Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи принятия решений и оптимизации в машиностроении. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
Т. А. Дуюн, Д. С. Баранов
ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ И ОПТИМИЗАЦИИ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
Учебное пособие
Белгород
2018
УДК 621.0(07):004.9(07)
ББК 34.5я7:22.18я8
Д86
Дуюн, Т.А.
Д86
Задачи принятия решений и оптимизации в машиностроении:
учебное пособие / Т. А. Дуюн, Д. С. Баранов. – Белгород: Изд-во
БГТУ, 2018. – 100 с.
В учебном пособии приводятся математические основы задач принятия решений и
оптимизации, методы решения задач математического программирования,
многокритериальных задач оптимизации, а также примеры применения указанных
математических методов в решении задач оптимизации при проектировании
технологических процессов в машиностроении. Пособие снабжено приложением с
примерами программной реализации решения задач оптимизации технологических
процессов в пакете математического анализа Mathcad.
Учебное пособие может быть использовано в дополнение к лекционным и
лабораторным занятиям, а также при выполнении расчетно-графического задания по
дисциплине «Основы математического моделирования».
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки 150305
(150405) – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных
производств, 150301 – Машиностроение, 200503 – Стандартизация и сертификация,
специальности 150501 – Проектирование технологических машин и комплексов.
© Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2018
УДК 621.0(07):004.9(07)
ББК 34.5я7:22.18я8
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………............. 5
ГЛАВА 1. Математические основы задач принятия решений и
оптимизации……………………………………………………………
1.1.Математическая постановка задач принятия решений и оптимизации…………………………………………………………………
1.2. Графоаналитический метод решения задач математического
программирования ……………………………………………………
1.3. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования ………..……………………………………...……….
1.4. Численные методы решения задач нелинейного программирования. Поиск экстремума функции одной переменной…………. 18
1.5. Численные методы решения задач нелинейного программирования. Поиск экстремума функции нескольких переменных ….
1.6. Методы решения многокритериальных задач оптимизации …
ГЛАВА 2. Задачи оптимизации при проектировании технологических процессов………………………………………….…………...
2.1. Виды оптимизационных задач, критерии оптимальности и
технические ограничения…………………………..………………… 37
2.2. Оптимизация режимов резания при точении...………………… 43
2.3. Оптимизация режимов резания при растачивании...….………. 48
2.4. Оптимизация режимов резания при сверлении..………………. 51
2.5. Оптимизация режимов резания при рассверливании и зенкеровании………………………………………………………………... 55
2.6. Оптимизация режимов резания при фрезеровании…………… 59
2.7. Пример оптимизации режимов резания при черновом и
чистовом точении…………………………………………………….. 65
Список литературы………….…………………………..……………... 70
Приложение №1………………………………………………...……... 71
Приложение №2………………………………………………...……...
Приложение №3………………………………………………...……...
Приложение №4………………………………………………...……...
Приложение №5………………………………………………...……...
Приложение №6………………………………………………...……...
Приложение №7………………………………………………...……...
6
6
11
15
24
29
37
76
80
84
88
92
96
5
Введение
При исследовании различных процессов, помимо необходимости выявления зависимости между технологическими параметрами,
почти всегда стоит задача определения таких факторов, при которых
некая величина достигает экстремального значения. Для выбора
оптимального процесса необходимо проанализировать возможности
системы и влияние большого числа факторов. Поэтому при создании
любых технологических процессов и объектов решаются задачи выбора и принятия решений.
Под основной целью технологического процесса или его элемента
обычно понимается обеспечение заданных характеристик качества
изделия наиболее производительным путем при минимальных затратах. Отсюда вытекает необходимость в построении двух главных критериев оптимальности: максимальной производительности и минимальной себестоимости. В зависимости от вида и уровня оптимизации
технологического процесса могут использоваться и другие критерии,
объединенные в группы экономических, технико-экономических, технологических и эксплуатационных критериев.
Процесс оптимизации лежит в основе деятельности, направленной
на проектирование новых, более эффективных и менее дорогостоящих
технических объектов. Достижение этих двух главных целей любого
процесса проектирования сопряжено с синтезом различных элементов,
анализом множества их состояний и выбором из них такого состояния,
при котором обеспечиваются наилучшие показатели функционирования технического объекта.
Теория оптимизации в современном представлении включает в
себя совокупность фундаментальных математических результатов и
численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного
перебора при оценке возможных вариантов.
Применительно к технологии машиностроения вопросы оптимизации технических решений усложнены трудностью построения математических моделей рассматриваемых объектов, что связано с низким
уровнем формализации существующих методов проектирования технологических процессов. Даже с введением упрощений пока не удается получить общие математические модели технологических процессов изготовления любого типа деталей для различных производственных условий.
6
Глава 1. Математические основы задач принятия
решений и оптимизации
1.1. Математическая постановка задач принятия
решений и оптимизации
Задачей принятия решения называют кортеж (совокупность):
где X – множество вариантов решения задачи; O – принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов.
В простых случаях принцип оптимальности – это правило предпо-
чтения одного варианта решения перед другим.
Решением задачи принятия решений называется множество
которое является подмножеством множества
ного на основе принципа оптимальности.
Задачи принятия решений классифицируются по наличию информации о вариантах решения X и принципе оптимальности O. В связи с
этим различают три основных типа задач:
1. Отсутствуют варианты решений и не выработан принцип оптимальности. Это общая задача принятия решений. Данные для получения Х
определяют в данной задаче в процессе ее решения.
ОПТ
2. Отсутствуют варианты решений, но известен принцип оптимальности. Это задача поиска вариантов решений.
3. Имеются варианты решения, для которых известен принцип оптимальности. Это задача оптимизации.
В общем случае задача принятия решения решается в два этапа:
1-й этап. Формализация задачи, т. е. построение ее математической модели, в которой конкретные физические, технические, технологические, экономические условия и требования к объекту воплощаются в виде задачи оптимизации с определенной целевой функцией и
допустимым множеством вариантов.
2-й этап. Решение задачи оптимизации с использованием известных методов.
Оптимизация – это процесс нахождения экстремума некоторой
количественной величины (параметра) проектируемого объекта, представляемой в виде функции. Обычно в инженерной практике используется термин «оптимальное решение», под которым понимается
,O,X=Ω
(1.1)
)ХХ(Х
⊂
опт
, получен-
Х
опт
,
{
}
∈
∈
7
наилучшее из некоторого множества решение, удовлетворяющее всем
требованиям, предъявляемым к проектируемому объекту.
Математическая постановка задачи оптимизации. Постановка
задачи оптимизации включает в себя множество допустимых решений
=
xxxX ,...,,
и числовую функцию f, определенную на этом мно-
n
21
жестве, которая называется целевой функцией.
Целевая функция – это аналитическая зависимость между критерием (критериями) оптимальности и подлежащими оптимизации параметрами с указанием направления экстремума.
В соответствии с видом экстремума различают два вида задач оптимизации: задачу минимизации и задачу максимизации.
Чтобы решить задачу минимизации функции f на множестве X,
необходимо найти такое значение
значение целевой функции f(x0), чтобы неравенство
полнялось для всех
Xx
. При этом x0 называют оптимальным реше-
Xx ∈
и соответствующее ему
0
)()(
xfxf ≤
0
вы-
нием (точнее здесь – минимальным решением), а f(x0) – оптимумом
(минимумом).
Чтобы решить задачу максимизации функции f на множестве X,
необходимо найти такой вектор
ние целевой функции f(x0), чтобы неравенство
лось для всех
Xx
. При этом x0 называют оптимальным (максималь-
Xx ∈
и соответствующее ему значе-
0
0
)()(
xfxf ≥
выполня-
ным) решением, а f(x0) - оптимумом ( максимумом ).
В общем виде находится именно вектор x0,так как, например, при
решении двухпараметрической задачи, он будет включать в себя два
параметра, трехпараметрической – три параметра и т.д.
Локальный и глобальный минимум (максимум) целевой
функции. При решении задач оптимизации следует иметь в виду, ка-
кой вид имеет целевая функция, имеется ли у нее на области определений одна точка экстремума или несколько, локальный ли это экстремум или глобальный.
Например,
.min)(, →≤≤ xfbxa
Целевая функция имеет вид,
представленный на рис. 1.1. В этом случае точка x0 – глобальный минимум, а точка x1 – локальный минимум целевой функции.
Если
max)(, →≤≤ xfbxa
, а целевая функция имеет вид, пред-
ставленный на рис. 1.2, то x0 – точка глобального максимума, а x1 –
точка локального максимума целевой функции.
8
Надо понимать, что целью оптимизационных задач является
именно точка глобального максимума, тогда как наличие локальных
минимумов как правило затрудняет поиск оптимальных решений.
Рис.1.1. Иллюстрация понятий «локальный минимум» и «глобальный
минимум» целевой функции
Рис.1.2. Иллюстрация понятий «локальный максимум» и «глобаль-
ный максимум» целевой функции
∞
=
9
Разрешимость задач оптимизации. Приведенная выше задача
оптимизации имеет решение не для любой целевой функции и допустимого множества. Существуют задачи, в которых невозможно найти
оптимальное решение и экстремум целевой функции. Например, не
существует точек минимума функции одной переменной f(x) на мно-
жестве
min))(( →xfX
в случаях, приведенных ниже на рис. 1.3, 1.4 и
1.5.
На рис. 1.3 граница «а», проходящая через точку а множества допустимых решений, в интервал входит, а граница «b» нет.
),[ baX =
–
множество X не замкнуто, следовательно, f(b) - не существует.
Рис.1.3. Иллюстрация случая, когда множество допустимых
решений не замкнуто
В случае, представленном на рис. 1.4, определена лишь одна левая
граница множества допустимых решений.
, т.е. множество
),a[X
допустимых решений не ограничено.
Рис.1.4. Иллюстрация неограниченности множества допустимых решений
10
На рис. 1.5 показан еще один случай, когда задача оптимизации не
имеет однозначного решения. Функция f(x) не является непрерывной,
так как в точке
)x(x
существуют два значения функции – f(x0) и
10
f(x1).
Рис. 1.5. Иллюстрация случая, когда функция f(х) не является непрерывной
Показанные выше примеры дают возможность понять основные
условия разрешимости задач оптимизации. Задача оптимизации может
быть решена, если выполняются следующие три условия:
1. Множество допустимых решений X замкнуто, т.е. предельные
точки принадлежат этому множеству.
2. Множество X ограничено.
3. Целевая функция f(x) непрерывна.
1.2. Графоаналитический метод решения задач
математического программирования
Задачами математического программирования называют однокритериальные задачи оптимизации. Методы их решения оперируют с
детерминированными математическими моделями. Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта с полной
определенностью с течением времени. Данные модели в исследовании
операций занимают одно из главных мест. Это обусловлено тем, что в
них отражены разнообразные проблемы распределения ограниченных
ресурсов в экономике, военном деле, создании новой техники и т.д.
Пути решения этих проблем так или иначе связаны с планированием
целенаправленной деятельности, т.е. с разработкой определенных
установок на будущее.
Задача математического программирования формулируется
следующим образом: найти значения переменных
xxx ,...,,
n
21
,
y
x
y
=
x
[
]
11
доставляющих максимум (минимум) заданной целевой функции
=
)x,...,x,x(fy
при некоторых условиях (ограничениях):
n21
)m,j(,b),()x,...,x,x(g
121=≥≤=
jnj
(1.2)
Различают два вида задач математического программирования:
1. Задачи линейного программирования.
2. Задачи нелинейного программирования.
В первых задачах функция
относительно переменных
(или) условия
g описываются нелинейными функциями.
j
. Во вторых задачах целевая функция yи
и ограничения
g линейны
j
Графоаналитическим методом вручную решаются простые задачи
оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть
сложными, так как в противном случае требуется много времени для
их решения. Ниже рассмотрена однопараметрическая
однокритериальная задача оптимизации.
Постановка однопараметрической однокритериальной задачи.
Задан один критерий
включающим один искомый параметр
. Процесс описан уравнением оптимизации,
. Имеется система
)x(fy
ограничений:
Необходимо найти оптимальное значение параметра
обращающее целевую функцию
(1.3)
;ax1≥
. (1.4)
bxa ≤≤
22
xx
−
в максимум или минимум.
)x(f
опт
Задача решается в два этапа:
1. Построение области допустимых решений (ОДР).
2. Нахождение в пределах ОДР оптимального решения.
При построении ОДР на первом этапе рассматривается система
ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение
первого ограничения в приведенной выше постановке задачи
оптимизации означает, что искомое значение параметра xдолжно
находиться правее
a , причем 1a в разрешенный интервал входит.
1
Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение
параметра
должно находиться в интервале (на отрезке)
,
ba ,
12
следует иметь в виду, что границы интервала в интервал входят
(рис.1.6).
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]