Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи принятия решений и оптимизации в машиностроении. Учебное пособие
.pdf
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2532
a
2532
a
A B
x
b,x
отрезок
шаге величина исключаемого отрезка значительно уменьшится
(будет исключен отрезок
случая 2).
Таким образом, с одной стороны, точки следует брать рядом с
серединой отрезка, а с другой – слишком близко друг от друга их
брать нельзя, т.е. необходимо найти некую золотую середину. Для
этого рассмотрим вместо отрезка
длины рис.1.13.
для случая 1 или
2
22
x,a
для случая 2. Но на втором
1
x,a
для случая 1 или отрезок
3
b,a
отрезок
C D
b,x
3
1,0
единичной
для
0
Рис.1.13. Обоснование золотой середины расположения точек на отрезке
На рис. 1.13.
Для того, чтобы точка B была «выгодной» как на данном, так и на
следующем этапе (шаге), она должна делить отрезок AD в таком
же отношении, как и AC: AB/AD = BC/AC. При этом в силу
симметрии аналогичным свойством будет обладать и точка C:
CD/AD = BC/BD. В обозначениях координаты x эти пропорции
принимают следующий вид:
Решим эту пропорцию:
Корни этого уравнения равны
x-1
x/1 = (1 – 2x)/(1 – x).
2
−−
=
x
1
x
+−
=
2
1
2
22
5494
=−=−= acbД
Дb
−
=
Дb
+
=
;
⇒−=−⇒−=− xxxx)x(x 21211
;
013021
=−+−⇒=+−− xxxxx
.
;
382,0
≅
,
1
>
xBC;xBDAC;xCDAB 211 −=−====
.
2
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
x
x3
x
x
x
Здесь
осуществляет золотое сечение данного отрезка. Очевидно, что каждый
отрезок имеет две такие точки, расположенные симметрично
относительно его середины.
в следующем (рис. 1.14): на исходном отрезке
точки
соотношение золотого сечения этого отрезка. Вычисляются значения
целевой функции в этих точках –
и из дальнейшего рассмотрения исключается отрезок, прилегающий к
точке, дающей большее значение целевой функции (здесь отрезок
2
Для этого нового отрезка находится его середина, и по отношению к
ней симметрично оставшейся точке
рассчитывается значение целевой функции
прилегающий к точке с большим значением целевой функции, здесь
это отрезок
отрезка, здесь это
f(x)
неприемлем. О точке, которая расположена на расстоянии
2
53 −
длины от одного из концов отрезка, говорят, что она
Следовательно, алгоритм метода золотого сечения заключается
x
и
x
1
b,x
), т.е. исходный отрезок
)(
xf
. Из дальнейшего рассмотрения опять исключается отрезок,
1
, так, чтобы выполнялось приведенное выше
2
x,a
. Текущий отрезок «стягивается» до нового
3
b,a
и т.д.
11
23
b,a
выбираются две
)x(f
и
1
b,a
«стягивается» до отрезка
x
ставится точка
1
)x(f
. Они сравниваются,
2
)(
xf
и сравнивается с
3
x
. Для нее
3
b,a
1
.
f(x2)
f(x3)
f(x1)
a
0
Рис.1.14. Иллюстрация алгоритма метода «золотого сечения»
a1
1
b1
2
b
24
1.5. Численные методы решения задач нелинейного
программирования. Поиск экстремума функции
нескольких переменных
Численные методы поиска экстремума функции нескольких
переменных:
1. Численные методы в задачах без ограничений.
1.1. Метод покоординатного спуска.
1.2. Метод Хука–Дживса.
1.3. Градиентный метод.
1.4. Метод Ньютона.
1.5. Метод сопряженных направлений и т.д.
2. Численные методы в задачах с ограничениями.
2.1. Метод покоординатного спуска.
2.2. Метод условного градиента.
2.3. Метод барьерных функций.
2.4. Метод штрафных функций.
программирования. Один из часто используемых методов – приведение системы к линейному виду. Данный метод строго не относится к
численным методам решения задач оптимизации. Но он эффективен и
часто используется для решения практических задач.
граммирования к задаче линейного программирования). Рассмотрим суть данного метода на примере, разобранном в пункте 1.5: Име-
ется функция
мирования. Для этого проводим логарифмирование ограничений и
целевой функции:
2.5. Метод линеаризации и т.д.
Кратко рассмотрим основные методы решения задач нелинейного
Метод линеаризации (приведения задачи нелинейного про-
max/21→= xxy
и ограничения:
;811≤≤ x
;122
≤≤ x
2
1021≥⋅ xx
.
1-й этап. Приводим данную задачу к задаче линейного програм-
;8lglg1lg
≤≤ x
1
2
21
;12lglg2lg
≤≤ x
10
lgxlgxlg ≥+
.
25
После вычислений получим:
;903,0lg0
≤≤ x
1
;079,1lg301,0
≤≤ x
2
121≥+ xlgxlg
.
Логарифмируем целевую функцию:
maxlglglg
→−= xxy
21
.
Далее задача решается с применением симплекс-алгоритма или
графоаналитически (рис. 1.15). Для построения области допустимых
решений в логарифмических координатах работаем с ограничениями.
Ограничения графически представляют собой прямые линии, параллельные соответственно осям
ничительная линия в ограничении совпадает с осью
0 xlg−
и
0 xlg−
2
. Причем, левая огра-
1
0 xlg−
. Ограни-
2
чение представляет собой прямую линию, наклонную под углом к
осям. Для нахождения точки касания линии, соответствующей целевой
функции, сначала строим произвольную линию для целевой функции,
приравнивая ее выражение к произвольному числу в данном масштабе.
Приравняем выражение для целевой функции к числу 1,2:
12
⇒=− 21
,xlgxlg
,
21 xlg,xlg +=
22
Построим прямую по точкам:
при
0lg1=x
и
212,xlg =
301,xlg =
512,xlg =
Далее строим линию, параллельную данной линии и касающуюся границы ОДР. Находим координаты точки касания:
.xlg,xlg;xlgxlg 12079110
=⇒==⇒=
2ооп2ооп1ооп1ооп
Если целевая функция стремится к минимуму, т.е.
minxlgxlgylg →−=
12
, то прямая линия, соответствующая ей, кос-
нется границы ОДР в точке с координатами:
2301089030
=⇒==⇒= xlg,xlg;xlg,xlg
2ооп2ооп1ооп1ооп
.
26
lg x
2
1,5
1,2
1,079
1,0
lg y = 1,2
lg y *(max)
ОДР
0,301
0
0,3
0,903 1
lg y *(min)
lg x
1
Рис. 1.15. Графическая иллюстрация графоаналитического решения задачи
оптимизации методом линеаризации
Метод покоординатного спуска в задачах без ограничений.
Это
задача безусловной минимизации, т.е. задача минимизации целевой
)x,x,x(fy
функции
=
K
21
на всем пространстве переменных (на
n
всем евклидовом пространстве). Если требуется решить задачу максимизации, то выражение целевой функции умножают на (
решается задача минимизации.
–
1) и снова
Суть данного метода заключается в построении
последовательности точек
210
)n()()()(
x,...,x,x,x
, монотонно
уменьшающих значение целевой функции
)n()()()(
)x(f...)x(f)x(f)x(f
.
Пусть
210
≥≥≥≥
)0(
x
– начальная точка (рис. 1.16), a – некоторое
положительное число. Вычисляют значение целевой функции в этой
)0(
)(
xf
точке –
)0(
axx +=
. Далее вычисляют значение целевой функции при
и проверяют выполнение неравенства
)0()0(
)()(
xfaxf ≤+
.
x
a
x
(1)
x(3)
x(4)
x(0)
x(2)
a
x
x
27
Если это неравенство справедливо, то вдоль направления оси OX
)()(
значение функции f уменьшилось, и поэтому полагают
01
axx
+=
Если неравенство не выполняется, то делают шаг в противоположном
направлении и проверяют выполнение неравенства
<−
В случае выполнения этого неравенства полагают
Если оба неравенства не выполняются, то
2
)()( 00
)x(f)ax(f
.
)0()1(
axx −=
)0()1(
xx =
.
min
1
.
.
1
Рис.1.16. Графическая иллюстрация поиска точки минимума методом
покоординатного спуска
Второй шаг производят вдоль координатной оси OX
значение функции в точке
)1(
)(
ax +
и сравнивают его с предыдущим
. Вычисляют
2
значением, т.е. проверяют выполнение неравенства
)1()1(
)()(
xfaxf <+
.
Если это неравенство выполняется, то полагают
)1()2(
axx +=
.
Если оно не выполняется, то делают шаг в противоположном
направлении и проверяют выполнение неравенства
)1()1(
)()(
xfaxf <−
.
x
1
В случае выполнения последнего неравенства считают, что
)1()2(
axx −=
. Если оба последние неравенства не выполняются, то
принимают
)1()2(
xx =
.
28
Так перебирают все n – направлений координатных осей. На этом
первая итерация закончена. На n - м шаге будет получена некоторая
точка
x
)( n
. Если
осуществляют вторую итерацию. Если же
)0()(xxn
≠
, то аналогично, начиная с
)0()(xxn
=
(это имеет место,
x
если на каждом шаге ни одно из пары неравенств не окажется
выполненным), то величину шага нужно уменьшить, взяв, например,
a
= an/2, и в следующей итерации использовать новое значение
n+1
величины шага.
Последующие итерации выполняют аналогично. На практике
вычисления прекращают при выполнении какого – либо условия
окончания счета, например,
+ )k()k(
1
δ<−
)x(f)x(f
. (1.14)
где
– значение целевой функции на
)x(f
– значение целевой функции на (k+1) итерации;
)k(
1+
k
-ой итерации; δ – некоторое
)x(f
положительное число, характеризующее точность решения исходной
задачи минимизации целевой функции.
Метод покоординатного спуска в задачах с ограничениями.
Данный метод распространяется на задачи, с простыми ограничениям,
такими, как:
;
bxa ≤≤
(1.15)
111
;
bxa ≤≤
(1.16)
222
bxa ≤≤
. (1.17)
333
Основные процедуры данного метода аналогичны предыдущему
методу. Различие заключается в том, что наряду с проверкой
выполнения неравенств
)0()0()0()0(
,
))()()(()(
xfaxfxfaxf <−<+
)1()1(
,
)()(
xfaxf <+
)1()1(
(1.18)
))()((
xfaxf <−
осуществляют проверку выполнения неравенств (1.15) – (1.17).
Выполнение или невыполнение этих неравенств приводит к тем же
последствиям, что и выполнение или невыполнение неравенств,
приведенных выше.
)( n
)k(
29
1.6. Методы решения многокритериальных задач
оптимизации
Многокритериальными задачами называют задачи, в которых используется не один, а несколько критериев в процессе проектирования
или оптимизации. На практике такие задачи возникают, когда проектируемый объект не может быть описан однокритериальной зависимостью или объединить отдельные критерии в единый не представляется
возможным.
С математической точки зрения не существует идеального способа
или метода решения таких задач. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Наибольшее распространение получили метод
поиска Парето – эффективных решений и метод с использованием
обобщенного интегрального критерия. Рассмотрим подробнее каждый
из этих методов.
Метод поиска Парето – эффективных решений. Одним из условий данного метода является условие равнозначности используемых
критериев. Рассмотрим данный метод на примере использования двух
критериев.
Пусть имеется множество вариантов решения. По каждому из
вариантов определены значения всех критериев. Представим
множество оценок вариантов решения в пространстве критериев
(рис.1.21). Для этого примем следующие обозначения:
– К
2
и К2– критерии оценки вариантов решения;
– Y = {y1, y2, …, ym} – множество оценок альтернативных вариантов
решения;
– К
11
, К12, … , К1m – значения первого критерия для 1, 2, … , m-го
варианта решения;
21
, К
22
– К
, … , К2m – значения второго критерия для 1, 2, … , m-го
1
2
варианта решения.
Множество Парето – эффективных оценок P(Y′) представляет
собой «северо-восточную» границу множества Y без тех его частей,
которые параллельны одной из координатных осей или лежат в
«глубоких» провалах.
Для случая, изображенного на рис. 1.17, «северо-восточной»
границей является кривая ae. Прямая ab параллельна одной из осей, а
кривая cd является «провалом», поэтому они не могут являться
эффективными решениями. Эффективные решения в данном случае
будут составлять точки кривой bc и прямой de.
K
P(Y
K
y
K
K
K
y
y
K
K
K
30
2
a
b
')
2m1
22
21
m
d
c
2
1
12
11
1m
e
1
Рис.1.17. Иллюстрация метода поиска Парето – эффективных решений
Преимущество данного метода состоит в математической
объективности при условии равнозначности критериев. Существенным
недостатком является неоднозначность решения. Одно окончательное
решение получается только в частном случае, в большинстве случаев
количество Парето – эффективных решений более одного.
Пример применения метода. Имеется 10 вариантов
металлорежущих станков, среди которых для проектируемого участка
необходимо выбрать наилучший. В качестве критериев оценки
приняты два наиболее важных показателя качества:
производительность и надежность. Данные показатели оценены
экспертами по 10-и балльной шкале от 0 до 10. Результаты оценки
станков приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Результаты экспертной оценки станков
по критериям производительности и надежности
Критерии оценки
Результаты оценки экспертов (баллы) для станков
С1 С2 С3 С4 С5 С6 С7 С8 С9 С10
Производительность 6 4 10 3 10 0 2 4 6 7
Надежность 6 2 1 7 4 4 10 4 8 2
31
Представим множество оценок вариантов металлорежущих станков в пространстве критериев, обозначив соответственно координатные оси: производительность – П, надежность – Н (рис.1.18). В соответствии с основным правилом метода Парето эффективные решения
лежат на северо-восточной границе области. Следовательно, эффективными решениями в данном случае являются варианты станков С
С
7
и С9.
5
,
Рис. 1.18. Пример поиска Парето – эффективных решений
Метод с использованием обобщенного интегрального крите-
Суть данного метода заключается в том, что частные критерии
рия.
,
)(xf
i
критерий
каким-либо образом объединяются в один интегральный
ni ,1=
=
))x(f),...,x(f),x(f(Ф)x(f
, а затем находится макси-
n21
мум или минимум данного обобщенного критерия.
Сложность данного метода состоит в корректном объединении
нескольких критериев, имеющих различные размерности. Если
объединение производится, исходя из объектной взаимосвязи частных
критериев, то оптимальное решение будет корректно. Однако
осуществить такое объединение крайне сложно или зачастую
невозможно. Поэтому, как правило, обобщенный критерий есть
результат чисто формального объединения частных критериев.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]