Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Положив
(
)
1
+
e
Это
независимо от сорта металла и носит название
эл
С
= 3Nk
v
/ 2 и mυ2 / 2
B
χ
σ
3
=
2
= 3kBT
k
e
закон Видемана – Франца
/ 2, получаем
2
Bе
=
.
LTT
. Постоянная
(7.21)
L =
2,45 ⋅ 10–8 Вт⋅Ом/К2
числа Лоренца
.
Число Лоренца, полученное по теории Друде, сильно отличается
от экспериментального значения. Это связано с тем, что теория Друде
требует большого числа электронов для объяснения электропроводности и малого – для объяснения теплоемкости. Зоммерфельд, сохранив основные исходные положения теории, применил приемы квантовой статистики Ферми – Дирака, указав, что для электронов, подчиняющихся принципу запрета Паули, распределение Максвелла –
Больцмана должно быть заменено распределением Ферми – Дирака:
3
m
ℏ
=
f
3
υ
4
π
m
1
2
−
E
F
2
( )
Tk
B
. (7.22)
Тогда
2
χ
=
σ
k
3
2
Bе
e
=
LTT
, (7.23)
где L = 2,45 ⋅ 10–8 Вт ⋅ Ом/К2, что находится в согласии с экспериментальными данными.
В общем случае теплопроводность металлов складывается из
теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности,
обусловленной свободными электронами:
χ = χ
реш
+ χ
.
(7.24)
е
В металлах теплопроводность, обусловленная фононами, в 100 раз
ниже теплопроводности, обусловленной электронами.
Примеры решения задач
Пример 7.1
.
Рассчитать плотность состояний в k-пространстве и
число состояний в первой зоне Бриллюэна для кубического кристалла
a
со стороной в 1 мм и параметром решетки
большой является полученная величина?
81
= 5,65 Å. Насколько
Решение
γ
−
Ω
Плотность состояний в k-пространстве вычисляется по выражению
3
k
=
π
3
)2(
g
V
2)(
мм1
2
⋅=
3
8
π
−
⋅=
33
.мм10063,8
(7.25)
Объем первой зоны Бриллюэна в k-пространстве равен
V
k
=332
=
5,49 Å–3, (7.26)
a
π
поэтому число возможных состояний в первой зоне Бриллюэна будет
kgVN
k
−−
1933321
. (7.27)
1043,4)мм10063,8()мм10 5,49()(
⋅=⋅⋅⋅==
Пример 7.2.
Оценить подвижность электронов в меди, если ее
удельное сопротивление ρ= 1,7 · 10–6 Ом · см, молярная масса меди
= 63,55 г, а плотность d = 8,92 г·см–3.
Cu
Решение
Подвижность электронов связана с удельным сопротивлением
1
меди через соотношение
=µ
ne
, где
ρ
п
– концентрация электронов,
принимающих участие в проводимости. Так как на внешней оболочке
меди имеется два валентных электрона, то концентрация электронов
проводимости в меди может быть определена через ее плотность как
d
m
.
Cu
2
n
⋅=
Отсюда следует, что
27
10 1,67 55,63
m
Cu
de
=
ρ
=µ
2
⋅⋅
6193
−−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
)107,1()106,1()1092,8(2
2
с./Всм9,21
⋅=
(7.28)
Пример 7.3.
существует
2
N
Показать, что для каждой энергетической зоны
3
0
состояний, приходящихся на единицу объема
3
)2(
π
обратного пространства.
Решение
Примитивная ячейка обратного пространства – зона Бриллюэна
имеет объем, равный (2π)3 / Ω0. В силу периодических граничных ус-
82
ловий (условий Борна–Кармана) в зоне Бриллюэна находится
Ω
=
=
=
a
π
a
π
a
π
alaka
π+π+π
2
m
ℏ
a
2
π
2
m
ℏ
ℏ
N
3
разрешенных значений волнового вектора, или просто k точек. С учетом
спина возможных электронных состояний всего 2
3
N
, и следовательно,
на единицу объема обратного пространства будет приходиться
3
0
2
N
состояний.
3
)2(
π
Пример 7.4.
Для простой кубической решетки с длиной ребра a
вычислить 4 нижних энергии свободных электронов, если волновой
вектор в схеме приведенных зон имеет длину π / 2a и перпендикулярен грани куба.
Решение
Базисы прямого и обратного пространства для кубической ре-
шетки имеют следующий вид:
,
,
)0,0,1(
)0,0,1(1a
a
2
=b
2
a
2
=b
1
,
)0,1,0(2a
,
)0,1,0(
a
),1,0,0(3a
2
=b
3
),1,0,0(
(7.29)
а произвольный вектор G обратной решетки можно представить
в форме
222
hlkh eeebbbG
=++=
321
. (7.30)
zyx
Закон дисперсии для свободных электронов имеет вид
Выберем волновой вектор как
2
ℏ
k
=ε
)(
(
2
или
=ε
)(
k
ma
2
hkl
Тогда, выбирая (
) = (000), (–100), (010), (001), (100), получим
требуемый результат, т. е. ε
2
π
π
000
2
)(
=
2
)(
π
2
+
2
+
)
h
aam
22
1
2
(
< ε
4
–100
)
< ε
+=ε
+=ε
010
2
)(
Gkk
. (7.31)
, тогда
ek
x
2
)(
Gkk
, (7.32)
22
π
a
= ε
k
222
lkh
+++
001
+
< ε
π
22
(7.33)
l
. (7.34)
.
ε=
a
hkl
100
83
Пример 7.5.
=
=
a
π
a
π
aka
π<<π
a
π
a
π
ℏ
ℏ
=
=
=
a
π
a
π
a
π
Рассмотреть задачу о двухмерном электронном газе
и показать, что кинетическая энергия электрона в «углу» зоны Бриллюэна в 2 раза больше, чем на середине стороны; найти это отношение для трехмерного случая.
Решение
Пусть постоянная решетки равна a, тогда основные векторы
трансляций прямой и обратной решетки задаются как
2
=
,
a
)0,1(1a
a
b
,
)1,0(2a
1
)0,1(
b
,
2
=
2
а первая зона Бриллюэна определяется условиями
(рис. 7.1).
Рис. 7.1. Первая зона Бриллюэна
(к примеру 7.5)
)1,0(
, (7.35)
−
yx
,
Рассмотрим векторы
гий электрона получим
k
Для случая трех измерений (ПКР) имеем
a
2
=
b
1
=
k
1
2
)(
2
2
22
π
ℏ
)(
=ε
2
2
ma
,
)0,0,1(1a
a
)0,0,1(
,
b
=
2
)1,1(
и
kkk
=
k
2
22
π
=ε⇒=ε
1
2
mam
)0,1(
. Тогда для энер-
,)(
(7.36)
)(
ε
k
⇒
2
1
ε
k
2
)0,1,0(2a
2
84
)(
,
)0,1,0(
=
a
,
.2
2
=
b
3
),1,0,0(3a
)1,0,0(
. (7.37)
В вершине куба
a
π
2
π
a
2
ma
ℏ
2)(ma
ℏ
⇒
ε
k
≈
n
r
r
2nm
ℏ
ℏ
,)()()(dEEfEgE
dN
=
Тогда
k
=
1
)1,1,1(
, в центре грани
=
)0,0,1(
=
bk
.
12
1
π
22
2
,
k
=ε
2
3
)(
=ε
k
1
π
22
2
)(
1
ε
k
2
. (7.38)
3
=
)(
Пример 7.6. Оценить отношение средней потенциальной энер-
гии взаимодействия двух электронов к энергии Ферми для металла,
электроны которого наполовину заполняют зону проводимости. Кон-
центрация атомов составляет 3 ‧ 10–3 м–3, эффективную массу электронов считать равной массе свободного электрона.
Решение
Так как заполнена половина зоны проводимости, то это означа-
ет, что каждый атом отдает по одному электрону, среднее расстояние
2
между электронами
энергия Ферми
E
f
U
E
3/1
−
, потенциальная энергия V
2
=
f
2/32
)3(
π=
. Отсюда
2
2
me
)3(
π
nn
1
≈
. (7.39)
3/13/222
e
≈≈ ne
1/32
−
,
Пример 7.7. Найти численное значение уровня Ферми меди при
абсолютном нуле, учитывая, что на каждый атом меди в кристалле
имеется один электрон проводимости (свободный электрон) и что
эффективная масса электронов m* приблизительно равна массе свободных электронов (плотность меди ρ = 8 900 кг/м3; молярная масса
µ = 63,5 г/моль).
Решение
Найдем связь количества электронов проводимости с уровнем
Ферми. Число электронов проводимости в металле может быть найдено с учетом формулы
(7.40)
1
где
Ef
( )
−
EE
f
Tk
B
– функция распределения Ферми –
1exp
+
)(
=
Дирака.
85
При Т = 0 f(E) = 1, если E < Ef, и f(E) = 0, если E > Ef.
(
)
h
(
)
()(
)
(
)
3
h
(
)
3
hmV
ρ
−
()(
)
Плотность разрешенных квантовых состояний электронов внутри энергетической зоны рассчитывается по формуле
3/2
2
π=
3
4)(
m
VEg
E
1/2
,
(7.41)
где V – объем кристалла; m – масса электрона; E – энергия электрона;
h – постоянная Планка.
E EE
0
0
f ff
∫ ∫∫
0
0
0
VdEEfEgdNN
4)()(
0
( )
m
2
3
h
3/2
1/2
=⋅⋅π===
dEE
1
8
V
π=
Находим концентрацию электронов проводимости в металле по
формуле
2
N
n
π
==
Откуда энергия Ферми
)0(
E
=
f
По условию задачи концентрация свободных электронов в меди
равна концентрации атомов меди:
N
n
V
µ
m
28
3
3
2
h
8
m
==
3/2
[ ]
E
3/2
3
π
N
AA
µ
3/2
( )
f
( )
[ ]
E
f
2/3
n
.
,
.0
3/2
.0
(7.42)
где Vµ – объем моля меди; NA – число Авогадро.
Подставляя в формулу значения NA, ρ и µ, получаем
3126
⋅⋅
кг/м9008моль1002,6
=n .
г/моль5,63
Окончательно получаем
кг101,98
⋅⋅
86
2
сДж1062,6
⋅⋅
⋅
14,3
(7.43)
эВ.7Дж102,11
=⋅
E
−
34
=
)0(
f
−
31
⋅⋅
19
−
328
−
⋅=
/32
м105,8
3/2
−
328
м105,83
=
Пример 7.8. Вычислить плотность электронов вблизи уровня
ℏ
π
dEEfEgdEEnEdn)()()()
(
=
=
ℏ
π
1
>>
e
Ферми Еf = 3 эВ в модели свободных электронов при T = 0 К.
Решение
Плотность состояний (число энергетических уровней в единице объема) равна
2
Em
)(
=
Eg
.
32
(7.44)
Плотность электронов при энергии E в интервале dE есть
, (7.45)
где f(E) – функция распределения Ферми–Дирака, которая при Т = 0 К
равна единице вплоть до Еf.
Подставляя численные значения констант, получаем
2/3
2
π
Em
f
32
ℏ
20
эВ–1. (7.46)
104,5
⋅=
dn
dE
=
EE
f
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.1. Найти с помощью соотношения неопределенностей
число свободных электронов с энергиями в интервале (Е, E + dE)
в металле при температуре T = 0. Металл имеет форму прямоугольного параллелепипеда объемом V. При определении числа квантовых
состояний электрона в данном интервале энергий считать, что физически различны только те состояния, у которых проекции импульса
различаются не меньше чем на ∆px = 2πħ / lx, где lx – ребро «ящика»
объема V (аналогично для ∆ру и ∆pz).
3
2
Ответ:
)(
=
dEEn
mV
.
32
Задача 7.2. При каких условиях квантовомеханическая функция
распределения Ферми – Дирака приближается к классической функции распределения частиц по энергии (распределению Больцмана)?
Ответ: при таких энергиях, когда
87
−TkEE
f
B
.
Задача 7.3. При какой концентрации свободных электронов
в кристалле температура вырождения электронного газа в нем равна
0 °С?
Ответ: n = 1,86 · 10
25 м–3
.
Задача 7.4. Вычислить энергию Ферми при T = 0 К для алюми-
ния. Считать, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона.
Ответ: Ef = 12 эВ.
Задача 7.5. На какой высоте (в электронвольтах) от дна зоны
проводимости находится уровень Ферми в одновалентном натрии, который содержит 2,5 · 1023 атомов/м3. Считать температуру T = 0 К.
Ответ: Ef = 3,14 эВ.
Задача 7.6. Найти разницу энергий (в единицах kВТ) между
электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0,20 и
0,80.
Ответ: ∆ = 1,38 kBT.
Задача 7.7. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,001 эВ ниже
уровня Ферми, при температуре 18 °С?
Ответ: P = 0,6.
Задача 7.8. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень
расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется
от 200 до 300 К?
Ответ: уменьшится в 1,14 раза.
Задача 7.9. Определить, какая часть электронов проводимости
в металле при T = 0 К имеет кинетическую энергию, большую 0,5ЕF.
Ответ: W = 0,65.
Задача 7.10. При какой температуре вероятность найти в проводнике электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2 %?
Ответ: T = 1 490 К.
88
Задача 7.11. Электроны, находящиеся в тонком приповерхност-
3
ℏ
π
ном слое полупроводника, могут в определенных условиях рассматриваться как двумерный вырожденный электронный газ. Найти фермиевский импульс таких электронов, если их концентрация в расчете
на единицу поверхности п = 1017 м–2.
Ответ: Pf = 0,83 · 10
–24
кг · м/с.
Задача 7.12. Найти интервал (в эВ) между соседними уровнями
свободных электронов в металле при T = 0 К вблизи верхнего заполненного уровня (энергии Ферми), если объем металла равен 1 см3,
а концентрация свободных электронов п = 2 · 1028 м–3.
Ответ: ∆E = 1,8 · 10
–22
эВ.
Задача 7.13. Найти связь между концентрацией электронов п
и энергией Ферми при T = 0 К.
22
Ответ:
=
32
n
mm
E
2/3
.
f
Задача 7.14. Чему равна максимальная энергия электронов в серебре, если считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону?
Ответ: E
= 5,5 эВ.
max
Задача 7.15. Вычислить относительный вклад электронного газа
в общую теплоемкость серебра при комнатной температуре. Считать,
что на каждый атом приходится один свободный электрон и что теплоемкость серебра при данной температуре определяется законом
Дюлонга и Пти.
Ответ: W = 0,8 %.
Задача 7.16. Оценить решеточную и электронную теплоемкость
серебра при температурах 300 и 3 К. Дебаевская температура серебра
θ = 220 К. Электронную теплоемкость считать по модели свободных
электронов.
Ответ: С
(3 К) = 6 · 10
реш
= 2,4 · 10-4kB; Сэл (300 К) = 2,4 · 10
–4
–2
kB; С
kB.
(300 К) = 3kB; Сэл (3 К) =
реш
Задача 7.17. Для типичных значений параметров металлов оценить температуру, при которой сравниваются электронная и решеточная теплоемкости.
Ответ: T = 10 К.
89
Задача 7.18. В одновалентных металлах при комнатной температуре длина свободного пробега электронов λе = 10–3 м, скорость
Ферми vF = 105 м/с, а СV = 0,1R. Какова величина теплопроводности,
обусловленная электронами?
Ответ: χэл = 3,5 · 10
–3
R/c.
Задача 7.19. При Т = 300 К коэффициент теплопроводности
германия равен 80 Вт/(м · К), а его удельное сопротивление составляет 10–2 Ом · м. Каково отношение его электронной теплопроводности
к решеточной?
Ответ: C
эл
/ С
= 9,2 · 10
реш
–6
/ 1.
Задача 7.20. Длина свободного пробега электронов в тонких
проволоках из чистых металлов при низких температурах практически определяется их диаметром. Оценить, какова в этих условиях
эффективная удельная электропроводность медной проволоки диаметром d = 0,1 мм при T = 10 К.
Ответ: σ = 1,5 · 10
–9
Ом–1 · см–1.
Задача 7.21. Оценить удельное сопротивление металла с А = 100
при температуре Т = 300 К, считая, что радиус эффективного рассеяния электронов на фононах порядка амплитуды тепловых колебаний
атомов, фермиевская скорость vF = 3 · 106 м/с, температура Дебая
θ = 200 К.
Ответ: ρ = 10–6 Ом · см.
Задача 7.22. Энергия Ферми алюминия равна 12 эВ, а его
удельное сопротивление при Т = 300 К равно 3 · 10–8 Ом · м. Чему
равна длина свободного пробега электронов проводимости и их
дрейфовая скорость в поле напряженностью 1 000 В/м? Атомный вес
алюминия равен 27, плотность – 2 700 кг/м3.
Ответ: λ = 21,6 нм; v = 1,85 м/с.
Задача 7.23. Твердый водород является диэлектриком, плотность которого при нормальном давлении равна 76 кг/м3. Чтобы водород стал металлом, его энергия Ферми должна быть равной потенциалу ионизации. При каком давлении возможен переход водорода
в металлическое состояние? Какой плотности это соответствует?
Ответ: P ~ 107 атм; ρ = 600 кг/м3.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]