Задачи принятия решений и оптимизации в машиностроении. Учебное пособие

≤

ϕ

42

L

где

– длина заготовки, мм;

заг

до места приложения силы (до резца), мм;

чения заготовки в месте искомого прогиба, мм

x

– расстояние от правого торца

р

l

– момент инерции се-

м

4

.

Таким образом, техническое ограничение по жесткости заготовки:

yyny

sn

≤⋅

5.1

xy

y

πδ

ny

y

41

−

ny

DE

⋅⋅⋅⋅

пр

. (2.17)

22

)(64

xLxDktС

−⋅⋅⋅⋅⋅

рзагр

Прочность механизма подач станка. Основной смысл рассматриваемого ограничения состоит в следующем:

где

P

– сила подачи;

s

P

– допустимое значение.

sддо

Общая зависимость для определения

, (2.18)

PP

sдопs

P

при различных видах об-

s

работки имеет вид:

2

+

s

P

=

s

π

ns

3

)10(

rsusnssnsnsysxs

kBzDnstC

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

s

. (2.19)

Ограничение по прочности механизма подач станка имеет вид:

ysns

≤⋅

sn

s

3

⋅

P)(

10

sддо

+

, (2.20)

rsusnszsnsxs

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅

kBzDtC

s

Требуемая шероховатость поверхности. Это техническое ограничение проверяет обеспечение требуемого качества поверхности. Общий вид зависимости шероховатости от параметров имеет вид:

,

где

,r – параметры геометрии режуще части инструмента;

ϕ

1

k...k

– эмпирические коэффициенты. С учетом обеспечения требу-

71

1

5

k

432

kkk

1

76

kk

, (2.21)

rtsnkR ⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅⋅⋅=

емого качества можно получить техническое ограничение по шероховатости в виде неравенства:

32

kk

sn

≤⋅

1

R

5

k

4

k

1

. (2.22)

76

kk

rtk

⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅

43

2.2. Оптимизиция режимов резания при точении

Основной задачей поиска оптимальных режимов является определение режимов, обеспечивающих максимальное или минимальное значение какого-либо критерия при обеспечении определенного числа условий (технических ограничений).

В общем случае постановка задачи оптимизации включает в себя ряд обязательных этапов:

1. Выбор оптимизируемых параметров.

2. Определение диапазона значений оптимизируемых параметров.

3. Выбор набора входных параметров.

4. Определение функциональных зависимостей между искомыми и выходными параметрами при фиксированных значениях входных параметров.

5. Задание целевой функции.

6. Решение оптимизационной модели.

Рассмотрим определение оптимальных режимов резания на примере метода линейного программирования, в основе которого лежит построение математической модели, включающей совокупность технических ограничений и целевую функцию, приведенных к линейного виду. Такая задача хорошо решается с помощью средств ЭВМ методом перебора, симплексным методом, а также графическим.

Пример. Определение оптимальных режимов обработки при точении.

Цель: построение математической модели процесса точения и оп-

тимизация режимов резания.

Оптимизируемые параметры: подача s, мм/об, частота вращения шпинделя n, об/мин;

Целевая функция: достижение наибольшей производительности (выбор максимально возможных значений оптимизируемых параметров) при соблюдении ряда технических ограничений.

Технические ограничения:

- обеспечиваемая шероховатость обрабатываемой поверхности;

- заданная стойкость режущего инструмента;

- мощность привода главного движения станка;

- интервалы возможного изменения оптимизируемых параметров в

соответствие с видом обработки и паспортом станка.

Исходные данные: параметры математических моделей и технические ограничения.

- требуемая шероховатость поверхности Ra, мкм;

HBrV

⋅

1000

⋅

π

44

- заданная стойкость инструмента, Т, мин;

- мощность электродвигателя привода главного движения станка,

N кВт;

- коэффициент полезного действия кинематической цепи от элек-

тродвигателя к шпинделю, η;

- интервалы возможного изменения подачи, s

min

, s

, мм/об;

max

- интервалы возможного изменения частоты вращения шпинделя,

, n

n

min

, об/мин;

max

- диаметр обработки D, мм;

- глубина резания t, мм;

- коэффициенты в формуле для расчета скорости резания: C

y

, mv;

v

- коэффициенты в формуле составляющей силы резания Р

x

, ypz, npz;

pz

, kv, xv,

v

z:Cpz

, kpz,

- радиус скругления режущей кромки инструмента r, мм;

- главный и вспомогательный углы в плане резца φ и φ1;

- твердость обрабатываемого материала, HB;

Разработка оптимизационной модели. Для выполнения оптимизации необходимо установить математические зависимости между входными и оптимизируемыми параметрами с учетом технических ограничений.

1. Ограничение по шероховатости поверхности предусматривает выбор режимов резания, обеспечивающих значение шероховатости поверхности равное или меньшее требуемого. Математическое выражение шероховатости поверхности при точении имеет вид

Ra

85,0

=

st

4,0

4,058,031,0

⋅⋅⋅⋅

ϕϕ

1

05,065,006,0

,

(2.23)

однако в этом выражении отсутствует оптимизируемый параметр n.

Если в выражении (2.23) скорость резания выразить через форму-

лу (2.24)

nD

V

=

,

(2.24)

то оно будет содержать оба оптимизируемых параметра s и n.

Для получения технического ограничения в виде линейной функции необходимо вынести s и n в левую часть выражения и прологарифмировать. Так как подача является дробным числом, умножим ее на 100, в результате преобразований получим выражение:

=

−

≤⋅−

⋅

stT

⋅

1000 100

 

 

 

1000 100

 

 

 

45

)ln(06,0)100ln(58,0

ns



π



=

ln

 

100085,0

HBrDRa

⋅⋅

t

58,005,065,006,0



⋅⋅⋅⋅⋅

100)(

ϕϕ



4,014,031,006,0

 

(2.25)

Для удобства вычислений введем в выражение (2.25) следующие обозначения:

x

b

1

=ln(100s), x2=ln(n),

1



π



ln

=

 

58,005,065,006,0

HBrDRa

100085,0

t

⋅⋅

100)(

⋅⋅⋅⋅⋅

ϕϕ

 

4,014,031,006,0

 

.

(2.26)

Получим выражение:

(2.27)

06,058,0 bxx

121

Линейное неравенство (2.26) является техническим ограничением, устанавливающим связь между шероховатостью поверхности и оптимизируемыми параметрами.

2. Ограничение по стойкости инструмента предусматривает назначение скорости резания, обеспечивающей заданную стойкость инструмента.

Стойкость инструмента связана со скоростью резания следующим

выражением:

kC

vv

V

=

yxm

vvv

⋅⋅

.

(2.28)

Если приравнять выражения (2.28) и (2.24), вынести s и n в левую часть, умножить подачу на 100 и прологарифмировать, в результате преобразований получим выражение:

C k

⋅ ⋅ ⋅

ln(100 ) ln( ) ln

y s n

v

+ =

v v

⋅ ⋅

D π T t

m x

v v

у

v

(2.29)

.

После замены x1=ln(100s), x2=ln(n) и

получим выражение:

⋅ ⋅ ⋅

C k

=

ln

b

2

v v

D π T t

⋅ ⋅

m x

v v

у

v

(2.1)

,

(2.31)

≤+⋅

η

⋅

=

60

102

⋅

46

bxxy

v

221

.

Линейное неравенство (2.1) является техническим ограничением, устанавливающим связь между стойкостью инструмента и оптимизируемыми параметрами.

3. Ограничение по мощности привода главного движения предусматривает назначение режимов резания, обеспечивающих удовлетворяющих мощности привода главного движения.

Выражение эффективной мощности привода главного движения

записывается, как

NN

эф

.

(2.32)

где η - коэффициент полезного действия кинематической цепи от электродвигателя к инструменту, N – мощность привода главного движения станка.

Значение эффективной мощности привода главного движения должно соответствовать мощности резания, зависящей от скорости резания и составляющей силы резания:

vPz

=

N

pz

⋅

,

nyx

PzPzPz

kvstCPz

⋅⋅⋅⋅=

Pz

.

(2.33)

(2.34)

Если выразить скорость резания v через частоту вращения n согласно выражению (2.24), подставить в формулы (2.33) и (2.34), приравнять выражения (2.32) и, (2.33), вынести s и n в левую часть, умножить подачу на 100 и прологарифмировать, то в результате преобразований получим выражение:

=++

nnsу

)ln()1()100ln(

+

)1(

pz

N

π

Ypz



⋅⋅⋅⋅

η

100)1000(6120

nnx

++

)1()1(

pzpzpz

 

⋅⋅⋅⋅

kDtC

pz



.

(2.35)

pzpz

 

=

ln



pz



n

После замены x

=ln(100s), x2=ln(n) и

1

1 2 3

y x n x b

⋅ + + ≤

ln( 100) ln( 100)

→+=

47

+



=

b

ln



3



pz



)1(

N

nnx

π

yn

pzpz



⋅⋅⋅⋅

η

100)1000(6120

++

)1()1(

pzpzpz

⋅⋅⋅⋅



kDtC



pz



,

(2.2)

получим выражение:

( 1)

Pz pz

.

(2.37)

Линейное неравенство (2.1) является техническим ограничением, устанавливающим связь между требуемой мощностью резания, эффективной мощностью привода главного движения и оптимизируемыми параметрами.

Ограничения по предельным значениям оптимизируемых пара-

метров в логарифмической форме имеют вид:

max1min

≤≤ xn

max2min

)ln(n)ln(

.

,

)100ln()100ln(

⋅≤≤⋅ sxs

(2.38)

(2.39)

Запишем систему ограничений в виде неравенств (2.27), (2.31) и

(2.37), добавив к ним ограничение по предельным значениям оптими-

зируемых параметров в логарифмической форме (2.38) и (2.39):



0,58

x x b

⋅ − ≤

1 2 1



⋅ + ≤

y x x b

v

1 2 2

 

y x n x b

   

ln( ) ln(n )



Целевая функция имеет вид:

⋅ + + ≤

( 1)

Pz pz

1 2 3

⋅ ≤ ≤ ⋅

s x s

min 1 max

≤ ≤

n x

min 2 max

max),(

xxxxf

2121

(2.41)

(2.40)

Полученная система неравенств решается относительно оптимизируемых параметров с учетом направления экстремума целевой функции.

После решения системы и получения значений оптимизируемых параметров в логарифмическом виде ln(100s), ln(n) можно выполнить переход к натуральным значениям s и n, используя экспонирование:

48

x

1

es =

,

100/

2x

en =

.

(2.42)

2.3. Оптимизиция режимов резания при растачивании

Цель: построение математической модели процесса растачивания

и оптимизация режимов резания.

Оптимизируемые параметры: подача s, мм/об, частота вращения шпинделя n, об/мин;

Целевая функция: достижение наибольшей производительности (выбор максимально возможных значений оптимизируемых параметров) при соблюдении ряда технических ограничений.

Технические ограничения:

- обеспечиваемая шероховатость обрабатываемой поверхности;

- заданная стойкость режущего инструмента;

- мощность привода главного движения станка;

- интервалы возможного изменения оптимизируемых параметров в

соответствие с видом обработки и паспортом станка.

Исходные данные: параметры математических моделей и технические ограничения.

- требуемая шероховатость поверхности Ra, мкм;

- заданная стойкость инструмента, Т, мин;

- мощность электродвигателя привода главного движения станка,

N кВт;

- коэффициент полезного действия кинематической цепи от элек-

тродвигателя к шпинделю, η;

- интервалы возможного изменения подачи, s

- интервалы возможного изменения частоты вращения шпинделя,

n

, n

min

, об/мин;

max

- диаметр обработки D, мм;

- глубина резания t, мм;

- коэффициенты в формуле для расчета скорости резания: C

y

, mv;

v

- коэффициенты в формуле составляющей силы резания: Cpz, kpz,

x

, ypz, npz;

pz

- радиус скругления режущей кромки инструмента r, мм;

- задний угол резца ;

- передний угол резца ;

- жесткость технологической системы станка j

, s

min

, Н/мм.

ст

, мм/об;

max

, kv, xv,

v

=

+

)

ln(03,0)

100

ln(57,

0

n

s

≤⋅+

⋅

49

Разработка оптимизационной модели. Для выполнения оптимизации необходимо установить математические зависимости между входными и оптимизируемыми параметрами с учетом технических ограничений.

1. Ограничение по шероховатости поверхности предусматривает выбор режимов резания, обеспечивающих значение шероховатости поверхности равное или меньшее требуемого. Математическое выражение шероховатости поверхности при растачивании имеет вид

2,76

rt

Ra

=

04,003,057,0

⋅⋅⋅

jVs

ñò

+⋅⋅⋅

35.034,02,008,004,0

)50(10

γα

,

(2.43)

однако в этом выражении отсутствует оптимизируемый параметр n.

Если в выражении (2.23) скорость резания выразить через форму-

лу (2.24), то оно будет содержать оба оптимизируемых параметра s и n.

Для получения технического ограничения в виде линейной функции необходимо вынести s и n в левую часть выражения и прологарифмировать. Так как подача является дробным числом, умножим ее на 100, в результате преобразований получим выражение:

57.035,034,02,008.004.003,0



100)50(101000

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2.44)



 

.

 

ln

=

 

rtRa

)(2,76

D

π

⋅⋅

γα

03.0

Введем обозначения:

x1=ln(100s), x2=ln(n),

 

ln

=

b

1

 

rtRa

03.0

)(2,76

π

D

⋅⋅

γα

57.035,034,02,008.004.003,0



100)50(101000

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅



(2.45)

 

,

получим выражение:

(2.46)

03,057,0 bxx

121

2. Ограничение по стойкости инструмента аналогично точению:

у

 

=+

nsy

y

ln)ln()100ln(

 

kvCv

⋅⋅

π

y



⋅⋅⋅

1001000



xm

tTD

vv

 

.

(2.47)

1000 100

 

 

 

≤+⋅

1 2 3

y x n x b

⋅ + + ≤

50

После замены x

=ln(100s), x2=ln(n) и

1

Cv kv

ln

b

=

2

⋅ ⋅ ⋅

π

⋅ ⋅

D T t

m x

v v

у

y

(2.48)

,

получим выражение:

bxxy

v

221

.

(2.49)

3. Ограничение по мощности привода главного движения анало-

гично точению:

)ln()1()100ln(

nnsу

=++

+

)1(

N

π

Ypz



η

100)1000(6120

⋅⋅⋅⋅

nnx

++

)1()1(

pzpzpz

 

kDtC

⋅⋅⋅⋅

pz



.

(2.50)

pzpz

 

ln

=



pz



n

pz

После замены x

=ln(100s), x2=ln(n) и

1

ln

=

b

3

получим выражение:

  



pz

Pz pz

( 1)

+

)1(

N

nnx

π

yn

pzpz



100)1000(6120

⋅⋅⋅⋅

η

++

)1()1(

pzpzpz

⋅⋅⋅⋅



kDtC



pz



,

(2.51)

(2.52)

.

Ограничения по предельным значениям оптимизируемых пара-

метров в логарифмической форме имеют вид:

max1min

≤≤ xn

max2min

)ln(n)ln(

.

,

)100ln()100ln(

⋅≤≤⋅ sxs

(2.53)

(2.54)

Запишем систему ограничений в виде неравенств (2.46), (2.49) и

(2.52), добавив к ним ограничение по предельным значениям оптими-

зируемых параметров в логарифмической форме (2.53) и (2.54):

ln( 100) ln( 100)

→+=

51



⋅ + ⋅ ≤

0,57 0.03

x x b

 

 

  



1 2 1

⋅ + ≤

y x x b

1 2 2

v

⋅ + + ≤

y x n x b

ln( ) ln(n )

( 1)

1 2 3

Pz pz

⋅ ≤ ≤ ⋅

s x s

min 1 max

n x

≤ ≤

min 2 max

(2.55)

Целевая функция имеет вид:

max),(

xxxxf

2121

(2.56)

Полученная система неравенств решается относительно оптимизируемых параметров с учетом направления экстремума целевой функции.

После решения системы и получения значений оптимизируемых параметров в логарифмическом виде ln(100s), ln(n) можно выполнить переход к натуральным значениям s и n, используя экспонирование:

x

1

es =

,

100/

2x

en =

.

(2.57)

2.4. Оптимизиция режимов резания при сверлении

Цель: построение математической модели процесса сверления и

оптимизация режимов резания.

Оптимизируемые параметры: подача s, мм/об, частота вращения шпинделя n, об/мин;

Целевая функция: достижение наибольшей производительности (выбор максимально возможных значений оптимизируемых параметров) при соблюдении ряда технических ограничений.

Технические ограничения:

- обеспечиваемая шероховатость обрабатываемой поверхности;

- заданная стойкость режущего инструмента;

- мощность привода главного движения станка;

- интервалы возможного изменения оптимизируемых параметров в

соответствие с видом обработки и паспортом станка.

Исходные данные: параметры математических моделей и технические ограничения.

- требуемая шероховатость поверхности Ra, мкм;

- заданная стойкость инструмента, Т, мин;