Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи принятия решений и оптимизации в машиностроении. Учебное пособие
.pdf
32
В зависимости от того, каким образом частные критерии
объединяются в обобщенный критерий, различают следующие виды
обобщенных критериев:
– аддитивный;
– мультипликативный;
– максиминный (минимаксный).
Рассмотрим подробнее правила формирования перечисленных
выше обобщенных критериев.
Аддитивный критерий формируется путем сложения нормированных значений частных критериев. В общем виде аддитивный критерий
представлен следующей формулой
n
i
где n – количество объединяемых частных критериев;
коэффициент i-го частного критерия;
частного критерия;
o
)x(f
i
:
n
)x(f
i
C)x(f
i
==
o
∑∑
)x(f
i
==
11
i
)x(f
i
– i-й нормирующий делитель;
(1.19)
)x(FC
ii
C
i
– числовое значение i-го
– весовой
)x(F
i
нормированное значение i-го частного критерия.
Частные критерии имеют различную физическую природу и
поэтому различную размерность, следовательно, суммировать их
обычным способом некорректно. В связи с этим суммируют
нормированные значения критериев, являющиеся безразмерными
величинами. Нормированные значения получают делением числовых
значений частных критериев на некоторые нормирующие делители.
Существует два основных способа для назначения нормирующих
делителей:
1. В качестве нормирующих делителей принимаются директивные
значения параметров или критериев, заданные заказчиком. При этом
считают, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими.
2. В качестве нормирующих делителей принимаются предельные
значения критериев: максимальные или минимальные достигаемые в
области допустимых решений.
Размерности частных критериев и соответствующих
нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный
аддитивный критерий получается безразмерной величиной, что
математически объективно.
Пример применения метода. Необходимо определить
оптимальный вариант оборудования с использованием обобщенного
аддитивного критерия. Частными критериями, с помощью которых
–
33
оценены исходные варианты, являются производительность и
надежность (наработка на отказ). Исходные данные для решения
задачи приведены в табл. 1.2.
Оба принятых критерия «работают» на максимум, т.е.
наилучшими вариантами машины являются, обеспечивающие
наибольшую производительность и надежность. Целевая функция на
основе аддитивного критерия имеет следующий вид:
)x(F
1
C)x(f
1
1
C
)x(F
)x(F
2
2
)o()o(
2
→+=
)x(F
max(min)
. (1.20)
Таблица 1.2
Исходные данные параметров оборудования
Критерий
F
i
Производительность
F
, шт/ч
1
Надежность
F
, ч
2
Весовой
коэффициент
С
0,6 1000 2000 4000
0,4 1500 1000 500
Значения критериев для исход-
ных вариантов
i
Вариант
№ 1
Вариант
№ 2
Вариант
№ 3
В качестве нормирующих делителей в данной задаче примем
наилучшие, т. е. максимальные значения частных критериев:
)o(
1
)o(
2
шт/ч,
4000
=
)x(F
шт/ч.
1500
=
)x(F
Значения обобщенного аддитивного критерия рассчитываются для
каждого варианта машины, а затем сравниваются.
Аддитивный критерий для варианта № 1:
F(X) = 0,6(1000/4000) + 0,4(1500/1500) = 0,55.
Аддитивный критерий для варианта № 2:
F(X) = 0,6(2000/4000) + 0,4(1000/1500) = 0,558.
Аддитивный критерий для варианта № 3:
F(X) = 0,6(4000/4000) + 0,4(500/1500) = 0,732.
34
В данном случае оптимальным является третий вариант
оборудования, так как ему соответствует максимальное значение
обобщенного аддитивного критерия.
Один из основных недостатков этого метода заключается в том,
что на окончательный результат большое влияние оказывает величина
весовых коэффициентов, которые назначает проектировщик. Разные
проектировщики могут назначать разные весовые коэффициенты,
поэтому результат может иметь существенную субъективность.
Предположим, что в рассмотренном выше примере изменились
весовые коэффициенты следующим образом: C1 = 0,4; C2 = 0,6.
Вычислим аддитивные критерии с учетом данных весовых
коэффициентов:
Аддитивный критерий для варианта № 1:
7,01,06,025,04,0)(
=⋅+⋅=xf
.
Аддитивный критерий для варианта № 2:
602,067,06,05,04,0)(
=⋅+⋅=xf
.
Аддитивный критерий для варианта № 3:
598,033,06,01,04,0)(
=⋅+⋅=xf
.
Результат существенно изменился. Теперь наилучшим вариантом
оборудования является вариант № 1, так как он имеет наибольшую
величину аддитивного критерия.
Обобщим достоинства и недостатки применения аддитивного
критерия.
Преимуществом данного метода является то, что он позволяет
определить единственный оптимальный вариант решения. Однако,
имеют место следующие недостатки:
1. Во многих задачах сложно объективно назначить весовые коэф-
фициенты, всегда имеет место субъективная оценка.
2. Аддитивный критерий не вытекает из объектной роли частных
критериев и поэтому выступает как формальный математический прием.
3. При суммировании частных критериев происходит их взаимная
компенсация, т.е. малое значение одного критерия может быть компенсировано большим значением другого.
35
Мультипликативный критерий. Целевая функция при исполь-
зовании данного критерия записывается следующим образом:
∏
=ni
1
где n – количество объединяемых частных критериев;
коэффициент i-го частного критерия;
max(min),)()(
→=
xFCxf
ii
i
(1.21)
C
– весовой
i
)( xF
– числовое значение i-го
частного критерия.
Преимуществом мультипликативного критерия, так же, как и
аддитивного, является возможность получения одного оптимального
решения. Кроме того, по сравнению с аддитивным критерием не
требуется назначать нормирующие делители частных критериев, что
несколько упрощает определение данного обобщенного критерия.
Основные недостатки аналогичны аддитивному критерию:
сложно объективно назначить весовые коэффициенты, перемножение
частных критериев приводит к из взаимной компенсации, что также
снижает объективность результата. Отсутствие нормирующих
делителей уменьшает трудоемкость, однако приводит к
перемножению разных размерностей, что некорректно с
математической точки зрения.
Максиминный (минимаксный) критерий. Данные критерии работают по принципу компромисса, который основывается на идее равномерности. При проектировании сложных систем, при наличии
большого числа частных критериев установить между ними аналитическую взаимосвязь очень сложно. Поэтому стараются найти такие
значения переменных (параметров)
=
}x,...,x,x{x
, при которых
m21
нормированные значения всех частных критериев равны между собой:
где
C
– весовой коэффициент i-го частного критерия;
i
ii
,K)x(FC
=
(1.22)
–
)x(F
i
нормированное значение i-го частного критерия; K – константа.
Принцип максимина формулируется следующим образом: выбрать
такой набор переменных
)0(
xx ∈
, при котором реализуется максимум
из минимальных нормированных значений частных критериев, т.е.
0
)(
=
, (1.23)
)x(fminmax)x(f
i
36
Такой принцип выбора иногда носит название гарантированного
результата. Он заимствован из теории игр, где является основным
принципом.
Если частные критерии необходимо минимизировать, то самым
отстающим критерием является тот, который принимает максимальное
значение. В этом случае применяют принцип минимакса:
0
)(
=
)x(fminmax)X(f
. (1.24)
i
При большом количестве частных критериев из-за сложных
взаимосвязей добиться выполнения указанного выше соотношения
очень сложно. Поэтому на практике значениями переменных
проектирования варьируют таким образом, чтобы последовательно
«подтянуть» те нормированные критерии, численные значения
которых в исходном решении оказались наименьшими. Так как эта
операция производится в области компромисса, подтягивание
«отстающего» критерия неизбежно приводит к снижению значений
части остальных критериев. Но при проведении ряда шагов можно
добиться определенной степени уравновешивания противоречивых
частных критериев, что и является целью принципа максимина.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что правильный выбор критерия является достаточно сложной задачей. При проектировании любого объекта могут возникать весьма противоречивые требования,
например обеспечение минимальной стоимости и максимальной
надежности, максимальной производительности и минимальной энергоемкости.
Можно сформулировать следующие рекомендации при выборе
критериев:
– аддитивный критерий используют, если существенное значение
имеют абсолютные значения критериев при выбранном векторе
параметров x;
– мультипликативный критерий используют, если существенную
роль играет изменение абсолютных значений частных критериев при
вариации вектора x;
– максиминный (минимаксный) критерий применяют, если стоит
задача достижения равенства нормированных значений
противоречивых (конфликтных) частных критериев.
37
Глава 2. Задачи оптимизации при проектировании
технологических процессов
2.1. Виды оптимизационных задач, критерии оптимальности
и технические ограничения
Центральным вопросом при разработке оптимального технологического процесса является оценка эффективности выполнения технологических операций или его отдельных элементов. В качестве основной цели при проведении оптимизации технологических процессов
обычно принимают обеспечение заданных характеристик качества
изделия наиболее производительным путем при минимальных затратах, т.е. чем производительнее и экономичнее операция, тем она
эффективнее. Наиболее часто используются такие критерии оптимальности, как максимальная производительность и минимальная
себестоимость.
Различают два основных вида оптимизации: структурную и пара-
метрическую.
Структурная оптимизация при проектировании технологических процессов решает вопросы оптимального выбора методов изготовления заготовок, общего маршрута обработки и маршрута обработки отдельных поверхностей, расчета припусков и операционных размеров, оптимальной структуры технологической операции, способов
базирования, выбора оборудования и инструмента, определения рациональной схемы станочного приспособления, то есть оперирует структурой.
Параметрическая оптимизация решает вопросы определения
оптимальных режимов резания, обеспечения заданных параметров
точности и качества, определения допусков на межоперационные размеры, припусков, геометрических размеров режущего инструмента, то
есть оперирует определенными параметрами.
Критерии оптимальности. В зависимости от вида и уровня оптимизации критерии оптимальности можно объединить в следующие
группы.
Экономические критерии:
- минимальная себестоимость;
- наименьшие производственные затраты;
- рентабельность;
- минимальный уровень затрат на производство: электроэнергию,
материалы и т.д.
Технико-экономические критерии:
- максимальная производительность;
- наименьшее штучное, основное и вспомогательное время;
- коэффициент полезного действия оборудования;
- надежность работы системы оборудования или ее элементов;
- станкоемкость изделия;
- стабильность технологического процесса обработки.
Технологические критерии:
- точность изготовления изделия;
- показатели качества поверхности изделия: шероховатость, вол-
нистость, микротвердость, остаточные напряжения;
- физико-механические свойства обрабатываемой поверхности;
- стойкость инструмента.
Эксплуатационные критерии:
- износостойкость поверхности;
- усталостная прочность;
- контактная жесткость и др.
Технические ограничения. Важной задачей при выполнении оптимизации технологических процессов является выбор и описание
технических ограничений, учитывающих действие различных факторов описываемого процесса и связанных с влиянием на него различных характеристик заготовки, параметров станка, приспособления и
инструмента и других условий обработки.
Технические ограничения определяются видом обработки, конкретными условиями технологического, конструкционного и производственного характера. Наиболее значимыми при описании процессов механической обработки являются следующие технические ограничения:
-
режущие возможности инструмента;
- мощность электродвигателя привода главного движения станка;
- заданная производительность станка;
- наибольшая и наименьшая скорость резания и подача, допуска-
емые кинематикой станка;
-
прочность и жесткость режущего инструмента;
- точность обработки;
-
шероховатость обрабатываемой поверхности.
Помимо указанных ограничений в математическую модель процесса обработки могут входить другие ограничения.
38
1000
⋅⋅π
Bzt
T
39
Рассмотрим подробнее методику формирования технологических
ограничений:
Режущие возможности инструмента. Это ограничение, с одной
стороны, устанавливает связь между скоростью резания, определяемой
принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания,
подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, а с
другой стороны, кинематикой станка.
Скорость резания определяется по формуле
=
v
zv
⋅⋅
kDC
v
v
. (2.1)
rvФuvyvxvm
⋅⋅⋅
BzstT
В это же время скорость резания определяется кинематикой станка
следующим образом:
nD
=
v
. (2.2)
После приравнивания правых частей и преобразовании получим:
−1
zv
⋅⋅⋅
318
yv
sn
≤⋅
DkC
vv
⋅⋅
. (2.3)
rvuvxvm
Мощность электродвигателя привода главного движения
станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь между эф-
фективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощностью электропривода главного движения станка. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных видах обработки, определяется по формуле
rznznzyzxz
N
=
эф
k
cz
yz
skzBnDtС
⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
zuzФ
. (2.4)
Эффективная мощность резания не может быть больше мощности
оборудования, поэтому имеет место соотношение:
. (2.5)
η⋅≤
NN
nэф
После приравнивания правых частей получено ограничение по
мощности привода:
≤
W
40
kN
yznz
sn
≤⋅
z
⋅η⋅
czn
nzzzxz
. (2.6)
kBDtC
⋅⋅π⋅⋅⋅
zrzФ
Заданная производительность станка. Исходя из соотношения
продолжительности цикла работы станка Tц, основного технологического to и вспомогательного непрерывного времени t
получается вы-
в.н.
ражение для данного технического ограничения:
RL
⋅
sn
≤⋅
60
где R – заданная производительность станка, шт./мин;
циент загрузки станка;
r
– количество деталей, обрабатываемых од-
R
.x.p
, (2.7)
Rtrk
⋅−⋅⋅
.н.вRЗ
k
– коэффи-
З
новременно на одной позиции, шт.
Наименьшая и наибольшая допустимые скорости резания. Эти
ограничения связаны с максимальной и минимальной скорость резания, допускаемыми металлорежущим оборудованием:
nn ≥
; (2.8)
min.ст
. (2.9)
nn
max.ñò
Наибольшая и наименьшая допустимые подачи. Данное ограничение определяет допустимый станком диапазон изменения подачи:
ss ≥
; (2.10)
min.ст
. (2.11)
ss ≤
min.ñò
Прочность режущего инструмента. Это ограничение описывает
связь между скоростью резания и подачей с допустимыми по прочности режущего инструмента. В основу построения этого ограничения
закладывают условие нагружения режущего инструмента. В случае
токарной обработки предел прочности материала державки резца будет определяться по формуле
kM
⋅
≥σ
u
.п.зизг
, (2.12)
где
M
– изгибающий момент в месте закрепления державки резца
изг
на расстоянии l
вылета резца от точки приложения окружной силы
в.р.
6
41
, МПа; W – момент сопротивления сечения державки
PlM ⋅=
z.р.визг
резца, мм3.
С учетом формы державки резца (для прямоугольного сечения
2
НВW⋅
шириной В
и высотой Нд момент сопротивления равен )
д
С учетом предела прочности для незакаленной стали 200
=
–
240 МПа
дд
ограничение будет иметь вид:
32
nz
104
)(НВ
yvnz
sn
≤⋅
z
⋅⋅⋅
дд
nznzxz
. (2.13)
kklDtC
⋅⋅⋅π⋅⋅⋅
z.п.z.р.в
Жестокость режущего инструмента . Это ограничение устанавливает связь скорости резания и подачи с допустимыми по жесткости
режущего инструмента. Максимальная нагрузка, допускаемая жесткостью резца, определяется по формуле:
3
=
.доп.ж
где f – допустимая стрела прогиба резца, мм;
– момент инерции державки резца, мм
окружной составляющей P
и максимальной нагрузки, допускаемой
z
жесткостью резца после представления P
lEfP⋅⋅⋅
м
, (2.14)
3
l
.р.в
4
. Из условий соотношения
получаем ограничения в ви-
z
5
10522 ⋅−= ).(E
МПа; lм
де следующего неравенства:
yznz
sn
≤⋅
2
+
nz
10
z
313
НB)(
⋅⋅
ДД
. (2.15)
3
nznzxz
klDtС
⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
z.р.в
Жесткость заготовки. Это ограничение устанавливает взаимосвязь скорости резания и подачи с допустимыми по жесткости заготовки. Допустимый прогиб должен быть меньше величины допуска на
размер
доп
δ⋅≤ 50,y
, где δ - допуск на размер, мм. Величина прогиба
заготовки:
22
xLxP
−⋅⋅
)(
y
=
c
3
рзагрy
, (2.16)
LlE
⋅⋅⋅
загм
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]