Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
22
,
H I
= λ
0
=χ
B
3
Tk
B
)1(
JJgN
+µµ
,
(9.2)
где g – фактор Ланде, определяющий связь между магнитным и полным моментом системы.
Для ионов группы железа (Cr, Mn, Fe, Со, Ni, Сu) происходит
«замораживание» орбитального момента и их парамагнетизм обусловлен только спином их внешней d-оболочки, и поэтому в формуле
для парамагнитной восприимчивости необходимо заменить J на S,
и множитель Ланде у них g = gs = 2. Если магнитный момент атома
определяется лишь спином одного внешнего электрона, т. е. S = 1/2,
эта формула приобретает вид
1
H
N
==χ
2
µµ
0
Tk
B
N
=
2
µµ
0
B
.
Tk
B
(9.3)
Полученная формула носит название закона Кюри и показывает, что
магнитная восприимчивость парамагнетиков обратно пропорциональна температуре.
Ферромагнетизм. В феноменологической теории ферромагнетизма, построенной П. Вейссом в 1907 г., для описания взаимодействия соседних электронов предполагается, что в ферромагнетике имеется некоторое эффективное магнитное поле Нэф (это поле называют
также обменным в силу его квантовомеханической природы). Величина обменного поля пропорциональна имеющейся намагниченности
(количеству электронов с коррелированными направлениями магнитных моментов):
эф
(9.4)
где λ – некоторая константа, положительная у ферромагнетиков и отрицательная – у антиферромагнетиков, называемая константа Вейсса.
Температурная зависимость восприимчивости ферромагнетика
в парамагнитной фазе определяется формулой Кюри – Вейсса
H
22
0
==χ
B
Tk
B
+µµ
SSgN
)(3
θ−
где величина
2
0
λµµ
=θ
kN3
B
называется парамагнитной точкой Кюри.
111
)1(1
∝
T
C
,
θ−
(9.5)
(9.6)
Простейшая модель ферромагнетизма основывается на пред-
2 ,
ij i j
U J S S
′
= − Σ
(
)
2 2
.2JSa k
∑
∑
ставлении, что вся обусловленная принципом Паули зависимость
энергии от намагниченности проявляется посредством энергии обмена, и фактически она является непосредственным обобщением теории
молекулы водорода на случай большого числа атомов. Обменная
энергия кристалла есть сумма обменных энергий между соседними
атомами и записывается следующим образом:
обм
где SiS
взаимодействия записана в виде, аналогичном взаимодействию двух
магнитных диполей), а штрих у знака суммы означает, что при суммировании, чтобы не учитывать каждую пару дважды, надо считать,
что i < j. Так как в квантовой механике проекции спина на заданную
ось могут принимать лишь дискретные значения, то и скалярное произведение SiS
имеет симметричное состояние и простейшим примером является
ферромагнитное состояние, а если он отрицателен, то низшую энергию имеет антисимметричное состояние и этот случай соответствует
антиферромагнитному состоянию с антипараллельными спинами.
буждения спиновой системы – спиновые волны, которые представляют собой колебания относительной ориентации спинов в решетке.
В пределе длинных волн kа << 1 закон дисперсии оказывается квад-
– скалярное произведение векторов i-го и j-го спина (энергия
j
принимает лишь дискретные значения.
j
Если обменный интеграл положителен, то низшую энергию
В системе упорядоченных спинов возможны своеобразные воз-
(9.7)
ратичным по волновому числу k:
ω =ℏ
Примеры решения задач
Пример 9.1. Согласно правилу Хунда электроны занимают
орбитали следующим образом: 1) полное спиновое число
должно быть максимальным; 2) при выполнении этого условия пол-
ный орбитальный момент
делите электронную конфигурацию атома углерода, имеющего
6 электронов в основном состоянии.
также должен быть максимален. Опре-
l
112
(9.8)
m
s
Решение
2
,
6
r
m
У атома углерода имеется 6 электронов, и его электронная конфигурация имеет вид
222
. Последние два электрона на p-
221
pss
оболочке могут иметь спины +1/2 или –1/2. Для того чтобы полное
спиновое число было максимальным, оба электрона должны иметь
спин +1/2, так чтобы
m
.1∑=
s
Пример 9.2. Определить электронную конфигурацию атома
меди (атомный номер Z = 29).
Решение. Внутренние 18 электронов атома меди образуют кон-
фигурацию Ar:
62622
. Оставшиеся 11 электронов должны
33221
pspss
быть распределены по 3d и 4s орбиталям двумя способами:
29
43]Ar[ sd
и
110
43]Ar[ sd
. В соответствии с правилами Хунда конфи-
гурация с наименьшей энергией, соответствующей основному состоянию, будет та, которая имеет наибольший спин и орбитальный
момент. Приведенные конфигурации имеют одинаковый спин, но при
этом вторая конфигурация имеет наибольший орбитальный момент,
так как для s-оболочки l = 0, а для d-оболочки – l = 2. Таким образом,
электронная конфигурация атома меди имеет вид
11062622
.4333221
sdpspss
Пример 9.3. Исходя из формулы для ларморовой частоты прецессии, показать, что диамагнитная восприимчивость атомарного газа
определяется приближенно формулой
2
Ze N
µ
χ
= −
где N – число атомов; Z – порядковый номер атомов;
квадрат расстояний электронов от ядра.
0
(9.9)
2
– средний
r
113
Решение
ω /2
eH m
= µ
/2 .
= ω π
2
IS I r
µ = = π
2 2 2
r x y
= +
2 2 2
х у z
= =
2 2 2 2 2
х у z r
6
mneH
θ
e
e
+
Ларморова круговая частота прецессии электронной оболочки
атома
Л 0
эквивалентна диамагнитному току
Магнитный момент кругового тока
, где
I Ze
Л
–
средний квадрат расстояний электронов от оси r, взятой в направлении поля Н. При сферически симметричном распределении заряда в
атоме
r
= + + =
, и средний квадрат расстояния от начала координат
3 / 2
( )
.
Отсюда
µ
=χ
N µ
−=
2
0
2
.
r
(9.10)
Пример 9.4. Вывести выражение для магнитной восприимчивости слабого раствора постоянных диполей, магнитный момент каждого из которых равен М, в предположении, что диполи ориентированы
произвольно относительно направления слабого магнитного поля,
т. е. когда магнитная энергия диполя МВ << kВТ. Какова будет восприимчивость, если диполи ориентированы лишь по или против поля?
Решение
Равнодействующий магнитный момент равен
Раскладывая экспоненту в ряд по малому параметру
получаем
В случае ориентирования диполей по или против поля получаем
Восприимчивость в этом случае равна
M
≈
cos
θ
MB
Tk
M
cos
B
∫
=θ
MB
B
cos
Tk
∫
deM
θ
de
)(coscos
θθ
.
(9.11)
)(cos
θ
MB
cos
,
Tk
B
2
BM
и, следовательно,
Tk
3
B
=
MB
MM
MB
−
Tk
ee
−
−
Tk
MB
BB
MB
BB
Tk
Tk
≈χ .
≈
3
2
M
Tk
B
2
BM
(9.12)
.
Tk
B
2
M
=χ .
Tk
B
114
Пример 9.5.
U U
↑↑ ↑↓
= −
(
)
2
U JnS
V
λµ
В
gS
µ = µ
В феноменологической теории ферромагнетизма
Вейсса каждый магнитный атом испытывает действие эффективного
поля Нэф, тогда как в квантовой теории Гейзенберга – Френкеля энергия взаимодействия атомов выражается соотношением U
= –2JSiSj,
oбм
где SiSj – спины взаимодействующих атомов. Учитывая взаимодействие атома только с п ближайшими соседями и считая его с ними одинаковым, найти связь феноменологической константы Вейсса с обменным интегралом J. Объем V, приходящийся на один атом, считать
заданным.
Решение
Обменная энергия представляет собой разность между средними
значениями кулоновской энергии для параллельных и антипараллельных спинов Sl и Sj. Пусть магнитный атом имеет п ближайших соседей. Энергия, требуемая для переворота данного спина в присутствии
всех других спинов, вдвое больше обменной энергии с какой-то определенной ориентацией спина, так как
, поэтому ее можно
записать (пренебрегая компонентами спина S, перпендикулярными к
направлению средней намагниченности) в следующем виде:
2 2
≈
, (9.13)
где S – среднее значение спина в направлении намагниченности.
По теории Вейсса воздействие всех спинов на данный характеризуется средней намагниченностью I = µ / V, и мы эту же энергию
переворота спина можем записать в виде
2µ 2 2µ
U H I
= = µλ =
эфф
,
где V – объем, приходящийся на один атом. Средний магнитный момент электрона, обусловленный его спином, есть
. Следова-
тельно, для константы Вейсса λ мы получаем следующее выражение:
2
nJV
=λ
g
(9.14)
.
22
µ
B
Пример 9.6.
Считая известным, что обменный интеграл J для
электронной конфигурации молекулы водорода отрицателен, показать, что синглетное состояние (состояние с антипараллельными спинами) обладает более низкой энергией, чем триплетное (состояние
с параллельными спинами).
Решение
Для каждого атома магнитное квантовое спиновое число
= ±1/2, и если обменный интеграл J отрицателен для рассматри-
m
s
115
ваемой конфигурации электронов, то энергия триплетного состояния
2 / 2,
2 2
2 / 2.
(Sl = Sj = 1/2) равна
1 1
U J J= − − =
об
( )
(9.15)
а в синглетном (Sl = 1/2, S3 = –1/2) –
1 1
об
( )
2 2
U J J
= − − − = −
(9.16)
Разность энергий синглетного и триплетного состояний равна
–|J|/2 – |J|/2 = –|J|, т. е., действительно, синглетное состояние молекулы водорода обладает более низкой энергией.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.1.
Основной вклад в диамагнетизм вносят внешние
электроны атомов. У атома хлора 8 внешних электронов, а его диамагнитная восприимчивость равна –30,8 · 10–8 м3/кмоль. Оценить радиус наружной электронной оболочки атома хлора.
Ответ: r = 1,04 Å.
Задача 9.2.
Вычислить молярную диамагнитную восприимчивость атомарного водорода в основном состоянии, для которого волновая функция имеет вид
3
( )
rr
1
2/1
r
,exp)(
−π=ψ
r
1
где r1 – первый боровский радиус.
Ответ: χ = –2,37 · 10–9 м3/кмоль.
Задача 9.3.
стоящего из N атомов в состоянии 2Si
Найти магнитный момент парамагнитного газа, со-
при температуре Т в магнит-
1/2
ном поле В, при условии µB << kВТ.
2
HN
µµ
B
Ответ:
I
0
= .
Tk
B
Задача 9.4.
газообразного кислорода, находящегося в слабом магнитном поле при
Рассчитать парамагнитную восприимчивость 1 см3
116
нормальных условиях. Магнитный момент молекулы кислорода равен
7
.
0
−
Тл.
∆ 2 10
К.
E
−
= ⋅
µ = 2,8µB.
µ
Ответ: .101,4 =
=χ
3
Tk
B
N
72−
⋅
Задача 9.5.
Длинный парамагнитный стержень диаметром
d = 5 мм сбалансирован на весах, причем один конец стержня находится между полюсами магнита, создающего горизонтальное магнитное поле, а другой – в области, где это поле мало. Если магнитная индукция поля равна В = 1 Тл, то кажущееся увеличение массы стержня
1,5 г. Какова магнитная восприимчивость материала стержня?
Ответ: χ = 1,5 · 10
–7
A · м3.
Задача 9.6.
рамагнетизм, не зависящий от температуры. Он может быть объяснен
следующим образом. При включении внешнего магнитного поля
свободные электроны с антипараллельными вектору Н спинами начнут поворачиваться вдоль Н, но при этом в соответствие с принципом
Паули они будут переходить на более высокие незанятые энергетические уровни. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока
уменьшение магнитной энергии электронов не сравняется с увеличе-
Известно, что щелочные металлы обнаруживают па-
Н
нием их кинетической энергии. Найти отсюда величину парамагнитной восприимчивости металла объемом 1 см3 в слабом магнитном поле, если концентрация электронов равна 2 · 10
Ответ:
6 1
χ = ⋅
28 м–3
.
Задача 9.7.
са) в железе, температура Кюри которого Tc = 770 °С.
Ответ:
Оценить величину молекулярного поля (поля Вейс-
3
m
1,6 10
H = ⋅
Задача 9.8.
бы образовывать упорядоченную структуру за счет магнитного взаимодействия. Оценить, при какой максимальной температуре это еще
возможно, если межатомное расстояние порядка постоянной решетки
в твердом теле а = 3 Å.
Ответ:
Атомы, обладающие магнитным моментом, могли
2
117
Задача 9.9.
Оценить энергию
в никеле, в котором упорядочение электронных спинов происходит
при температуре Кюри
B
Т
≈ =
В гадолинии, который принадлежит к группе ре
коземельных элементов,
оболочки, расположенной в «глубине» атома. У каждого
12 ближайших соседей, а среднее значение сп
7/2. Оценить величину обменного интеграла в
=
2,76 10 1
= ⋅ ⋅
Два соседних домена, намагниченных в различных
на правлениях, всегда разделены пере
ны (стенкой Блоха), в котором проис
Оценить толщину этого переходного слоя для кр
сталла железа, у которого направления намагниченности в соседних
слоях антипараллельны, температура Кюри
а энергия анизотропии
атома железа считать равным
Рис. 9.1. Образование стенок Блоха
Энергией анизотропии называется разность энергии
намагничивания вдоль легкой и трудной осей.
7
м.
−
В ферромагнетиках при
метный вклад в тепловые процессы вносят колебания в системе пол
зованных спиновых моментов
кон дисперсии имеет вид
обменного взаимодействия
магнетизм обусловлен спиновым магнитным
Gd
ходным слоем конечной толщ
ходит постепенный поворот
10
низких температурах з
спиновые волны, для которых з
, а среднее число квантов (
, эВ,
Tс = 358 °С.
Ответ:
W k
об
Задача 9.10.
моментом 4fиона Gd имеется п =
на S =
температура Кюри Тс
Ответ:
J
Задача 9.11.
спинов (рис. 9.1).
решетки а = 3,6 Å,
0,054 эВ.
с
293 К.
23 4
− −
Дж
= эВ. ,7 10
Тс = 1 043
K = 4 ·
д-
и-
, у которого
и-
и-
К, постоянная
4
Дж/м3. Спин
Указание.
Ответ:
δ =
10
Задача 9.12.
S = 1.
а-
ри
ω = Ak
–
2
118
яа-
магнонов)
в тепловом равновесии определяется той же формулой Планка, что и
3/ 2
С T
∝
для фононов. Выяснить характер температурной зависимости вклада
магнонов в теплоемкость ферромагнетиков.
Ответ:
– закон Блоха.
Задача 9.13.
В антиферромагнетиках (спиново упорядоченных
магнетиках с антипараллельными магнитными моментами соседних
атомов) закон дисперсии длинноволновых магнонов (см. задачу 9.12)
имеет вид ω = |k|v, где скорость v = const. Отличительным свойством
магнонов в антиферромагнетиках является то, что для каждого значения k возможны два состояния поляризации. Найти отношение вкладов магнонов и фононов в теплоемкость при низких температурах для
кристалла с величиной v = 3,0 · 103 м/с и усредненной скоростью
звука s = 5,0 · 103 м/с.
C
C
маг
фон
=
.3
Ответ:
119
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Физика конденсированного вещества является одной из наиболее сложных, но в то же время и одной из важнейших дисциплин,
изучаемых в рамках направления «Физика». В учебном пособии приведен теоретический и практический материал, необходимый и достаточный для знакомства студентов с основами физики конденсированного состояния вещества.
Поскольку дисциплина «Физика конденсированного состояния
вещества» охватывает широкий круг вопросов, включающий как
структурные, тепловые и упругие, так и электронные и магнитные
свойства веществ, то авторы постарались привести основные теоретические сведения по каждому разделу, снабжая их рядом задач
(с решениями и для самостоятельного разбора).
Авторы полагают, что ознакомившись с теоретическим материалом, студенты смогут на практике применить свои знания, оценить порядок и значение физических величин, рассматриваемых в пособии, а также на конкретных примерах из задач лучше понять физические принципы и механизмы, лежащие в основе того или иного
рассматриваемого явления и свойства.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]