Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
ik
∑
∑
++−
≈
++++ε=ε
(0,1, 1)
2
(1, 0,1)
2
(1,1, 0)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a(n)
n
hheh
].coscos)[cos1(2)0(
+++=
akakakhh
zyx
)]3(cos)2(cos)1()[cos1(2)0()(
kakakan
=+++=
(8.17)
Аналогично
ik
a(n)
n
n
+++=
].coscos)[cos1(2)0()(
akakaksses
(8.18)
zyx
Так как величины s(n) характеризуют степень перекрывания
атомных волновых функций, то с хорошей точностью можно считать,
что s(1) << s(0) = 1, и тогда
Комбинируя полученные суммы и оставляя слагаемые одинакового порядка по h, получим
k
0
где обозначено следующее:
W = 2[h(1) – h(0)s(1)].
2. Для ГЦК решетки основные векторы трансляций будут:
a
=
a
1
,
Центральный атом a(0) = a (0, 0, 0) имеет 12 ближайших соседей:
1
≈
+++ ]coscos)[cos1(2)0(
akakakss
zyx
(8.19)
].coscos)[cos1(2)0(
akakakss
zyx
]coscos[cos2)0()(
akakakWh
, (8.20)
zyx
a
2
,
a
a
=
a
=
3
. (8.21)
)1(a=
a
)0,1,1(
,
)2( −−=
a
)0,1,1(
a
,
a
a
)4( −=
a
a
)7( −=
a
a
)10( −−=
a
)0,1,1(
,
)5(a=
a
)1,0,1(
a
,
a
)1,0,1(
,
)8( −=
a
)1,0,1(
a
,
a
)1,1,0(
,
)11( −=
a
)1,1,0(
a
,
)3( −=
)6( −−=
)9(a=
a
)12( −=
a
)0,1,1(
,
)1,0,1(
, (8.22)
)1,1,0(
,
a
)1,1,0(
.
Тогда, комбинируя сопряженные слагаемые при вычислении
решеточных сумм, получим аналогично уже рассмотренному случаю
101
∑
n)(
)
(
=
ε
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ) 2 [cos cos cos ],
E A k a k a k a
ε
= − + +
ℏ
zyx
,,,
=βα
n
cos)1(4)0(
hh
ak
x
cos
2
cos
2
а закон дисперсии запишется в виде
ikeha(n)
akak
yy
2
=
cos
cos
+++=
2
cos
2
akakak
zxz
2
,
(8.23)
cos4)0(
0
Wh
ak
x
cos
2
cos
2
akak
yy
cos
2
cos
++++ε=
2
cos
2
zxz
2
akakak
(8.24)
.
3. Для ОЦК решетки основные векторы трансляций будут сле-
дующими:
a
)1,1,1(
a
1
−−=
,
a
a
)1,1,1(
2
−−=
,
a
a
)1,1,1(
3
−−=
. (8.25)
Центральный атом имеет 8 ближайших соседей:
)1(a=
a
a
)4( −=
a
)1,1,1(
,
)2( −−=
a
)1,1,1(
a
,
a
)1,1,1(
,
)5( −−−=
a
)1,1,1(
a
,
a
)3( −=
)6( −=
a
)1,1,1(
,
a
)1,1,1(
, (8.26)
a
)7( −−=
a
)1,1,1(
,
что после выполнения уже рассмотренных действий приводит к выражению для энергии
k
0
++ε=ε
cos8)0()(
Wh
ak
x
cos
2
ak
y
cos
2
ak
z
.
(8.27)
2
Пример 8.5. Получить выражение для тензора эффективной
массы кристалла с простой кубической решеткой, если спектр энергий имеет вид
k
a x y z
(8.28)
и найти предельные значения для точки k = 0.
Решение
По определению тензора эффективной массы,
2
ε∂
)(11
=
αβ
2*
k
µ=
,
∂∂
kkm
βα
αβ
102
, (8.29)
и полная матрица µαβ содержит в общем случае 9 независимых ком-
ℏ
zyx,,
=
α
(
)
=ε∇
ε
∂
.,,
zyx
i
=
понент. Для кристаллов кубической системы матрица тензора эффективной массы может быть далее преобразована. Компоненты тензора,
согласно определению, при вращениях системы координат преобразуются как произведения соответствующих координат. Тогда,
рассматривая, например, поворот вокруг оси z на угол π, можно получить, что так как (x, y, z) –> (–x, –y, z), то и µxz –> –µxz. Но в силу
симметрии –µxz = µxz = > µxz = 0. Аналогично можно получить, что все
недиагональные компоненты матрицы µαβ обращаются в ноль и общей
формой будет µαβ = µδαβ.
Дифференцируя выражение для энергии, получаем
2
Aa
21
m
=
*
cos
2
,
ak
α
; (8.30)
2
Aa
21
m
=
*
2
ℏ
ak
x
ak
y
00cos
0cos0
cos00
. (8.31)
ak
z
При k –> 0 тензор принимает вид
001
2
Aa
2
ℏ
m
=
*
21
010
. (8.32)
100
Пример 8.6. Зона проводимости кремния имеет минимум
в точке k, расположенной на расстоянии 0,85 от центра зоны Бриллюэна в направлении [001]. Вблизи минимума энергия определяется
выражением
22
+
kk
yx
.
191,0916,02
(8.33)
k
2
ℏ
)(
=ε
m
x
2
−
kk
0
+
1. Показать, что минимум расположен в точке k = k0.
2. Вычислить тензор эффективной массы в точке k = k0.
Решение
Положение экстремума определяется из условия
,
k
k
0)(
∂
k
,0=
i
Вычисляя компоненты вектора градиента, получим
103
(8.34)
ε∂
ℏ
∂
x
∂
∂
2
( )
916,0
mk
ε∂
y
ε∂
z
2
ℏ
191,0
mk
2
ℏ
191,0
mk
2
0
xx
=⇒==
kk
yy
=⇒==
kk
zz
;0
=⇒=−=
kkkk
0
;00
(8.35)
.00
Таким образом, экстремум зоны расположен в точке k = (k0, 0, 0).
При вычислении тензора обратной эффективной массы можно заметить, что все смешанные производные обращаются в ноль и матрица
тензора имеет диагональный вид:
1
916,0
=
1)(11
0
mkk
1
191,0
00
2
ε∂
m
=
αβ
2*
ℏ
k
∂∂
βα
k
0
00916,0
0191,00
m
191,000
m
*
αβ
m
=⇒
m
00
0
1
191,0
⇒
(8.36)
.
Так как все компоненты тензора положительны, то точка k = k0 –
точка минимума.
Пример 8.7. Удельное сопротивление чистого кремния при
комнатной температуре равно 1 000 Ом·м, ширина запрещенной зоны
Eg = 1,1 эВ. Предполагая, что эффективные плотности состояний и
подвижности носителей не зависят от температуры, найти величину
сопротивления кремния при температуре 50 °С.
Решение
Концентрация собственных носителей тока ni определяется вы-
E
g
−
ражением
2
=
пропорциональны T
Tk
B
eQQn
vci
. Эффективные плотности состояний
3/2
. Фактор kBT равен 0,025 эВ при 300 К
Q
и
c
Q
v
и 0,027 эВ при 323 К, поэтому
104
Удельное сопротивление чистого кремния определяется выра-
ρ
λ
жением
2/1
1,1
−
n
i
n
i
)К323(
323
=
300
)К300(
2/3
e
e
027,0
1,1
−
025,0
≈
.3,8
(8.37)
1
)К300(
=ρ
en µ−µ
= 1 000 Ом
)(
npi
м. (8.38)
Следовательно,
)К323(
.
)К300(
(8.39)
ρ
)К323(
n
i
=
)К300(
n
i
При температуре T = 50 °С
n
i
)К300()К323(
n
i
)К323(
=ρ=ρ
)К300(
214 Ом
м. (8.40)
Пример 8.8. Ширина запрещенной зоны полупроводника равна
1 эВ. Какова вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна
зоны проводимости при температуре 290 К? Увеличится ли эта вероятность, если на полупроводник действует электромагнитное излучение с длиной волны: 1,0 мкм; 2,0 мкм?
−
−
B
+=
1
EE
f
Tk
−
120
=+=
)1(1)( eeEP
2,06
–19
10
. (8.41)
hc
=
Энергия излучения с λ = 1 мкм равна
E
= 1,24 эВ и, соот-
ветственно, 0,62 эВ для 2,0 мкм. Поскольку 1,24 эВ > 1 эВ, т. е. больше ширины запрещенной зоны данного материала, то вероятность
нахождения электронов в зоне проводимости увеличивается, но излучение с длиной волны 2 мкм не изменяет вероятность перехода электрона в зону проводимости.
105
Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.1. Хотя для простых собственных полупроводников
энергия Ферми практически не зависит от температуры, небольшой
по величине поправочный член надо вводить. Покажите, что энергия
Ферми может быть записана в виде Еf = 1/2(Ес + Ev) + αТ, где Ес и Ev –
энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно, а α – константа. Предположите, что плотности состояний в полосах разрешенных значений энергии электронов имеют зависимости
А(Е – Ес)
1/2
и В(Е – Ev)
1/2
соответственно.
Задача 8.2. В образце очень чистого германия край непрерывного
оптического поглощения при Т = 300 К соответствует λ–1 = 5,5 · 105 м–1.
Оцените, насколько надо увеличить температуру, чтобы при этом
электропроводность возросла на 20 %.
Ответ: T = 4 К.
Задача 8.3. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары «электрон – дырка» в кристалле GaAs, если его электропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры
от +20 до –3° С.
Ответ: E
= 1,4 эВ.
min
Задача 8.4. В образец кремния внесено 10–4 атомных процентов
атомов фосфора (доноров), которые при комнатной температуре оказываются все однократно ионизованными. Измерения подвижности
электронов показали, что она составляет 0,15 м2/(В · с). Рассчитайте,
каково собственное удельное сопротивление кремния. Плотность
кремния равна 2 300 кг/м3, его атомный вес – 28.
Ответ: ρ = 8,4 · 10–4 Ом
м.
Задача 8.5. Образец германия n-типа содержит 1023 ионизован-
ных доноров в 1 м3. Оценить отношение сопротивления этого образца
при комнатной температуре к сопротивлению германия высокой чистоты.
Ответ: ρ1 / ρ2 = 10–4.
Задача 8.6. В антимониде индия эффективная масса электрона
примерно равна 0,01 массы электрона, а диэлектрическая постоян-
106
ная – 17. Оценить энергию ионизации донорных атомов и радиус
электронной орбиты.
Ответ: E
= 5 · 10–4 эВ; r = 10
ион
–7
м.
Задача 8.7. Полупроводник допирован как донорными атомами
(1022 м–3), так и акцепторными (5 · 1021 м–3), причем их энергетические
уровни расположены на расстоянии 10–2 эВ от потолка и дна запрещенной зоны соответственно. Подвижность носителей равна
0,2 м2/(В
с). Каково сопротивление этого образца при температуре
20 К?
Указание. Когда в полупроводнике имеются примеси как п-, так
и р-типа, происходит так называемый эффект компенсации, т. е. доноры ионизуют акцепторы и тем самым уменьшается их эффективное
число.
Ответ: ρ = 2 Ом.
Задача 8.8. Полупроводниковый кристалл объемом 1 мм3 допи-
рован 1022 атомами донора в 1 м3, чтобы его можно было использовать в качестве детектора инфракрасного излучения с величиной
λ = 104 м–1 за счет переброса носителей через щель величиной 10–2 эВ.
Время жизни носителей равна 10–2 с, детектор охлаждается до 4 К.
Оценить, во сколько раз изменится сопротивление полупроводника
при облучении его мощностью 10–2 Вт. Считать, что в детекторе падающее излучение полностью поглощается.
Ответ: в 5 000 раз.
Задача 8.9. Красная граница внешнего фотоэффекта сурьмяноцезиевого фотокатода (при очень низкой температуре) соответствует
λ1 = 0,65 мкм, а красная граница фотопроводимости: λ2 = 2,07 мкм.
Определить (в эВ) положение дна зоны проводимости данного полупроводника относительно вакуума.
Ответ: Ec = 1,3 эВ.
Задача 8.10. Ширина запрещенной зоны у германия равна
0,7 эВ. Насколько изменяется концентрация свободных носителей при
увеличении температуры от комнатной (27 °С) до 50 °С?
Ответ:
n
i
n
i
)К323(
.
3
≈
)К300(
107
Задача 8.11. Оценить отношение электронной теплоемкости
чистого германия к его решеточной теплоемкости при температуре
1 000 К. Считать, что концентрация электронов проводимости
ne = 1,5 · 1024 м–3, ширина запрещенной зоны Eg = 0,7 эВ, дебаевская
температура θ = 540 К, плотность атомов N = 5 · 1028 м–3.
C
С
эл
реш
= 4 · 10–4.
Ответ:
Задача 8.12. Длинноволновый край полосы поглощения чистого
германия лежит вблизи длины волны λ = 19 мкм. Оценить отсюда
ширину запрещенной зоны германия (в эВ).
Ответ: Eg = 0,65 эВ.
Задача 8.13. Германиевое фотосопротивление освещают монохроматическим излучением, равномерно поглощаемом во всем
объеме. Удельное сопротивление образца равно 45 Ом · см, концентрация электронов и дырок повышается вследствие освещения на
1017 м–3. Подвижности электронов и дырок равны µе = 0,38 м2/(В · с)
и µр = 0,18 м2/(В · с). Каково относительное изменение электропроводности пластинки германия?
Ответ: ∆ρ / ρ = 4 · 10–5 эВ.
Задача 8.14. Вычислить удельное сопротивление полупроводника n-типа при температуре T = 50 К, если известно, что концентрация
донорных атомов n = 5 · 1023 м–3, энергия их активации Ed = 0,1 эВ, подвижность электронов µ = 0,05 м2/(В · с).
Ответ: ρ = 2 080 Ом · м.
Задача 8.15. Холловский датчик для измерения магнитного поля
изготовлен в виде кубика, подвижность носителей равна 0,5 м2/(В · с).
Какое должно быть приложено напряжение, чтобы в поле 10–4 Тл
холловская разность потенциалов была равна 1 мВ?
Ответ: U = 20 В.
Задача 8.16. Вычислить величину ЭДС Холла, возникающую
при пропускании тока 100 мА через пластинку из металлического
натрия в поле 0,1 Тл. Ширина образца, вдоль которой измеряется
холловское напряжение и перпендикулярно которой приложено магнитное поле, равна l = 1 мм. Решетка Na – объемноцентрированный
куб со стороной 4,28 Å.
Ответ: U
= 2,45 нВ.
H
108
Задача 8.17. Вычислить удельную проводимость кристалла
кремния, если константа Холла для него RH = –2,7 · 10–4 м3/Кл.
Ответ: σ = 390 Ом–1 · м–1.
Задача 8.18. При каких условиях в полупроводнике, имеющем
свободные носители заряда, тем не менее не наблюдается эффект
Холла?
2
=
µ
n
µ
.
p
Ответ: эффект Холла не будет наблюдаться, если
p
n
Задача 8.19. Определить подвижность, см2/(В · с), электронов
в германии n-типа, у которого удельное сопротивление ρ = 1,7 Ом · см,
а постоянная Холла RH = 7 · 10
–17
СГСЭ.
Ответ: µ = 3 700 см2/(В · с).
Задача 8.20. Определить знак, концентрацию и подвижность
свободных носителей заряда в полупроводниковом образце, который
обладает примесной проводимостью и сопротивлением 338 Ом. При
токе 50 мА и магнитной индукции 0,1 Тл холловская разность потенциалов в образце равна 200 мВ. Размеры образца: толщина b = 0,1 мм,
ширина d = 5 мм.
Ответ: n = 1,8 · 10
21 м–3
; µ = 2 м2/(В · с).
Задача 8.21. Пластинка из полупроводника p-типа шириной
d = 1 см и длиной l = 3 см помещена в однородное магнитное поле
напряженностью Н = 0,5 Тл. К концам пластинки (вдоль ребра с размером l) приложено постоянное напряжение U = 180 В. При этом
поперечная холловская разность потенциалов оказалась равной
V = 5 мВ. Определить концентрацию и подвижность дырок в данном
полупроводнике, удельное сопротивление которого ρ = 0,03 Ом · м.
Ответ: n = 1,25 · 10
18 cм–3
; µ = 500 cм2/(В · с).
109
9. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
m
6
Теоретическая часть
Магнитной восприимчивостью веществ называется отноше-
ние магнитного момента единицы объема I к внешнему полю Н,
т. е. в соотношении I = χH под восприимчивостью подразумевается
объемная восприимчивость. Часто для характеристики магнитных
свойств веществ используют удельную магнитную восприимчивость
(т. е. магнитную восприимчивость единицы массы):
где ρ – плотность вещества; χ
χ = χ
V
/ ρ,
V
– магнитная восприимчивость едини-
цы объема.
Кроме того, магнитную восприимчивость иногда относят к одному молю вещества (χт). Величины χ и χт связаны между собой соотношением χт = χµ, здесь µ – относительная молекулярная масса.
Объемная восприимчивость величина безразмерная, тогда как размерность удельной восприимчивости равна м3/кг, а молярной –
м3/кмоль. Все магнитные вещества в зависимости от величины и знака магнитной восприимчивости подразделяются на диамагнетики
(χ < 0), парамагнетики (χ > 0) и магнитоупорядоченные вещества
(χ >> 0).
Диамагнетики – это вещества, в отсутствие внешнего магнитного поля не обладающие магнитным моментом, атомы которых намагничиваются против направления внутреннего магнитного поля.
Магнитная восприимчивость диамагнетиков определяется выражением (формула Ланжевена)
22
µ
0
−=χ
Nae
Z
, (9.1)
где а2 – средний квадрат расстояния электрона от ядра; N – число
атомов в единице объема; Z – заряд ядра атомов диамагнетика.
Вещества, атомы которых обладают нескомпенсированным магнитным моментом, принадлежат к парамагнетикам (при температурах выше температуры магнитного упорядочения – температуры Кюри T
– ферромагнетики также являются парамагнетиками). Если
C
полный момент атома J, то парамагнитная часть восприимчивости
равна
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]