Ответ: Е
≈ 1,87 ⋅ 10
11
Н/м2; G ≈ 0,79 ⋅ 10
11
Н/м2.
Задача 6.5.
Определить модули упругости
С
22
,
С
,
С
и
С
44
66
46
мо-
ноклинного кристалла по скоростям распространения ультразвуковых
3
волн, приведенных в таблице. Плотность кристалла равна 1 160 кг/м
.
,
,
73
Направление
{
}
распространения волны
Направление смещения
в волне
Скорость звука, м/с
010
100
001
010
010
Ответ: С
С
≈ 1,39 ⋅ 109 Н/м2.
46
≈ 9,7 ⋅ 109 Н/м2;
22
010
010
010
100
001
С
≈ 3,3 ⋅ 109 Н/м2;
44
2 890
1 450
1 680
1 400
1 510
С
≈ 2,4 ⋅ 109 Н/м2;
66
Задача 6.6.
Сжимаемость меди 0,76 ⋅ 1011 м2/Н. Определить
характеристическую температуру меди, если постоянная решетки
3,61 Å.
Ответ
: θ ≈ 342 К.
Задача 6.7.
Сжимаемость меди 0,76 ⋅ 1011 м2/Н, коэффициент
Пуассона 0,334. Определить характеристическую температуру меди.
Сравнить это значение характеристической температуры со значением, полученным в предыдущей задаче.
Ответ
: θ ≈ 342 К.
Задача 6.8.
Резонансная частота цилиндрического никелевого
стержня длиной 10 см и диаметром 0,442 см равна 1 880 Гц. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля, если его плотность составляет 8 800 кг/м3.
Ответ: Е
Задача 6.9.
≈ 2 050 кг/м2; G ≈ 1 268 кг/м2.
Показать, что скорость продольной волны, распро-
страняющейся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна
1
2
. Для такой волны
/)42(
ρ++=υ
tizyxiKuu
ω−++=
u = v =
)exp(3/)(exp
.
ω. Положить,
s
что
1
3
0
Задача 6.10.
CCC
441211
Показать, что скорость поперечных волн, распро-
страняющихся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна
1
1
s
3
CCC
441211
2
. Использовать задачу 6.9.
/)(
ρ+−=υ
74
7. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ.
E
j
σ
=
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
Теоретическая часть
Металлы обладают целым рядом характерных и присущих им
свойств.
1. В изотермических условиях в металле хорошо выполняется
закон Ома, связывающий плотность тока j с напряженностью электрического поля Е через скалярную электропроводность σ:
.
2. Металл – очень хороший проводник электричества (электро-
проводность металла составляет ~106–108 Ом–1 ⋅ м–1.
3. Металл обладает высокой электронной теплопроводностью χе.
Видеман и Франц заметили, что хороший проводник тепла одновременно является и хорошим проводником электричества. Совпадение
отношения (χе / σ) для разных металлов при данной температуре носит название закона Видемана – Франца. Лоренц заметил, что отно-
шение (χе / σТ) не зависит от температуры и имеет одинаковую величину для многих металлов, поэтому величину L ≡ (χе / σТ) называют
числом Лоренца.
4. При достаточно низкой температуре электропроводность σ
достигает насыщения, и ее значение при этом определяется примесями и дефектами решетки.
5. Магнитные эффекты в ферромагнитных металлах и сплавах
также дают вклад в электрическое удельное сопротивление.
6. Примерно половина металлических элементов при достаточно низких температурах становятся сверхпроводниками.
7. Газ свободных электронов обладает очень малой удельной
теплоемкостью, которая пропорциональна абсолютной температуре, а
также очень малой магнитной восприимчивостью, которая не зависит
от температуры.
Все эти свойства были получены в разное время экспериментально, и для их объяснения Друде была предложена и позже развита
Зоммерфельдом модель свободных электронов. В модели свободных
электронов предполагается, что металл содержит свободные электроны, способные перемещаться по всему объему (газ свободных электронов). Эти электроны называют электронами проводимости, так как
75
они становятся носителями электрического тока в металле. В основу
222m
ℏ
(
)
2
2nm
m
ℏ
модели свободных электронов положены упрощения, основными из
которых являются следующие:
1) не учитывается влияние положительно заряженных ионов на
движение электронов в промежутках между столкновениями;
2) отсутствует взаимодействие электронов между собой. Это
свойство электронов является следствием принципа Паули, согласно
которому электрон, находящийся в заполненной оболочке данного
атома, должен быть связан исключительно с этим атомом.
Газ свободных, невзаимодействующих электронов, подчиняю-
щихся принципу Паули, называют
Ферми
. Полную энергию электронов можно считать равной их кине-
свободным электронным газом
тической энергии, а потенциальной можно пренебречь. В основном
низшие одноэлектронные уровни полностью заполнены вплоть до некоторой энергии, называемой уровнем Ферми
k
f
(7.1)
,
где
E
=
f
k
– максимальное значение волнового вектора электронов, равное
f
Е
и равной
F
радиусу сферической области, заполненной электронными состояниями в k-пространстве, определяется из выражения
3/2
2
k
где п – плотность электронов,
Ферми, или
энергия Ферми Е
3nπ
=
f
п
=
N / V
, – максимальная энергия электронов,
f
, (7.2)
, соответственно, уровень
отсчитанная от нулевой кинетической энергии, вычисляется по выражению
а
фермиевский импульс
Cкорость электронов на поверхности Ферми равна
E
2
k
f
f
2
ℏ
2
( )
3
π==
3/2
, (7.3)
(максимальный импульс электронов) равен
(3π
f
==
2ħ3
ℏ
mm
76
ρ
=
f
k
ℏ
v
f
1/3
n
)
.
(7.4)
N
31/
.
(7.5)
2
3
π
V
Температура, соответствующая энергии Ферми, называется тем-
ℏ
1
+
e
h
пературой вырождения, или
температурой Ферми
, и рассчитывается
по формуле
22
T
π
= . (7.6)
f
2
mk
3/2
n
B
С повышением температуры кинетическая энергия электронного
газа увеличивается. При этом некоторые энергетические уровни, которые при абсолютном нуле были вакантными, оказываются занятыми, и одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле
были заняты, становятся вакантными. Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при темпера-
туре Т состояние с энергией ε занято электронами есть
пределения Ферми – Дирака
:
функция рас-
1
( )
Ef
=
( )
µ−
E
Tk
B
, (7.7)
где µ – химический потенциал, который в металле практически совпадает с
Наивысший уровень, занятый электронами, называется
Ферми
. Ему соответствует энергия Ферми
E
.
F
уровнем
E
которую имеет элек-
F,
трон на этом уровне.
Закон распределения электронов проводимости по энергиям
при Т = 0 К имеет вид
1
3
2
2
( )
24
π
)(
EdN
=
dEEm
(7.8)
3
.
Общее число электронов проводимости в единице объема металла рассчитывается по формуле
E
)(
EdNn
0
( ) ( )
π
==
m
3
h
E
2/3
FF
2/1
∫∫
0
dEE
π
=
h
m
3
2/3
22424
3
E
2/3
.
(7.9)
f
Отсюда
E
n
π
3/2
.
2
3
h
=
f
8
2
m
77
Средняя энергия электрона
ℏ
3 .
k T k n
C k n T
<Е>
при Т = 0 К равна
n
π
3/2
.
(7.10)
2
3
EE
5
3
==〉〈
f
3
h
8
25
m
Число состояний на единичный энергетический интервал g(E),
называемое плотностью состояний, определяется по формуле
2/3
mV
22
E
2/1
.
f
π
2
Eg
dE
==
2
F
dN
)(
Число состояний на единичный энергетический интервал вблизи
энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости
к энергии Ферми:
g(E
)
= 3N/2Ef.
f
Электронная часть теплоемкости металла оценивается по выражению
эл
V B
2
3
= =
2
B B
E E
f f
2
(7.11)
Металлы, в отличие от других твердых тел, как правило, являются хорошими проводниками теплоты и электричества. Согласно
закону Видемана – Франца, установленному экспериментально, от-
ношение теплопроводности χ
к удельной электропроводности σ для
е
большинства металлов пропорционально температуре Т, при этом
коэффициент пропорциональности L (число Лоренца) одинаков для
всех металлов и равен
χ
/ σ
= LТ
е
. (7.12)
Друде для объяснения такой закономерности положил, что основная часть теплового потока при наличии градиента температуры
переносится электронами проводимости. Согласно модели Друде,
металл представляется в виде ящика, заполненного свободными электронами, для которых справедливы законы кинетической теории
газов. Для достижения электронейтральности металла считалось, что
ящик заполнен соответствующим количеством положительно заряженных частиц, которые неподвижны. Электроны распределены по
скорости в соответствии с функцией распределения Максвелла –
Больцмана:
78
2/3
E
F
e
=
(
)
m
(
)
m
(
)
m
〉
〈
E
m
Tk
B
nf
=
2
π
где n – концентрация электронов.
В соответствии с этим распределением электроны при температуре Т обладают всеми возможными значениями скоростей от 0 до
+∞, причем при отсутствии внешних сил все направления скоростей
равновероятны и постоянно изменяются вследствие столкновений с
положительно заряженными частицами. В промежутках между
столкновениями взаимодействие электрона с другими электронами и
ионами не учитывалось.
При вычислении удельной электропроводности предполагалось,
что за единичное время электрон испытывает столкновения (изменяет
направление скорости) с вероятностью, равной 1 / τ, где τ – время релаксации, или время свободного пробега электрона. За время τ элек-
трон проходит расстояние между столкновениями, равное его средней
2
m
υ−
( )
2
Tk
B
(7.13)
e
,
длине свободного пробега <λэл> = vτ. Если к двум противоположным
концам металла приложить разность потенциалов, создающую в каждой точке металла электрическое поле напряженности Е, то между
двумя столкновениями электрон под действием силы
e
– заряд электрона) будет двигаться равномерно ускоренно. Концу
промежутка времени τ слагающая скорости в направлении вектора E
изменится на
может иметь любые направления, то вклад от υ в среднюю скорость
электронов равен нулю, а средняя скорость электронов в направлении
поля E равна среднему значению величины
Это среднее значение скорости в ускоренном движении называ-
ется
дрейфовой скоростью
eE
. Так как после столкновения скорость электрона
τ
evE
(отношение
eE
(7.14)
.cpτ=〉〈
v
cp
, т. е.
τ
называют
µ=
(где
подвиж-
ностью электронов
электронов этой слагающей скорости с постоянным направлением
выражается в том, что в направлении, обратном вектору, в металле
происходит перемещение отрицательного заряда. При этом плотность
тока можно вычислить, пользуясь выражением
, размерность – м2/(В ⋅ с)). Существование у всех
79
m
Кроме того, согласно закону Ома, плотность тока
.
E
j
σ
=
*
,
ne
τ
,
f
l
v
*
.
m
e
〉λ〈
3
3
ne
σ
Отсюда
ne
cp
2
ne
τ
.
=〉〈=
Eυj
(7.15)
(7.16)
=
ne
2
эл
〉λ〈
( )
mv
.
2
ne
=σ
τ
m
Удельное сопротивление ρ как металлов, так и полупроводников
может быть вычислено по формуле Друде – Лоренца
m
ρ =
(7.17)
2
где τ – время релаксации, т. е. среднее время пробега электрона между двумя последовательными столкновениями. Время релаксации
электронов в металле может быть выражено через длину свободного
пробега l и их фермиевскую скорость:
τ =
(7.18)
а в полупроводниках – через подвижность µ:
µ
τ =
(7.19)
При расчете теплопроводности предполагается, что при наличии
градиента температуры электроны от столкновения до столкновения
проходят одинаковые расстояния, равные средней длине свободного
пробега
, прежде чем передают свою избыточную тепловую
эл
энергию атомам. Применяя к электронному газу представления кинетической теории газов для теплопроводности, получаем выражение
2эл
(7.20)
,
τ〉〈=χ vС
<v>
– средняя скорость
где
1
эл
С
– теплоемкость электронного газа;
v
vе
электронов.
Отсюда получаем отношение
χ
=
1
Vе
2эл
mС
υ
.
2
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]